精品解析：黑龙江省大庆外国语学校2023-2024学年高二下学期第二次教学质量检测数学试卷

大庆外国语学校高二年级下学期第二次教学质量检测数学试题 （总分：150分，答题时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可． 【详解】由，得, ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限． 故选:B． 2. 在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】借助插空法计算即可得. 【详解】先排三名男生，共有种站法，此时三名男生会产生四个空位， 则女生共有种站法，故共有种站法. 故选：B. 3. 已知离散型随机变量X的分布列，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和为1，可求得，代入计算即可． 【详解】由题意得随机变量X的分布列如表所示. X 1 P a 由分布列的性质得，，解得. ∵，∴或， ∴. 故选C. 4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（    ） A. 2 B. C. 2或 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点在轴上，渐近线斜率为，再结合，可求. 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线的倾斜角为，所以，所以， 又，所以，又，所以. 故选：A 5. 如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 6. 从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( ) A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出，则. 【详解】的可能取值为. ，，. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是， 故. 故选：C. 7. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ） A. 0.125 B. 0.1 C. 0.075 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得. 【详解】设事件“选物理”，“选化学”， 则有，， 由该班同学选物理和选化学相互独立， 即，则， 故，, 则. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足，对，，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可推得，令，得出.设，则，由，可得.又，代入求和即可得出结果. 【详解】令，由已知可得. 令，由已知可得， 设，则，整理可得. 又，所以，所以. 则， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函数关系式. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量，若方差，则 C. 若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式判断A的真假；根据二项分布的有关计算判断B的真假；根据线性相关系数的定义判断C的真假；根据线性回归方程必过样本中心点求，判断D的真假. 【详解】对A：，所以相互独立，故A正确； 对B：因为，所以或， 当时，; 当时，. 故B错误； 对C：由线性相关系数的定义可知，C正确； 对D：因为线性回归方程必过样本中心点，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（    ） A. 二项展开式中各项系数之和为 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为第四项 C. 二项展开式中有3个有理项 D. 二项展开式中项的系数是180 【答案】AB 【解析】 【分析】由二项展开式中二项式系数之和为求出，再得出通项，令可得A正确；由组合数的性质可得B正确；令为整数，可得C错误；利用通项计算D. 【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为，所以， 所以二项式为，则展开式的通项为，， 对于A：令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A正确； 对于B：当时，二项式系数最大，即第四项的二项式系数最大，故B正确； 对于C：令为整数，，解得，所以有4个有理项，故C错误； 对于D：令，解得，所以， 则展开式中项的系数为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数的图象关于对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 在区间有两个极值点 C. 是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用函数的对称性求得，根据正弦函数的奇偶性判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据正弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】因为函数的图象关于对称， 所以，则，即， 因为，所以，则， 对A，由得，定义域为R，且， 所以函数为奇函数，正确； 对B，当时，， 由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得， 即为函数的唯一极值点，错误； 对C，当时，，， 所以是曲线的对称中心，正确； 对D，由，得， 解得或， 从而得或， 所以函数在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 即直线是曲线的切线，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为______． 【答案】1600 【解析】 【分析】解法一：根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而可得结果；解法二：根据题意利用正态分布的对称性求零件不合格的概率，进而可得结果. 【详解】解法一：因为X服从正态分布，且， 所以该企业生产的该种零件合格的概率， 所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为． 解法二：因为X服从正态分布，且， 所以， 所以该企业生产的该种零件不合格的概率为， 所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为． 故答案为：1600. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】已知，由两角和的余弦公式求得，再由两角和的余弦公式求，倍角公式求. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同构将目标式转化为一元函数，利用导数求解最值即可. 【详解】因为，所以. 令，所以，所以在上单调递增， 又，所以，所以，所以， 令，所以，令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4. （1）从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； （2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 【答案】（1）0.485； （2）. 【解析】 【分析】（1）由全概率公式求解可得； （2）利用（1）中结论，由条件概率公式计算即可 【小问1详解】 记事件B：“小明获胜”，记事件：“小明与第类棋手相遇”， 由题可得，，，， ，，. 由全概率公式可知： . 【小问2详解】 由条件概率公式可得. 即小明获胜，对手为一类棋手的概率为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，， 四边形为平行四边形，又因为， 所以四边形为正方形，所以， 因为，，， 所以平面，所以， 因为，所以， 又因为平面 所以平面. （2）点到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）先证四边形为正方形，得到，再证平面，从而得到，即可证明平面； （2）建系，设边长，写出相应点和向量的坐标，求出两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列式子，求出的长度，再利用点到平面的距离公式，求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以，平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点． （1）求椭圆E的方程； （2）直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程； 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求出的值，可得椭圆的方程. （2）设直线l的方程为，根据直线与圆相切，确定的关系；把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到，，用表示出，化简可得为定值，进一步求出的值，得直线方程. 【小问1详解】 由，且可得，又椭圆过点，则有， 将两方程联立，解得， 故椭圆E的方程为. 【小问2详解】 如图： 依题意，设，因直线与圆相切， 故有:，整理得，，① 由消去，整理得，， 显然，设，则， 则， 于是，将① 式代入得，， 即恒成立，则，代入① 式，可得，， 故直线l的方程为. 18. 已知函数. （1）求函数图象经过的定点坐标； （2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数单调递增区间为，单调递减区间为 （3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）当时，，则，即可求得顶点坐标；（2）当时，，对求导，分别求出与，即可得切线方程，再根据导函数的正负，即可求出函数单调区间；（3）对函数求导，讨论和时，函数的单调性，进而求出，即可求出实数的取值范围. 试题解析：（1）当时， ∴， ∴函数的图象无论为何值都经过定点. （2）当时，. ，，， 则切线方程为，即. 在时，如果， 即时，函数单调递增； 如果， 即时，函数单调递减. （3），. 当时，，在上单调递增. ，不恒成立. 当时，设，. ∵的对称轴为，， ∴在上单调递增，且存在唯一， 使得. ∴当时，，即，在上单调递减； ∴当时，，即，在上单调递增. ∴在上的最大值. ∴，得， 解得. 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在 上方即可)；③讨论最值或恒成立. 19. 这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率． （1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望； （2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前n项和； （3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为，当取最大值时，求n的值． 【答案】（1）的分布列为 3 4 5 6 ，期望为； （2）； （3）125. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息可得的取值，再求出各个值对应的概率，得的分布列及数学期望． （2）根据给定条件，求出，再利用错位相减法求和． （3）设抽取的100人中只游览冰雪大世界的人数为，再求出，结合组合数的计算公式求出最大时的即可得解. 【小问1详解】 据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品； 既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品， 则的可能取值为3，4，5，6， 其中，，，， 所以的分布列为 3 4 5 6 . 【小问2详解】 因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人， 于是， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以. 【小问3详解】 设只游览冰雪大世界的人数为x，则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为， 因此游客得到纪念品的总个数，此时， 假定取最大值，必有，于是， 即，整理得，解得， 而，则， 所以当取最大值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆外国语学校高二年级下学期第二次教学质量检测数学试题 （总分：150分，答题时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 3. 已知离散型随机变量X的分布列，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（    ） A. 2 B. C. 2或 D. 或2 5. 如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( ) A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 7. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ） A. 0.125 B. 0.1 C. 0.075 D. 0.05 8. 已知定义在上的函数满足，对，，有，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量，若方差，则 C. 若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 10. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（    ） A. 二项展开式中各项系数之和为 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为第四项 C. 二项展开式中有3个有理项 D. 二项展开式中项的系数是180 11. 已知函数的图象关于对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 在区间有两个极值点 C. 是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为______． 13. 已知，则__________. 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4. （1）从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； （2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点． （1）求椭圆E的方程； （2）直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程； 18. 已知函数. （1）求函数图象经过的定点坐标； （2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 19. 这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率． （1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望； （2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前n项和； （3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为，当取最大值时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $