第08讲 二次函数y＝ax²与 y＝ax²＋k的图象和性质（6个知识点+12个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第08讲 二次函数y＝ax2与 y＝ax2＋k的图象和性质（6个知识点+12个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用描点法画出y＝ax2 ，y＝ax2＋k的图象． 2．掌握形如y＝ax2 ，y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系． 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点归纳： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点归纳： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点4：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点5：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点6：二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点归纳： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 考点1：y＝ax2图象的识别 【例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　) 解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C. 方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”． 【变式1-1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向上，则， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 【变式1-2】函数与的图像可能是（ ） x y x y x y x y O O O O A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限， 当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限． 【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法． 【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h＝gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为(　　) 解析：根据h关于t的函数关系式为h＝gt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数h＝gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A. 方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义． 考点2：利用y＝ax2图象判断二次函数的增减性 【例2】作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题： (1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小； (2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？ 解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2，(2)由图象可知y3<y4；(3)在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小． 方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误． 【变式2-1】已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ） A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图象开口向上， ∴a-1>0，即：a>1， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 【变式2-2】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线，，共有的性质是（   ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质解题． 【详解】 解：开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点； ∴抛物线，，共有的性质是对称轴为轴，顶点为原点； 故选：B． 【变式2-3】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】分别把代入解析式求解． 【详解】把代入得， 把代入得， ， ， 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数上点的特征． 考点3：二次函数y＝ax2的图象与性质的综合题 【例3】已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 解析：(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图象的开口向下，则m＋3＜0； (3)函数有最小值，则m＋3＞0； (4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 解：(1)根据题意，得解得∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数． (2)∵图象开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下． (3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当m＝1时，原函数有最小值． (4)当m＝－4时，此函数为y＝－x2，开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 当m＝1时，此函数为y＝4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 【变式3-1】（2023九年级·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大． 【变式3-3】物线与直线交于点（1，b）． （1）求a和b的值； （2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大． 【答案】（1），； （2），顶点坐标为，对称轴为轴； （3）当时，二次函数的值随的增大而增大． 【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交点坐标为． 把代入得，∴； （2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴； （3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大， 即当时，二次函数的值随的增大而增大． 【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质． 考点4：利用图象确定y＝ax2的解析式 【例4】一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式． 解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A(2，－2)关于x轴的对称点B1(2，2)，点A(2，－2)关于y轴的对称点B2(－2，－2)． 解：∵点B与点A(2，－2)关于坐标轴对称，∴B1(2，2)，B2(－2，－2)．当y＝ax2的图象经过点B1(2，2)时，2＝a×22，∴a＝，∴y＝x2；当y＝ax2的图象经过点B1(－2，－2)时，－2＝a×(－2)2，∴a＝－，∴y＝－x2.∴二次函数的关系式为y＝x2或y＝－x2. 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案． 【变式4-1】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】根据题意可设该抛物线解析式为，再利用待定系数法即可求解． 【详解】根据题意可设该抛物线解析式为， 将点(2，8)代入，即得， 解得：， 故该抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的图象和性质以及利用待定系数法求函数解析式．掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【变式4-2】（2023九年级·河北廊坊·阶段练习）已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为轴，经过原点，请写出一个满足条件的抛物线的解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据抛物线的开口向下和对称轴，设出函数解析且，据此写出解析式即可解答． 【详解】解：根据题意可得：二次函数的顶点坐标为， 设且，例如：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的表达式是解题的关键． 【变式4-3】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式． 【答案】． 【解析】∵为二次函数，∴，解得，， 又∵，∴，可得，∴二次函数为． ∵要求的抛物线与开口方向相反，形状相同， ∴要求的这个二次函数的解析式为． 【总结】本题考查二次函数的概念及性质． 考点5：二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用 【例5】已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求： (1)a，b的值； (2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标． 解析：直线与函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解． 解：(1)∵点A(1，b)是直线与函数y＝ax2图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴∴ (2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(－3，－9)． 【变式5-1】如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，可得△COD≌△OAE，在 中，由∠COD=60°， 可得∠OCD=30°，从而得到 ， ，进而得到 ，可得到点 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E， 根据题意得∠AOC=90°，OA=OC=2，∠COD=90°-30°=60°， ∴∠AOE+∠COD=90°， ∵CD⊥x轴，AE⊥x轴， ∴∠CDO=∠OEA=90°， ∴∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠COD=∠OAE， ∴△COD≌△OAE， ∴AE=OD，OE=CD， 在 中，∠COD=60°， ∴∠OCD=30°， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 ， 把代入，得： ，解得： ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到△COD≌△OAE是解题的关键． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值． A B O x y 【答案】，． 【解析】把横坐标-1，2分别代入（）得、， ∴，，， 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，， 此方程无解， 综上，当为直角三角形，a的值为1或． 【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解． 【变式5-3】已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标， 【详解】（1）设直线的解析式为 ， 解得 直线的解析式为， 抛物线过点 抛物线的函数解析式为； （2）直线与抛物线相交于B，C两点，， 即 解得 当时， 直线 令，得 所以 当时， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键． 考点6：二次函数y＝ax2的实际应用 【例6】如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题． 解：(1)以O点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×32，解得a＝－，∴抛物线的函数关系式为y＝－x2. (2)当x＝1时，y＝－×12＝－.∵OM＝3，∴木板最高可堆放3－＝(米)． 方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想． 【变式6-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    【答案】8 【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为4的正方形面积为16， ∴图中的阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键． 【变式6-2】如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式； （2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？ x y A B C D O 【答案】（1）；（2）5小时． 【解析】（1）设抛物线解析式为（）， 如图，设，则， 把、代入得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）由（1）知，∴（小时） 【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 考点7：y＝ax2＋k的图象与性质的识别 【例7】若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是(　　) A．a＝2 B．当x＜0，y随x的增大而减小 C．顶点坐标为(2，0) D．图象有最低点 解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C. 方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴． 【变式7-1】（2023九年级·吉林长春·期末）当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式7-2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点， 故选：． 【变式7-3】已知二次函数，则（　　） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值 C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴当时，y有最大值，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性和顶点坐标． 考点8：二次函数y＝ax2＋k增减性判断 【例8】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的． 方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线． 【变式8-1】（2023·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：A、函数在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； B、函数中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y的值随x值的增大而增大，符合题意； D、函数中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【变式8-2】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵在二次函数的图象上， ∴关于y轴的对称点也在二次函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键． 【变式8-3】已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【详解】解：， 函数图象的对称轴是轴，图象的开口向下， 当时，随的增大而增大， 点，关于对称轴的对称点的坐标是，，且， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质． 【变式8-4】已知抛物线过点和点． （1）求这个函数的关系式； （2）写出当为何值时，函数随的增大而增大． 【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线过点和点， ，解得 ∴这个函数得关系式为：． （2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0， ∴当时，函数随的增大而增大． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用． 考点九：识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象 【例9】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　) 解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B. 【变式9-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）． 【答案】B. 【变式9-2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【总结升华】先由一次函数y=ax+b图象得到字母a、b的正负，再与二次函数y=ax2﹣b的图象相比较看是否一致． 【答案】D. 【解析】 解：A、由直线y=ax+b的图象经过第二、三、四象限可知：a＜0，b＜0， 二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上， ∴a＞0，A不正确； B、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0， 二次函数y=ax2﹣b的图象开口向下， ∴a＜0，B不正确； C、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0， 二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上， ∴a＞0，C不正确； D、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0， 二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，顶点在y轴负半轴， ∴a＞0，b＞0，D正确． 故选D． 【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a、b的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论． 考点10：确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系 【例10】抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？ 解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的． 方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到． 【变式10-1】（2023九年级·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移． 【详解】由于选项D中二次项系数相同，则抛物线与抛物线能够互相平移，其它选项中的两个二次函数的二次项系数都不相同，它们不能互相平移． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平 【变式10-2】（2023九年级·浙江宁波·期末）把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：平移后所得图象的函数表达式是：， 故答案为：． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图： （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 【变式10-4】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系． （2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【详解】解：（1）列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … 描点、连线，可得抛物线． 将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）． 抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键． 【变式10-5】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【分析】首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系． 【详解】解：如图所示，即为三者的函数图像： 由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）； 由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 考点11：y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用 【例11】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________． 解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B(－，)、C(，)，因为C(，)在函数y＝ax2＋c的图象上，将点C坐标代入关系式即可求出ac的值． 解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点坐标为(，)．∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴＝a()2＋c，即ac＝－2. 方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性． 【变式11-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： (1)求之间满足的函数关系式； (2)已知在此函数图象上，请求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式； （2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积. 【详解】（1）解：连接，过点作轴于． 则，， ，． ． （2）由（1）知，，如图， . 【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【变式11-2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为：； (2)； (3)，的最小值为． 【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点的坐标为，点的坐标为 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得 解得， 所以，直线的解析式为：； （2）解：对于直线： 当时， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小， 设直线∶， ∵直线∶过点和点， ∴， 解得， ∴直线∶， 令，有， 解得， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴的最小值为的长：． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． 考点12：二次函数y＝ax2＋k的实际应用 【例12】如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－x2＋运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m. (1)球在空中运行的最大高度为多少？ (2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？ 解：(1)∵y＝－x2＋的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m. (2)在y＝－x2＋中，当y＝3.05时，3.05＝－x2＋，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－x2＋，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)． 【变式12-1】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：9 【变式12-2】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离． 【答案与解析】 （1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0）， ∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上， ∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6， ． 故抛物线的函数关系式为. （2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m． 将y=4.5代入，得x=±2． ∴P（-2，4.5），Q（-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6， 从而|PB|= 所以照明灯与点B的距离为7.5m． 【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实 际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地 面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数自变量与函数值的计算，掌握二次函数自变量与函数值的对应关系是解题的关键． 根据题意，把点坐标代入二次函数计算，即可求解． 【详解】解：A、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； B、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； C、当时，故在二次函数图象上，符合题意； D、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系；把，分别代入求得，，然后根据图象即可求得答案． 【详解】解：如图所示：把代入得，， 把代入得， 抛物线的开口越小，的绝对值越大， 抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或 故选C．    3．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（   ） A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称，随增大而增大 C．都是关于轴对称，随增大而减少 D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键；由二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：对于二次函数，其图象对称轴为y轴，顶点为原点；当时，开口向上，在y轴左边，函数值随自变量的增大而减小，在y轴右边，函数值随自变量的增大而增大；当时，开口向下，在y轴左边，函数值随自变量的增大而增大，在y轴右边，函数值随自变量的增大而减小；由此选项A、B、C均错误，选项D正确； 故选：D． 4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线的共同性质是（   ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值；根据二次函数的性质，可以分别写出题目中抛物线的开口方向，最值、对称轴和顶点坐标，从而可以解答本题． 【详解】解：抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是轴，顶点坐标为； 抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为； 抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为； 故选：D． 5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·四川泸州·一模）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 （填＞，＜或＝）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则 ． 【答案】 【分析】 此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键． 由抛物线的开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ， ， ． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围． 【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限， 抛物线开口向下， ， 解得：， 故答案：． 9．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 【答案】 向下 【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，． 故答案为：向下，，． 10．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）直线经过第一、二、四象限，则抛物线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．由直线经过一、二、四象限可分析，由此判定抛物线不经过第三象限． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，经过原点， ∴抛物线不经过第三象限． 故答案为：三． 11．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据题干提供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可； 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴， ∴该抛物线的解析式的二次项系数为负数，不含一次项， ∴这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）点，均在二次函数的图象上，则 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；② 抛物线开口向上，顶点是；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而减小；其中正确说法有 ．（填序号） 【答案】①④ 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．用到的知识点：在中，对称轴为y轴顶点坐标为．当时，抛物线开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；顶点是抛物线的最高点．据此解答即可 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 故①④正确，②③错误， 故答案为：①④． 14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质， 根据二次函数的性质可得：越大，开口越小，越小，开口越大进行求解， 【详解】解：当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 综上，a的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题 15．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 【答案】抛物线解析式为，对称轴为y轴 【分析】把已知点的坐标代入中求出a，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴． 【详解】解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，对称轴为y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：顶点在原点的抛物线的对称轴为y轴． 16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的二次函数． (1)若函数有最小值，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在此函数图象上 【分析】（1）先根据二次函数的定义求出m的值； （2）把代入二次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在二次函数图象上，否则不在． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数 ∴ ∴ ∵二次函数有最小值，则， ∴； （2）解：∵， ∴当时， ∴点不在此函数图象上． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 17．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 【答案】(1)点，点． (2)27 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点的坐标 （2）根据点A、B的坐标直接求出三角形的面积． 【详解】（1）轴，， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 点、关于轴对称， 点． （2）点，点． ， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征． 18．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】 根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 19．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数关系式为 (2)； (3)存在，此时C点坐标为、、、 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据条件求出，从而求出，即可求解； （3）由题意可得点到的距离是点C到的距离的2倍，即点C的纵坐标为1或者3，把和代入求解即可． 【详解】（1）解;∵二次函数的图像经过点 ∴把点直接代入可得：， ∴二次函数关系式为． （2）解：把代入，解得：或1， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在； ∵的面积等于面积的2倍，且和都有共同的底边， ∴点到的距离是点C到的距离的2倍， ∵到的距离为2， ∴点C到的距离为1 即点C的纵坐标为1或者3， 把代入得：，把代入得：， ∴此时C点坐标为、、、； 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到面积问题，待定系数法求解析式等，灵活运用所学知识是关键． 20．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数y＝ax2与 y＝ax2＋k的图象和性质（6个知识点+12个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用描点法画出y＝ax2 ，y＝ax2＋k的图象． 2．掌握形如y＝ax2 ，y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系． 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点归纳： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点归纳： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点4：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点5：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点6：二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点归纳： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 考点1：y＝ax2图象的识别 【例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　) 【变式1-1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式1-2】函数与的图像可能是（ ） x y x y x y x y O O O O A． B． C． D． 【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h＝gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为(　　) 考点2：利用y＝ax2图象判断二次函数的增减性 【例2】作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题： (1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小； (2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？ 【变式2-1】已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ） A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1 【变式2-2】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线，，共有的性质是（   ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小 【变式2-3】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 考点3：二次函数y＝ax2的图象与性质的综合题 【例3】已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【变式3-1】（2023九年级·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【变式3-3】物线与直线交于点（1，b）． （1）求a和b的值； （2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大． 考点4：利用图象确定y＝ax2的解析式 【例4】一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式． 【变式4-1】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______． 【变式4-2】（2023九年级·河北廊坊·阶段练习）已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为轴，经过原点，请写出一个满足条件的抛物线的解析式： ． 【变式4-3】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式． 考点5：二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用 【例5】已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求： (1)a，b的值； (2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标． 【变式5-1】如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值． A B O x y 【变式5-3】已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 考点6：二次函数y＝ax2的实际应用 【例6】如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 【变式6-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    【变式6-2】如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式； （2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？ x y A B C D O 考点7：y＝ax2＋k的图象与性质的识别 【例7】若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是(　　) A．a＝2 B．当x＜0，y随x的增大而减小 C．顶点坐标为(2，0) D．图象有最低点 【变式7-1】（2023九年级·吉林长春·期末）当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式7-2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知二次函数，则（　　） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值 C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值 考点8：二次函数y＝ax2＋k增减性判断 【例8】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 【变式8-1】（2023·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为　　 A． B． C． D． 【变式8-4】已知抛物线过点和点． （1）求这个函数的关系式； （2）写出当为何值时，函数随的增大而增大． 考点九：识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象 【例9】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　) 【变式9-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）． 【变式9-2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点10：确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系 【例10】抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？ 【变式10-1】（2023九年级·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-2】（2023九年级·浙江宁波·期末）把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是 ． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【变式10-4】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【变式10-5】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 考点11：y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用 【例11】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________． 【变式11-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： (1)求之间满足的函数关系式； (2)已知在此函数图象上，请求出的面积． 【变式11-2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 考点12：二次函数y＝ax2＋k的实际应用 【例12】如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－x2＋运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m. (1)球在空中运行的最大高度为多少？ (2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？ 【变式12-1】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【变式12-2】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离． 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（   ） A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称，随增大而增大 C．都是关于轴对称，随增大而减少 D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点 4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线的共同性质是（   ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点 5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·四川泸州·一模）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 （填＞，＜或＝）． 7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则 ． 8．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 9．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 10．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）直线经过第一、二、四象限，则抛物线不经过第 象限． 11．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ． 12．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）点，均在二次函数的图象上，则 ．（填“>”或“<”） 13．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；② 抛物线开口向上，顶点是；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而减小；其中正确说法有 ．（填序号） 14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 三、解答题 15．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的二次函数． (1)若函数有最小值，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 17．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 18．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 19．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 20．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$