第十一章 三角形 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第十一章 三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2024·浙江台州·二模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（       ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽阜阳·二模）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 5．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，根据光的反射原理，，，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则（   ） A．35 B．70 C．90 D．108 8．（2024·河北石家庄·二模）如图，C岛在A岛的北偏东方向上，在B岛的北偏西方向上，A岛在B岛北偏西方向上，则从C岛看A、B两岛的视角为（   ）． A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 12．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线将一个含有角的直角三角板（）按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 ． 13．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号） ①如果，，则； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同位角相等； ④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直； ⑤互补的两个角是邻补角； ⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条； ⑦有理数和数轴上的点一一对应． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．    15．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 16．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行， （1）当，时， 度； （2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时 度． 17．（23-24七年级下·四川成都·期中）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，为 ． 18．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，延长至点，连接，和的角平分线交于点，下列三个结论：①；②；③若，，则．其中结论正确的个数有 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 20．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 21．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)直接写出点，，的坐标： (3)求三角形的面积． 22．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 23．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 24．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，已知，点P在之间，连接，，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，已知，点E、F分别是射线上一点，连接，平分交于点G，交所在直线于点H，连接，． ①试说明； ②若，，判断是否平分，并说明理由．    25．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连接交射线于点，设． (1)如图1，若， ①的度数是 　　； ②当时，的度数是 　　；当时，的度数是 　　； (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动． (1)如图1，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及延长线相交于、，在中，如果有两个角度数的比是，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得答案． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意； B、，满足三边关系定理，故正确，符合题意； C、，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意． 故选：B． 2．（2024·浙江台州·二模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，先求出正九边形每个外角的度数，再求出每个内角的度数即可． 【详解】解：如图， 图中6个都是正九边形 正九边形的每个外角为 正九边形的每个内角为 即 ． 故选：C． 3．（2024·安徽阜阳·二模）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质以及即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选B． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴，， ∴ ． 故选：B． 5．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等是解题的关键．根据三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等判断求解即可． 【详解】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，故①正确，符合题意； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误，不符合题意; ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意； ④“对顶角相等”的证明依据是同角的补角相等，故④错误，不符合题意； 只有一个正确； 故选：A． 6．（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，根据光的反射原理，，，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，先得出，结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则（   ） A．35 B．70 C．90 D．108 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系分别求出，，，，，即可求出的面积． 【详解】解：连接，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 8．（2024·河北石家庄·二模）如图，C岛在A岛的北偏东方向上，在B岛的北偏西方向上，A岛在B岛北偏西方向上，则从C岛看A、B两岛的视角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，理清各角之间的关系成为解题的关键． 根据方位角的概念和平行线的性质，再结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵C岛在A岛的北偏东方向上，在B岛的北偏西方向上，A岛在B岛北偏西方向上， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ． 故选：C． 9．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，直角三角形的性质，能够作出辅助线是解题的关键． 延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，再结合平行线的性质，即可推出①②正确，借助平行线的性质推得，即可判断③④不一定正确． 【详解】解：延长，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故① 正确； ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 故选：B． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，分点在线段上和在射线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： ∵平分，平分， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在射线上时，如图： ∵平分，平分， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； 故选D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】1260 【分析】本题主要考查了多变形的内角与外角．首先根据外角和与一个外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：一个多边形的每一个外角都等于， 这个多边形的边数为：， 这个多边形的内角和为：， 故答案为：． 12．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线将一个含有角的直角三角板（）按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 ． 【答案】/117度 【分析】本题考查了平行线性质求角度，三角形外角性质，邻补角的计算，对顶角相等等知识，根据对顶角相等可求出的度数，根据三角形外角性质求出的度数，再利用邻补角求出的度数，最后利用两直线平行同位角相等求出结果即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号） ①如果，，则； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同位角相等； ④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直； ⑤互补的两个角是邻补角； ⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条； ⑦有理数和数轴上的点一一对应． 【答案】④ 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及垂直性质、平行线的判定与性质、有理数与数轴、邻补角定义、角平分线的定义等性质，根据相关知识逐个判断即可． 【详解】解：①如果，，未添加条件“在同一平面内”，无法判断a与c的关系，故①中命题是假命题； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②中命题是假命题； ③两直线平行，同位角相等，故③中命题是假命题； ④如图，，平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即， ∴同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故④中命题是真命题； ⑤互补的两个角不一定是邻补角，故⑤中命题是假命题； ⑥在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故⑥中命题是假命题； ⑦有理数和数轴上的点不是一一对应，故⑦中命题是假命题． 故答案为：④． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解． 【详解】解：，，，的外角和等于， ， 五边形的内角和为， ． 故答案为：． 15．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行， （1）当，时， 度； （2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时 度． 【答案】 120 160 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）延长，，相交于点K，由平行线的性质可得，再利用，可得的度数，从而可求的度数； （2）延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数． 【详解】解：（1）如图2，延长，，相交于点K， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：120． （2）如图3，延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：160． 17．（23-24七年级下·四川成都·期中）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“高倍三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可． 【详解】设，则， ∵ ∴ ∵为“高倍三角形” 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：（舍）； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：；（舍） 当时， 即 ，解得：；（舍） 故答案为：或或． 18．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，延长至点，连接，和的角平分线交于点，下列三个结论：①；②；③若，，则．其中结论正确的个数有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和，外角和定理的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据平行线的判定即可判定结论①；根据平行线的性质，角平分的性质，三角形的内角和外角和定理可得，由此可判定结论②；根据三角形的外角和定理可得，结合角平分线性质可得，根据平行的性质，，由此即可判定结论③． 【详解】解：结论①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； 结论②， 如图所示，设交于点， 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②错误； 结论③若，，则， ∵，且， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，故结论③正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③ ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 【答案】这个多边形的边数是8 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，设多边形的边数是，根据题意，列出方程进行求解即可，掌握多边形的内角和公式以及外角和为360度，是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数是， 由题意，得：， 解得：； 故这个多边形的边数是8． 20．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键． 先根据三角形中线的定义求出的长度，再利用的周长为30求的长即可． 【详解】解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． ∵的周长为30， ∴． 21．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)直接写出点，，的坐标： (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)3 【分析】此题主要考查了三角形面积求法以及坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）根据图示得出坐标即可； （3）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：，，； （3）解：的面积 22．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)互补，见解析 (3)130° 【分析】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补． （1）根据同位角相等两直线平行，可证； （2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系； （3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3），， ， ， ， ， ， ． 23．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1）过点B作交于一点E，即可作答． （2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示： （2）； 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）过点B作交于一点G， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， （4）过点B作交于一点， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 24．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，已知，点P在之间，连接，，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，已知，点E、F分别是射线上一点，连接，平分交于点G，交所在直线于点H，连接，． ①试说明； ②若，，判断是否平分，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②平分，见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和外角的性质等知识： （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）①证明即可；②求出即可 【详解】解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． ②∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵平分，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴平分． 25．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连接交射线于点，设． (1)如图1，若， ①的度数是 　　； ②当时，的度数是 　　；当时，的度数是 　　； (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 【答案】(1)①；②， (2)的值是或或 【分析】（1）①利用角平分线的定义求出，根据平行线的性质可得出答案； ②当时，利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数； 当时，求出，然后根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）分三种情况进行讨论：①当时，②当点在左边，时，③当点在右边，时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：①，平分， ， ， ； ②当时， ， ，， ； 当时， ， ， ， ； 故答案为：①； ②，； （2）解：①当时，如图， ，， ， ， ， ， ； ②当点在左边，时， ，，， ，， ， ， ； ③当点在右边，时， ，，， ，， ，， ， ； 综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．本题利用角平分线的定义求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动． (1)如图1，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及延长线相交于、，在中，如果有两个角度数的比是，直接写出的度数． 【答案】(1)不发生变化， (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键． （1）先求解，结合角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求求解的度数； （2）由平角的定义求解，利用角平分线的定义可求，根据四边形的内角和定理可求，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解； （3）先求解，结合有两个角度数的比是分4种情况可求解． 【详解】（1）解：不变． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）不变． ， ， ∵、分别是和的角平分线， ， ， ， ， ∵、分别是和的角平分线， ， ， ； （3）∵平分平分， ， ， ， 即， ∵平分， ， ， ， 在中， ∵有两个角度数的比是，故有4种情况： ；(不成立) ； ； ④(不成立)． ∴为或． 故答案为：为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$