专题06 复数（思维导图+5重点+8题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第四册）

专题06 复数 知识点1 ：复数的概念 1.虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起，服从实数的运算律. 2.代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部. 3.复数的分类 复数z＝a＋bi(a、b∈R)中， z是实数⇔b＝0，　z是虚数⇔b≠0 z是纯虚数⇔. 4.复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d. 特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0. 知识点2：复数的几何意义 1.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系.以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量，与复数z一一对应，的模叫做复数z的模. 2.a＋bi与a－bi(a、b∈R)互为共轭复数. 在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 3．复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 3.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 知识点3 ：复数的加法与减法 1.运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R). z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； 2.复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 （1）交换律：z1＋z2＝z2＋z1； （2）结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 3.复数加、减法的几何意义 加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 知识点4 ：复数的乘法与除法 1.运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R). （1）z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （2）＝＋i. 2.复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.实系数一元二次方程在复数范围内的解集 a,b,cϵR,a≠0，ax2+bx+c=0 （1）当∆=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当∆=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）∆=b2-4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根； 4.一元二次方程根与系数的关系仍成立. *知识点5 ：复数的三角形式及其运算 1.一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2.乘法与除法运算公式：若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)= r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2) ＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 3.拓广： (1)有限个复数相乘，结论亦成立． 即z1·z2…zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…rn(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． (2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍． 题型归纳 【题型01 复数的概念】 满分技法 (1)复数的代数形式： 若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念. (3)虚数单位i的性质 ①i2＝－1. ②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律. ③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立. 1．（23-24高一下·云南·期中）设，则的实部与虚部之和为（    ） A． B．2 C．1 D． 2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 3．（上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期高三三模数学试卷）复数的虚部是 ． 【题型02复数的相等】 满分技法 复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解. 4．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知复数且，其中为虚数单位，则（   ） A．－4 B．－3 C．－2 D．0 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 6．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数，，并且，则 ． 【题型03 复数的分类】 满分技法 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔. (2)集合表示： 7．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 【题型04复数的加、减、乘、除的运算】 满分技法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． (3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z. （4）注意应用： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，＝－i. 9．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 10．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 12．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 13．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 14.（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【题型05复数及其加、减法的几何意义】 满分技法 复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离． 15．（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 16.（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，则 . 【题型06复数的模及其几何意义】 满分技法 (1)复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． (2)复数形式的基本轨迹 ①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆； ②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线； 17．（2023高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（2024·湖南·二模）设为非零复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则的最大值为2 19.（23-24高一下·吉林延边·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形面积为 【题型07实系数一元二次方程有关问题】 满分技法 注意发挥判别式的作用，有虚数根时互为共轭复数 20．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 21．（2024·河南·三模）在复数范围内，方程的解集为 . 22．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 23．（23-24高一下·安徽宿州·期中）（1）在复数范围内解方程:； （2）已知关于的方程，其中为实数，若（是虚数单位）是该方程的根，求与的值. 【题型08复数的三角形式及其运算】 满分技法 1.复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模. （2）决定辐角所在的象限. （3）根据象限求出辐角. （4）求出复数的三角形式. 2.两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 24．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 过关检测 1．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 3.（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知复数在复平面上对应的点为，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．是纯虚数 4．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 5．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）复数的虚部为 ． 6．（22-23高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 7．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，求x，y的值． 9．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 10．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知复数，，其中，． (1)若是纯虚数，求的值． (2)、能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 复数 知识点1 ：复数的概念 1.虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起，服从实数的运算律. 2.代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部. 3.复数的分类 复数z＝a＋bi(a、b∈R)中， z是实数⇔b＝0，　z是虚数⇔b≠0 z是纯虚数⇔. 4.复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d. 特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0. 知识点2：复数的几何意义 1.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系.以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量，与复数z一一对应，的模叫做复数z的模. 2.a＋bi与a－bi(a、b∈R)互为共轭复数. 在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 3．复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 3.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 知识点3 ：复数的加法与减法 1.运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R). z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； 2.复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 （1）交换律：z1＋z2＝z2＋z1； （2）结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 3.复数加、减法的几何意义 加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 知识点4 ：复数的乘法与除法 1.运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R). （1）z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （2）＝＋i. 2.复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.实系数一元二次方程在复数范围内的解集 a,b,cϵR,a≠0，ax2+bx+c=0 （1）当∆=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当∆=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）∆=b2-4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根； 4.一元二次方程根与系数的关系仍成立. *知识点5 ：复数的三角形式及其运算 1.一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2.乘法与除法运算公式：若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)= r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2) ＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 3.拓广： (1)有限个复数相乘，结论亦成立． 即z1·z2…zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…rn(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． (2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍． 题型归纳 【题型01 复数的概念】 满分技法 (1)复数的代数形式： 若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念. (3)虚数单位i的性质 ①i2＝－1. ②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律. ③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立. 1．（23-24高一下·云南·期中）设，则的实部与虚部之和为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由复数实部、虚部的概念分别计算实部、虚部，求和得到答案. 【详解】的实部为，虚部为2，所以实部与虚部之和为1， 故选：C． 2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 3．（上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期高三三模数学试卷）复数的虚部是 ． 【答案】 【分析】根据复数虚部的定义即可得解 【详解】复数的虚部是. 故答案为：. 【题型02复数的相等】 满分技法 复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解. 4．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知复数且，其中为虚数单位，则（   ） A．－4 B．－3 C．－2 D．0 【答案】A 【分析】先化简复数，然后根据复数相等求出，可得答案. 【详解】， 因为，即， 所以，即， 所以． 故选：A． 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】 1 【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案. 【详解】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 6．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数，，并且，则 ． 【答案】 【分析】由复数相等，可用含的二次式子表示出，进一步结合的值域即可求解. 【详解】由题意，所以， 从而， 注意到的取值范围是，所以的取值范围是. 故答案为：. 【题型03 复数的分类】 满分技法 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔. (2)集合表示： 7．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以是复数为纯虚数的充要条件. 故选：A. 8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由已知可得，计算即可； （3）由已知可得，计算即可. 【详解】（1）由复数z为实数，得， 解得或 （2）由复数z为虚数，得， 解得且 （3）由复数z为纯虚数，得 解得. 【题型04复数的加、减、乘、除的运算】 满分技法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． (3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z. （4）注意应用： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，＝－i. 9．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 10．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 11．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 12．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 13．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 14.（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 【题型05复数及其加、减法的几何意义】 满分技法 复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离． 15．（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量减法法则得到，求出对应的复数. 【详解】由题意得，故对应的复数为. 故选：B 16.（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，则 . 【答案】 【分析】 利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且. 作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 故答案为： 【题型06复数的模及其几何意义】 满分技法 (1)复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． (2)复数形式的基本轨迹 ①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆； ②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线； 17．（2023高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离的最小值即可. 【详解】设，， 则复数对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 如图， 的几何意义是点到点的距离， 的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1， 即. 故选：B. 18．（多选）（2024·湖南·二模）设为非零复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则的最大值为2 【答案】BD 【分析】 对于A，结合题意进行判断，举反例即可， 对于B，设,先求出共轭复数和模的平方，求解即可，故B正确，对于C,举反例证明即可，对于D，利用画出图形，利用几何意义求解即可. 【详解】对于A，设，当均不为0时，为虚数，而为实数，所以不成立，故A错误； 对于B，则，所以， 而，所以成立，故B正确；    对于C，设，又，所以，故C错误. 对于D，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 的几何意义为复数对应的点与两点间的距离， 所以，如图可知，当点为时，最大，取最大值， 则最大值为2，故D正确. 故选:BD. 19.（23-24高一下·吉林延边·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形面积为 【答案】 【分析】设，根据复数的模得到，即可求出所构成的图形的面积. 【详解】设，若，则， 则点在以坐标原点为圆心，大圆半径为，小圆半径为的圆环区域内（包括边界）， 则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为. 故答案为： 【题型07实系数一元二次方程有关问题】 满分技法 注意发挥判别式的作用，有虚数根时互为共轭复数 20．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 【答案】 【分析】思路一：把代入方程中，再利用复数相等求出、，即可得解. 思路二：依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】方法一：由已知可得，即， 所以，解得，所以. 方法二：因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根， 所以也是该方程的一个根， 由韦达定理得，解得，所以. 故答案为：. 21．（2024·河南·三模）在复数范围内，方程的解集为 . 【答案】 【分析】先移项，再进行因式分解，在复数范围内求解，把看作，即可求得方程的解. 【详解】由，得，得或，则或. 故答案为：. 22．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由题意可得，求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，然后利用列方程可求出的值. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 故答案为：3 23．（23-24高一下·安徽宿州·期中）（1）在复数范围内解方程:； （2）已知关于的方程，其中为实数，若（是虚数单位）是该方程的根，求与的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用判别式法求解一元二次方程即可. （2）利用一元二次方程两个根共轭的性质求出另一个根，再利用根与系数的关系建立方程求解参数即可. 【详解】（1） 方程的根为 （2）是方程的根，也是方程的根 由实系数一元二次方程根与系数的关系得 ，解得， 故的值为4，的值为. 【题型08复数的三角形式及其运算】 满分技法 1.复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模. （2）决定辐角所在的象限. （3）根据象限求出辐角. （4）求出复数的三角形式. 2.两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 24．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 25．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6). 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得. （6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. （5）. （6） . 过关检测 1．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 2．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 3.（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知复数在复平面上对应的点为，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．是纯虚数 【答案】CD 【分析】根据给定条件，求出复数，再逐项判断即可. 【详解】对于A，由复数在复平面上对应的点为，得，其虚部为，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，为纯虚数，D正确. 故选：CD 4．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 5．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）复数的虚部为 ． 【答案】2 【分析】利用复数的运算法则求解出复数，再利用虚部的定义得到答案即可. 【详解】因为，所以复数的虚部为2． 故答案为：2 6．（22-23高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 【答案】 【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可. 【详解】令， ，所以， 即. 故答案为: . 7．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 是点到定点的距离，而，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，求x，y的值． 【答案】 【分析】根据相等复数的条件建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由复数相等的定义，得，解得， 所以. 9．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据复数为纯虚数的概念列方程求解即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【详解】（1）当z为纯虚数时，有，解得. （2）当z在复平面内对应的点在第三象限时， 有，解得， 所以m的取值范围为. 10．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知复数，，其中，． (1)若是纯虚数，求的值． (2)、能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1). (2)不能，理由见详解. 【分析】（1）先求得关于m的表达形式，然后根据纯虚数的概念列出方程组，求解即得. （2）根据实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭，其实部相等虚部互为相反数，得到方程组求解即得. 【详解】（1）由，，可得. 因为是纯虚数，所以，解得. （2）不能.假设、是实系数一元二次方程的两个虚根，则， 根据求根公式，不妨令，，显然、互为共轭复数，所以，无实数解． 所以、不能为某实系数一元二次方程的两个虚根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$