辽宁省大连市部分学校2023-2024学年高三下学期联合模拟考试数学试题

2024届高三联合模拟考试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B．2 C． D． 3．某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 4．已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（    ） A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 10．如图所示，在直三棱柱中，若，，则下列说法中正确的有（    ） A．三棱锥表面积为 B．点在线段上运动，则的最小值为 C．、分别为、的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为 D．点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为 11．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（    ） A． B． C．直线与相切 D．（为坐标原点）有最大值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为 . 13．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为 . 14．我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”（如图（1）），亦称“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，可构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知与的面积之比为，设，则 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若，分别为，的中点，求二面角的余弦值． 16.（本小题15分） 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先贏2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 17.（本小题15分） 已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3． (1)求的取值范围； (2)当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为． ①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②记与交于点，求线段长度的取值范围． 18.（本小题17分） 已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足 (1)求； (2)求数列的通项公式及数列的前2k项和; (3)在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件的正整数的值;若不存在，说明理由 19.（本小题17分） 已知函数． (1)若函数有三个零点分别为，，，且，，求函数的单调区间； (2)若，，证明：函数在区间内一定有极值点； (3)在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三联合模拟考试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，若，则， 即集合，所以. 故选：A 2．已知复数，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】， 故. 故选：D 3．某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【答案】C 【详解】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误； 令，所以，又，所以， 因为，所以或. 又，所以，所以.故B错误； 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 且在内单调递减，因为， 所以在上单调递减，故C正确； 由图象得该质点在内的路程为，故D错误. 故选：C. 4．已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆C：的圆心为，半径为2， 直线l的方程可化为，于是l过定点，且， 显然，即， 又，因此， 设，，显然， 则，其中，当时等号成立，此时， ，符合条件， 所以的最大值为． 故选：D    5．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等价于， 令，则，所以是增函数， 所以等价于， 所以，所以， 令，则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，故 所以实数的取值范围为． 故选：B． 6．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得， ，故渐近线方程为. 故选：C 7．已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 因为，，， 所以 即， ， ，在上单调递减， ，所以在上单调递减， 所以，即， ，当时，，所以在上单调递增， 所以, 故选：B. 8．如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则，   ， ， 由余弦定理得 ， 设，则，故， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径为，外接球表面积为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（    ） A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 【答案】AB 【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示， 所以，且，， 且， 所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件， 事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB. 10．如图所示，在直三棱柱中，若，，则下列说法中正确的有（    ） A．三棱锥表面积为 B．点在线段上运动，则的最小值为 C．、分别为、的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为 D．点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【详解】对于A：在直三棱柱中， 平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证， 又，所以，， 所以， 所以三棱锥表面积，故A正确； 对于B：将沿旋转与共面且位于的异侧， 如图所示， ， 即点在线段上运动，则的最小值为，故B正确， 对于C：延长、，设，连接交于点，连接， 则过的截面为如图所示四边形，    因为，是的中点，故是的中点， 又为的中点，所以为的重心， ，， 所以截面周长为，故C正确， 对于D：平面，共面，所以平面，    又点在侧面及其边界上运动，平面平面， 所以点的轨迹为线段，且，故点的轨迹长度为，故D错误. 故选：ABC. 11．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（    ） A． B． C．直线与相切 D．（为坐标原点）有最大值 【答案】BC 【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，所以，故A错误； 设，则， 所以，则直线的方程为， 令，得，即， 所以，则，故，故B正确； 因为，所以直线的方程为， 由，消去整理得，显然，所以直线（）与相切，故C正确； 设，，：，由，可得， 显然，所以，， 所以，， 所以 ， 所以当时有最大值，故D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意知，每个三角形的顶角为，， 作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征知，， 设与所成的角为，则， 所以， 由的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 13．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】如图所示. 区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积， 可得，设函数的最小正周期为，则， 由题意可得，解得，故，可得， 即， 又的图象过点，即， 因为，所以，解得. 故. 故答案为：. 14．我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”（如图（1）），亦称“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，可构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知与的面积之比为，设，则 ． 【答案】 【详解】设边长为，边长为， 由题意得与的面积之比为，可得， 化简得，可得，不妨设， 如图，作，以为原点建立平面直角坐标系， 在中，设，由余弦定理得，解得， 故，，且设，作，故， 故得，解得，由勾股定理得， 故，易知，，， 可得，，， 且，， 可得， 得到，解得，显然. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若，分别为，的中点，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， ∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面， 因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1， 故等腰梯形的面积为：， ∴， ∴， 在中，，． ∴，即， ∴为的三等分点， ∴． 又∵，面，面， ∴平面， ∵平面，∴． （2）取中点，连接，则四边形为平行四边形， ∴． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴四点共面． 连接交于，连接，则二面角即二面角． ∵平面，平面， ∴， 易知四边形为正方形，则， ∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面． ∵，∴平面， ∵平面，平面， ∴，． ∴是二面角的平面角， 在中，，， ∴，∴， ∴二面角的余弦值为. 16.（本小题15分） 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先贏2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 【答案】(1) (2) (3)局 【详解】（1）甲第三轮获胜的基本事件有：{第一、二、三轮甲全胜}，{第一轮甲输，第三轮甲胜}， 设“甲在第i轮获胜”，则； （2）设事件“第轮甲轮空”，则， ， ， ； （3）设一轮比赛中甲胜的局数为，则， ， ， ， ， 前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则 ， ， ， 局胜的局数为:（局）. 17.（本小题15分） 已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3． (1)求的取值范围； (2)当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为． ①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②记与交于点，求线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)① 存在；；② 【详解】（1）设，由题知，，即， 则，即， 记， 则在上的最大值为9，对称轴为， ①当，即时，，成立； ②当，即时， ， 当且仅当，即时等号成立，可知不成立； 综上，； （2）由（1）得，， 所以当时，离心率达到最大，此时，椭圆， ①存在，理由如下， 设，则，其中，即， ， 由， 得， 即， 所以，， 所以， ， 由， 得， 即， 所以，， 可得， 所以，的斜率； ②由①知， ， 由，，即， 将代入椭圆方程得：， 所以，的轨迹方程为， 所以，线段长度的取值范围为． 18.（本小题17分） 已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足 (1)求； (2)求数列的通项公式及数列的前2k项和; (3)在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件的正整数的值;若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)（）， (3)存在， 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以对于，有，， 所以（）， （3）在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 下面说明理： 若，则由，得， 化简得， 此式左边是偶数，右边是奇数，不可能成立， 若，则由，得， 化简得， 令，则， 所以, 所以只有，此时， 综上，在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 19.（本小题17分） 19．已知函数． (1)若函数有三个零点分别为，，，且，，求函数的单调区间； (2)若，，证明：函数在区间内一定有极值点； (3)在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是， (2)证明见解析 (3)，． 【详解】（1）因为函数， 又，， 则，， 因为是方程的两根， 则，，得，， 所以． 令解得：， 当时，或， 当时，， 故的单调递减区间是， 单调递增区间是，． （2）因为，， 所以，即． 又，， 所以，，即．． 于是，， ． ①当时，因为，，而在区间内连续， 则在区间内至少有一个零点，设为， 则在，，单调递增， 在，，单调递减， 故函数在区间内有极大值点； ②当时，因为， ， 则在区间内至少有一零点．设为， 则在，，单调递减， 在，，单调递增， 故函数在区间内有极小值点． 综上得函数在区间内一定有极值点． （3）设，是函数的两个极值点， 则，也是导函数的两个零点， 由（2）得，则，． 所以 由已知，， 则两边平方得，得出，或， 即，或， 又，， 所以，即． 因为，所以． 综上分析，的取值范围是，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$