专题12.1 全等三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题12.1 全等三角形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】全等图形的概念与性质 （1）全等图形的概念：能够完全重合的图形叫做全等图形； （2）全等图形的性质：两个图形全等，它们的形状、大小相同. 【要点提示】两个全等图形的周长和面积一定相等，但周长和面积相等的两个图形不一定全等。 【知识点二】全等图形的概念 （1）全等三角形：两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形； （2）全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角； 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【知识点三】找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【知识点四】全等三角形的性质 　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 【要点提示】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【知识点五】全等变换 　 （1）全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变化叫全等变换. （2）几种常见的全等几何变换类型 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】已知图形分割成几个全等图形与全等图形的识别 【例1】（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 【题型2】利用全等图形的性质求边或角 【例2】图中所示的是两个全等的五边形，，d=5，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值． 【变式1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【变式2】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，四边形四边形，则的大小是 ． 【题型3】全等三角形及相关概念的认识 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【变式1】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图①，将长为，宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小不同的两个正方形，则图②中小正方形的面积为 ．（用含a的代数式表示） 【题型4】利用全等三角形的性质求线段或角度 【例4】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 【变式1】（2024七年级下·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，点在同一条直线上，且，，则的长 ． 【题型5】利用全等三角形的性质进行证明 【例5】（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，，，三点在同一条直线上，且．  （1）求证：； （2）当满足什么条件时，？并说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）下列命题中： ①形状相同的两个三角形是全等三角形； ②在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； ③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等； ④同一平面上，两个全等三角形一定可以沿某条直线翻折． 其中真命题的是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【例2】（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 2、拓展延伸（动点问题） 【例1】（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． （1）若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． （2）若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 【例2】 如图，点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC上的点，连接AD、BE交于点O，且△ABD≌△BCE． （1）若AB=3，AE=2，则BD= ； （2）若∠CBE=15°，则∠AOE= ； （3）若∠BAD=a，猜想∠AOE的度数，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.1 全等三角形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】全等图形的概念与性质 （1）全等图形的概念：能够完全重合的图形叫做全等图形； （2）全等图形的性质：两个图形全等，它们的形状、大小相同. 【要点提示】两个全等图形的周长和面积一定相等，但周长和面积相等的两个图形不一定全等。 【知识点二】全等图形的概念 （1）全等三角形：两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形； （2）全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角； 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【知识点三】找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【知识点四】全等三角形的性质 　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 【要点提示】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【知识点五】全等变换 　 （1）全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变化叫全等变换. （2）几种常见的全等几何变换类型 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】已知图形分割成几个全等图形与全等图形的识别 【例1】（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 解：如图所示： （答案不唯一）． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的概念，形状和大小完全相同的图形是全等图形，据此即可求解． 解：根据全等图形的概念，只有B选项中的两个图形形状和大小完全相同，是全等图形， 故选：B． 【变式2】如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边. 解：把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6. 【点拨】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单. 【题型2】利用全等图形的性质求边或角 【例2】图中所示的是两个全等的五边形，，d=5，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值． 【答案】a=12，b=10，c=8， e=11，． 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角，以，为突破口，可得对应顶点、对应边与对应角，进而可得a，b，c，e，α各字母所表示的值． 解：观察两个图形可知，，， ∴A和G，E和F是对应点，进而可得： 对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H， 对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI； 对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F； ∵两个五边形全等， ∴，，， ，．   即a=12，b=10，c=8， e=11，． 【点拨】本题考查全等多边形的性质，掌握全等多边形对应顶点、对应边与对应角的概念是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 【变式2】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，四边形四边形，则的大小是 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查了全等形的性质及四边形的内角和定理，熟练掌握全等形的性质是解题的关键． 利用全等图形的性质即可求解． 解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3】全等三角形及相关概念的认识 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【点拨】本题考查全等三角形表示及性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图①，将长为，宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小不同的两个正方形，则图②中小正方形的面积为 ．（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】主要考查了完全平方公式在图形中的应用，四个全等三角形的直角边分别为和，结合图形可得图②中小正方形的边长为：，问题随之得解． 解：结合图形可得，四个全等三角形的直角边分别为和， 则图②中小正方形的边长为：， 图②中小正方形的面积为：， 故答案为：． 【题型4】利用全等三角形的性质求线段或角度 【例4】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理求出的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后直接计算即可． （1）解：∵， ∴， 在中，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ 【变式1】（2024七年级下·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 解：图中的两个三角形全等 与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，点在同一条直线上，且，，则的长 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，熟练掌握运用全等三角形的性质是解决本题的关键． 首先根据全等三角形的性质可得，，再由，即可求解． 解：，， ， ． 故答案为：4． 【题型5】利用全等三角形的性质进行证明 【例5】（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，，，三点在同一条直线上，且．  （1）求证：； （2）当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，．理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定． （1）由得出，，再进行相应等量代换； （2）当时，．由，得出，进而，从而得证． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∴； （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键． 根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解． 解：根据平移，，则A正确，不符合题意； 根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； 根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意； 根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意； 故选： D． 【变式2】（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）下列命题中： ①形状相同的两个三角形是全等三角形； ②在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； ③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等； ④同一平面上，两个全等三角形一定可以沿某条直线翻折． 其中真命题的是 ． 【答案】③ 【分析】利用全等三角形的定义及性质逐项判断即可得到答案． 解：①形状相同、大小相等的两个三角形是全等三角形，故原说法错误，不符合题意； ②在两个全等三角形 ，对应角相等，对应边相等，故原说法错误，不符合题意； ③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等，故原说法正确，符合题意； ④同一平面上，两个全等三角形不一定可以沿某条直线翻折，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，真命题的是③， 故答案为：③． 【点拨】本题考查了判断命题的真假、全等三角形的定义及性质，熟练掌握全等三角形的相关知识点是解此题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【例2】（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 2、拓展延伸（动点问题） 【例1】（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． （1）若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． （2）若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 【答案】(1)2s，理由见解答过程 (2)经过1s，点P的速度是9，则点Q的速度是12时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用； （1）根据等腰三角形的性质可得出，由点、同速同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得出当时与全等，进而即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点的速度为，则点的速度为，由、结合全等三角形的性质可得出、，进而即可得出关于、的方程组，解之即可得出结论． （1）解：点与点的速度都是， ， ，，， 要使与全等，则需， 即， ， 即经过的时间与全等； （2）解：设点的速度是，则点的速度是， ，， ， ，要使与全等，则需，， ， 解得：， 经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等． 【例2】 如图，点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC上的点，连接AD、BE交于点O，且△ABD≌△BCE． （1）若AB=3，AE=2，则BD= ； （2）若∠CBE=15°，则∠AOE= ； （3）若∠BAD=a，猜想∠AOE的度数，并说明理由． 【答案】（1）BD=1；（2）60°；（3）∠AOE =60°． 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出AC，得到EC，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠CBE=15°，根据三角形的外角性质计算即可； （3）仿照（2）的作法解答． 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=3， ∴EC=AC-AE=1， ∵△ABD≌△BCE， ∴BD=EC=1， 故答案为1； （2）∵△ABD≌△BCE， ∴∠BAD=∠CBE=15°， ∵∠CBE=15°， ∴∠ABO=45°， ∴∠AOE=∠BAD+∠ABO=60°， 故答案为60°； （3）由（2）得，∠BAD=∠CBE， ∵∠ABO+∠CBE=60°， ∴∠AOE=∠BAD+∠ABO=60°． 【点拨】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$