第18讲 相似多边形【四大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第18讲 相似多边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解相似多边形和相似比的概念； 2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形； 3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算. 知识点一、相似图形 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 知识点二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点三、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 考点一：相似图形的判断 例1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 【变式1-2】（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）下面几对图形中，相似的是（    ） A．B．C．D． 【变式1-3】（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 考点二：相似多边形的性质及对应性 例2.如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【变式2-1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 【变式2-2】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        【变式2-3】（22-23九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形∽四边形 (1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______； (2)分别求边 BC与边的长度． 考点三：相似多边形性质的应用 例3.（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【变式3-1】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 【变式3-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【变式3-3】（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 考点四：相似多边形性质的动态问题 例4. （23-24九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）    A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·安徽六安·模拟预测）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（    ） A． B． C．或 D．或或 【变式4-3】（2024·山东淄博·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ． 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 3．（2024·贵州·一模）如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 4．（23-24九年级下·河北保定·开学考试）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（    ） A． B．六边形的周长六边形的周长 C． D． 5．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为 ． 7．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是 ． 9．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 三、解答题 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，四边形四边形． (1) ，它们的相似比是 ； (2)求边，的长度． 12．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 13．（2022九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 相似多边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解相似多边形和相似比的概念； 2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形； 3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算. 知识点一、相似图形 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 知识点二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点三、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 考点一：相似图形的判断 例1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形． 故选：C． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键． 根据相似三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确； B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确； C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确； D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确． 故选C． 【变式1-2】（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）下面几对图形中，相似的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 【变式1-3】（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 考点二：相似多边形的性质及对应性 例2.如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质； （1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得； （2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 【变式2-1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得． 【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是， ， ∵，， ， 解得，． 【变式2-2】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        【答案】，． 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵四边形四边形， ∴，， ∴， ∴． 【变式2-3】（22-23九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形∽四边形 (1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______； (2)分别求边 BC与边的长度． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案； （2）根据相似得到对应线段成比例即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形∽四边形， ∴，， ∴， 相似比为：． （2）解：∵四边形∽四边形， ∴ ， ∴，． 【点睛】本题考查相似图形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是找准对应角对应边． 考点三：相似多边形性质的应用 例3.（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 【变式3-1】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可； （2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形与矩形相似， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵矩形与原矩形相似， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 【变式3-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 【变式3-3】（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 考点四：相似多边形性质的动态问题 例4. （23-24九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质“相似多边形对应边的比叫做相似比”，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 故选：A． 【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求得，进而根据矩形的面积等于矩形的面积减去2个正方形的面积，即可求解． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴矩形的面积为 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 【变式4-2】（2023·安徽六安·模拟预测）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ∴， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：的相邻两边与的比值是或； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式4-3】（2024·山东淄博·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解题的关键是找出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律． 【详解】四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为， 矩形的面积和矩形的面积的比，    ， ， ， 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意； C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ，，， ， ． 故选：． 3．（2024·贵州·一模）如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】解：这两个图形两个形状相同， 即两个图形相似， 则对应线段的比相等， 因而， ． 的值是． 故选：D 4．（23-24九年级下·河北保定·开学考试）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（    ） A． B．六边形的周长六边形的周长 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析是解决问题的关键． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，即，故A正确； 六边形的周长六边形的周长，故B错误； ，故C错误； ，即：，故D错误； 故选：A． 5．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质；根据相似多边形的对应角相等得出，再根据四边形内角和即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似图形的相似比、勾股定理，设方格的边长为1，由勾股定理可得，，从而即可 求解，掌握相似比的定义是解题的关键． 【详解】解：设方格的边长为1， 则，， 五边形五边形， ∴五边形与五边形的相似比是为， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形周长的比等于相似比可求． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴相似多边形的周长之比相似比， 又∵矩形的周长为， ∴矩形的周长为． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】， 设，则，， 四边形与矩形相似， ，则， 解得，（不合题意舍去）， 经检验是原方程的解． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 【答案】 2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键． （1）由矩形的性质可知，，设，则，由矩形与矩形相似，分当时，当时，两种情况求出满足要求的解即可； （2）由矩形与矩形相似，可知，即，计算求出满足的解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 设，则， ∵矩形与矩形相似， ∴当时，即，解得（舍去）； 当时，即，解得； 综上，， 故答案为：； （2）解：∵矩形与矩形相似， ∴，即，整理得，，解得或， ∴的值为2或8； 故答案为：2或8． 三、解答题 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，四边形四边形． (1) ，它们的相似比是 ； (2)求边，的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据相似多边形的性质进行求解即可； （2）根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形． ∴， ∴， ∵， ∴相似比是， 故答案为：，； （2）解：由（1）得， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 12．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键． 13．（2022九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$