22.1.3.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

22.1.3.2 二次函数的性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 考点1 y=a（x-h)²+k的图象性质 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图象 图象特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【典例1】函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【变式1-1】抛物线的对称轴为 ． 【变式1-2】抛物线的顶点坐标是 ． 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 【变式2-2】已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知抛物线，当时，随着的增大而 ；当时，随着的增大而 ． 【考点3 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例3】抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知抛物线上有三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【典例4】当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 【变式4-1】当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（    ） A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3 【变式4-2】若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或 【变式4-3】抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【典例5】已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为 ． 【变式5-1】已知一条抛物线与抛物线的形状相同，方向相反，且其顶点坐标是，此抛物线的解析式为 ． 【变式5-2】将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ；将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ． 【变式5-3】如下图，函数的图象，则其解析式为 ．    【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【典例6】二次函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．  B．   C．   D．   【变式6-2】二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式6-3】如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 【典例7】将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． C．先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． D．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 【变式7-2】将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A．（5，4） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2） 【变式7-3】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 1．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 3．关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 4．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 5．已知抛物线上有三点，，，则，，为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数无论为何值，图象的顶点一定在（    ） A．直线上 B．直线上 C．轴上 D．轴上 9．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … a 2 … y … 1 1 6 … 则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”） 11．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 12．二次函数，当，则y的取值范围 ． 13．已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 15．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3.2 二次函数的性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 考点1 y=a（x-h)²+k的图象性质 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图象 图象特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【典例1】函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的顶点式，即可求解． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：； 【变式1-1】抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此题可根据函数的性质进行求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线． 【变式1-2】抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要靠考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：对于二次函数的图象， ∵，对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，图象有最高点，其坐标是， 故选项A、C、D错误，选项B正确． 故选：B 【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握顶点式及抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，开口向上，故A说法正确，不合题意； B、顶点坐标为，故B说法正确，不合题意； C、当时，抛物线右侧部分，随的增大而增大，故C说法正确，不合题意； D、抛物线对称轴为，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 【变式2-3】已知抛物线，当时，随着的增大而 ；当时，随着的增大而 ． 【答案】 减小 增大 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据开口方向：向下；以及对称轴，即可作答． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大， ∴当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大． 故答案为：减小，增大 【考点3 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例3】抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， 故选：C． 【变式3-1】已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断，，的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小；关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答． 【变式3-2】设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3-3】已知抛物线上有三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线的对称性质及对称轴得的对称点的坐标为，再根据抛物线的开口向上及其增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据抛物线的对称性得：的对称点的坐标为， 又抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而减小，且， ， 故选D． 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【典例4】当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m， ①时，取得最大值， 解得； ②时，取得最大值为，不合题意； ③时，取得最大值，， 解得． 故选：C． 【变式4-1】当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（    ） A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 由二次函数解析式可知其开口方向、对称轴，分在对称轴左侧和右侧两种情况分别求其最值，可得到关于m的方程，可求得答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为， 当时，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最大值， ∴，解得（舍去）或， 当时，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当时，y有最大值， ∴，解得（舍去）或， 综上可知m的值为2或， 故选：C． 【变式4-2】若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或 【答案】B 【分析】分三种情况讨论列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵二次函数y＝（x−3）2＋2m， ∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3， ①当3＜m时， 在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而增大， ∴当x＝m时，y＝（m−3）2＋2m＝m2−4m＋9为最小值， ∵m2−4m＋9＝5， 解得m＝2，不合题意； ②当m≤3≤m＋2时， ∴x＝3，y＝（x−3）2＋2m＝2m为最小值， ∴2m＝5，解得，m＝； ③当3＞m＋2，即m＜1， 在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而减小， 故当x＝m＋2时，y＝（m＋2−3）2＋2m＝m2＋1为最小值， ∴m2＋1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝−2； 综上，m的值为或−2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【变式4-3】抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大 ∴当时，当时， 当时， ∴， 解得 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少 ∴当时，当时， 当时， ∴ 解得 故选：C． 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【典例5】已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，顶点坐标为， ∵绕它的原点旋转得抛物线， ∴开口向下，顶点坐标为， ∴. 故答案为：． 【变式5-1】已知一条抛物线与抛物线的形状相同，方向相反，且其顶点坐标是，此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】设顶点坐标为的抛物线解析式为，根据形状相同，方向相反的抛物线的二次项系数互为相反数求出a的值即可得到答案． 【详解】解：设顶点坐标为的抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的形状相同，方向相反， ∴， ∴顶点坐标为的抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知形状相同，方向相反的抛物线的二次项系数互为相反数是解题的关键． 【变式5-2】将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ；将函数的图象沿轴翻折后得到的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特点进行解答即可．解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴函数的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为； ∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴函数的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为． 故答案为：，． 【变式5-3】如下图，函数的图象，则其解析式为 ．    【答案】 【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式． 【详解】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为， 函数的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图象得出顶点是解题的关键． 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】 【典例6】二次函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标为，，开口方向向下；，开口方向向上；据此即可作答． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是，顶点坐标为， 故选B． 【变式6-1】下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据二次函数的顶点式可判断抛抛物线开口向上，对称轴为，顶点为，即可解答．解题的关键是熟练运用顶点式判断抛物线开口，对称轴，顶点等信息． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点为， 观察图象，则C选项符合题意， 故选：C． 【变式6-2】二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一分析判断即可． 【详解】解：在中由可知抛物线的开口向上，故选项A错误； 其对称轴为直线，在y轴的左侧，故选项B错误； 二次函数，当时，，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），在y轴负半轴上，故选项D错误； 该抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上条件的只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对二次函数的图象和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题是解题关键． 【变式6-3】如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限， ∴m＞0，n＜0， 则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】 【典例7】将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 【变式7-1】抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． C．先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． D．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 【答案】C 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点，即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移的知识，解题关键是掌握的平移规律和求出关键点顶点坐标． 【变式7-2】将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A．（5，4） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2） 【答案】B 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 即可得到抛物线y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3， 即y＝2（x﹣1）2﹣2． 其顶点坐标是(1，﹣2)． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 【变式7-3】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为，即． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 1．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 2．二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴函数有最大值7． 故选A． 3．关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象的性质，根据函数解析数确定对称轴，开口方向，顶点坐标，及最高点和最低点，形状，熟练掌握各函数图象的性质是解题的关键 【详解】解：①的对称轴为y轴，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ②的对称轴为y轴，开口向下，顶点坐标为， 图象有最高点； ③的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ∵三个图象的，故三个抛物线的形状相同， 故选：C. 4．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 5．已知抛物线上有三点，，，则，，为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=1，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断y3＜y2；根据二次函数的性质即可判断y1＞y2＞y3． 【详解】解：因为a=＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 根据二次函数图象的对称性可知，C（2，y3）和（0，y3）关于直线x=1对称， 因为-2＜-1＜0，故y1＞y2＞y3， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，设二次函数，把（0，0）代入得，解得．故二次函数的解析式为．故选A． 考点：待定系数法求二次函数解析式． 8．二次函数无论为何值，图象的顶点一定在（    ） A．直线上 B．直线上 C．轴上 D．轴上 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，理解二次函数和一次函数图象上点的特点是解题关键．根据解析式求得抛物线的顶点坐标，然后判断该点位于直线上． 【详解】解：二次函数的顶点为， 该点一定在直线上， 故选：A． 9．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … a 2 … y … 1 1 6 … 则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次函数的图象与性质，先根据表格得到对称轴，以及顶点，进而得到的值，然后再随便代入一个点即可得到的值，再根据图象的性质得到取值范围，考虑对称轴处取得最值是解题的关键． 【详解】解：设一元二次函数为， 由表格可知与关于对称轴对称， ∴对称轴为， 即， 又由表格可知当时，， 即， ∴解析式为：， 将表格中已知的点代入可解得， ∴该一元二次函数解析式为：， 当时，在对称轴处取得最小值，在处取得最大值， 当时，， ∴此时的取值范围为， 故选：A． 10．若点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，把自变量的值代入解析式即可求出，的值，比较即可解题． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 11．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，则有，即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 又∵当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 12．二次函数，当，则y的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值为：， 当时，函数有最小值为：， ∴； 故答案为：． 13．已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得或，都不符合题意； 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得（舍去） 当时，则函数在或处取得最小值， 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：1或． 14．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解． 【详解】抛物线的对称轴是 过点作于点，如下图所示 则，则 则以为边的等边的周长为． 故答案为24． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键． 15．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质． 24 学科网（北京）股份有限公司 $$