22.1.3.1 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

22.1.3.1 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 考点 1 y=a（x-h)²的图象性质 1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大。 开口向上 x=2 （2,0） 当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 根据所画图象，填写下表： 【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减大； 当x＞0时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=－1 （－1,0） 当x＜－1时，y随x的增大而减大； 当x＞－1时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=1 （1,0） 当x＜1时，y随x的增大而减大； 当x＞1时，y随x的增大而增小。 总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 考点2： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【典例1】抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【变式1-1】二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴是 ． 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式2-1】二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【变式2-2】二次函数的的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【典例3】抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点、、都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若点，在抛物线上，则y₁、y₂的大小关系是（    ） A．y₁＜y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁＞y₂ D．无法判断 【变式3-3】已知点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 【典例4】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣3）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+5 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1 【变式4-1】抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 【变式4-2】抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 1．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 4．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．如果抛物线的开口向下，那么a的取值范围是 ． 8．已知点、为二次函数图象上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 9．二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 10．已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 11．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 12．如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 ． （2）等边的边长为 ． 13．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3.1 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 考点 1 y=a（x-h)²的图象性质 1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大。 开口向上 x=2 （2,0） 当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 根据所画图象，填写下表： 【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减大； 当x＞0时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=－1 （－1,0） 当x＜－1时，y随x的增大而减大； 当x＞－1时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=1 （1,0） 当x＜1时，y随x的增大而减大； 当x＞1时，y随x的增大而增小。 总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 考点2： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【典例1】抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，是解题的关键． 【变式1-1】二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为． 故选：D． 【变式1-2】请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的解析式的顶点式，可知顶点坐标为；再由二次项系数a的符号可以判断抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上，当时，开口向下，从而写出答案． 【详解】解：顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 又二次函数的图象开口向上， ，取，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函数的顶点式是解此题的关键． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴是 ． 【答案】 （0，-1） 【分析】根据二次函数的顶点坐标是（0，k）；二次函数的的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（0，-1）； 抛物线的对称轴是直线． 故答案为：（0，-1）， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标是（0，k）；二次函数的的对称轴是直线是解题的关键． 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值问题，解答时根据二次函数的图象的顶点坐标和开口方向进行解答． 【详解】解：∵二次函数的解析式是， ∴该抛物线开口方向向下，且顶点坐标是， ∴二次函数的最大值为0， 故选：B 【变式2-2】二次函数的的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式，，可得图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故选：D． 【点晴】本题考查了二次函数的图象，熟练记住图象与系数的关系是关键． 【变式2-3】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【变式2-4】在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【典例3】抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 【变式3-1】已知点、、都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质得在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大，根据点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1得，即可得． 【详解】解：函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大， ∵点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【变式3-2】若点，在抛物线上，则y₁、y₂的大小关系是（    ） A．y₁＜y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁＞y₂ D．无法判断 【答案】C 【分析】将，分别代入，求出，的值比较即可．本题考查了二次函数 (a，h为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：将，分别代入，得 ，， ∴． 故选C． 【变式3-3】已知点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据抛物线的开口方向以及图象上点的坐标和,将各点代入，进而得出的取值范围. 【详解】分别将点代入得: ，， ， 因为， 所以， 解之的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，根据已知得出不等式组进而得出取值范围是解题关键. 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 【典例4】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣3）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+5 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1 【答案】D 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）2+3﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+1． 故选D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【变式4-1】抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 【答案】 右 左 【解析】略 【变式4-2】抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与各系数之间的关系即可解答． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点为， 抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是， ∵二次项系数决定抛物线的开口方向和形状， ∴抛物线与抛物线的开口方向相反，但是形状大小相同， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与各系数的关系是解题关键． 1．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接得到抛物线的对称轴是直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式求抛物线对称轴的方法是解决问题的关键． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点式可知，抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 【答案】D 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴交点个数，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∴A、B不正确，D正确， ∵抛物线开口向上，最小值为1， ∴抛物线与x轴没有交点， ∴C不正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，故；三点中，点离对称轴最近，故最小． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上， ，，两点在对称轴右边，y随x的增大而增大， 由得， 三点中，C点离对称轴最近， 最小，即， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a>0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a<0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则，再求出A、B坐标即可求解． 【详解】解：函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a， 则：，解得：x＝h， 即：A(h﹣，0)，B(h+，0)， ∵AB＝4， ∴h+﹣(h﹣)＝4，解得：a＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是设并求出A,B的坐标是解答本题的关键． 6．已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-2，进而可得h的值，从而可得函数解析式，再把x=0代入函数解析式可得y的值． 【详解】由题意得：二次函数y=-（x+h）2的对称轴为x=-2， ∴h=2 ∴函数解析式， ∴当时， 故选D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴为x=h. 7．如果抛物线的开口向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由抛物线的开口向下可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”是解题的关键． 8．已知点、为二次函数图象上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点的横坐标代入二次函数解析式求出、值，再比较即可 【详解】解：当时， ， 当时， ， ． 故答案为：<． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的两点值的大小，这类题目的一种算法是将两点的横坐标代入二次函数解析式求出值． 9．二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性质求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 又点，关于直线对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能得出已知两点的对称性，并掌握二次函数的对称性是解答的关键． 10．已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 【答案】1或6/6或1 【分析】分、和三种情况考虑：当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；当时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，（舍去）； 当时，的最大值为0，不符合题意； 当时，有， 解得：（舍去），． 综上所述：的值为1或6． 故答案为：1或6． 【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分、和三种情况求出值是解题的关键． 11．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1． 【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴x＝m≥1． 故答案为：m≥1． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 12．如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 ． （2）等边的边长为 ． 【答案】 【分析】（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证≌，得，，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数； （2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC的边长． 【详解】过F作，交BC的延长线于D，如图： 为等边三角形，为等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ， ，， ， 设等边边长是a，则， ， 当时，有最大值为， (1)当的面积最大时，，即E是BC的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）当时，有最大值为， 由图可知最大值是， ，解得或边长，舍去， 等边的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由≌，用x的代数式表示的面积． 13．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【答案】1 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图象上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$