专题09 幂、指数与对数-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题09 幂、指数与对数 一、应知应会 1 二、知识梳理 2 （一）指数幂的拓展 2 （二）对数 2 考点剖析 3 过关检测 5 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 5 C组 综合训练 6 D组 拓展延伸 7 一、应知应会 【难度系数：★   参考时间：5 min】 1. 根式 （1）根式的概念 若，则叫做的次方根，其中且. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. （2）的次方根 2. 有理数指数幂 幂的概念 正分数指数幂 负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 指数幂的运算 指数幂的运算规律 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数. （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 （一）指数幂的拓展 对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有 对任意给定的正数及实数，成立 ， ， . 我们不加证明地给出 定理 当，，恒成立. 此定理称为幂的基本不等式. （二）对数 1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数，即. ②底数的限制：且. 2．指数与对数的互化 幂底数 ←→ 对数底数 指数 ←→ 对数 幂 ←→ 真数 3．对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数，简记为.   ②自然对数：以无理数=2. 71828…为底的对数，简记为.   ③一般对数：.   4．对数运算 （1）基本性质 ① 0和负数没有对数，即； ② 1的对数是0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式：. （2）运算法则 如果，则 ①； ②； ③（）； ④； ⑤. 5．换底公式 若，且，且，，则. 【两个常用推论】 （1） （2）（且） 考点剖析 例1．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： （1）； （2）； （3） ； （4）. 例2．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 例3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 例4．判断下列各式是否成立，如果成立，请给出证明；若不成立，请给出反例. （且；；） （1）； （2）； （3）； （4）. 例5．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 例6．已知，（且），用含有的代数式表示. 例7．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 例8．设均为正实数，且，求的最大值. 例9．已知方程的两个实根分别为、，求的值. 例10．设，求证：. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则化简的结果是 3．（23-24高一上·上海·期中）化简： . 4．（23-24高一上·上海·期中）化简 ． 5．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，则 ．（用数字作答） 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则 ． 8．（23-24高一上·上海·期末）设，，则 ．（结果用和表示） 9．（23-24高一上·上海·期末）方程的解 . 10．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 .（用含的式子表示） 12．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习） 13．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，则 ． 14．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，用、的代数式表示 . 15．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 16．（22-23高一上·上海·期末）已知，则 ． 17．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 18．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 19．（23-24高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 20．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是（   ） A．①成立，②不成立； B．①不成立，②成立； C．①②都成立； D．①②都不成立. 22．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 23．（22-23高一上·上海浦东新·期中）方程的两根、，满足，则 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 25．（23-24高一上·上海·阶段练习）求下列关于的方程的解集： (1) (2) 26．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 27．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】28．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． (1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； (2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； (3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 29．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数在定义域上是严格增函数. (1)若，求的值域； (2)若的值域为，求的值； (3)若，且对定义域内任意自变量均有成立，试求的解析式. 30．（21-22高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 幂、指数与对数 一、应知应会 1 二、知识梳理 2 （一）指数幂的拓展 2 （二）对数 2 考点剖析 3 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 8 C组 综合训练 11 D组 拓展延伸 15 一、应知应会 【难度系数：★   参考时间：5 min】 1. 根式 （1）根式的概念 若，则叫做的次方根，其中且. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. （2）的次方根 2. 有理数指数幂 幂的概念 正分数指数幂 负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 指数幂的运算 指数幂的运算规律 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数. （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 （一）指数幂的拓展 对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有 对任意给定的正数及实数，成立 ， ， . 我们不加证明地给出 定理 当，，恒成立. 此定理称为幂的基本不等式. （二）对数 1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数，即. ②底数的限制：且. 2．指数与对数的互化 幂底数 ←→ 对数底数 指数 ←→ 对数 幂 ←→ 真数 3．对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数，简记为.   ②自然对数：以无理数=2. 71828…为底的对数，简记为.   ③一般对数：.   4．对数运算 （1）基本性质 ① 0和负数没有对数，即； ② 1的对数是0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式：. （2）运算法则 如果，则 ①； ②； ③（）； ④； ⑤. 5．换底公式 若，且，且，，则. 【两个常用推论】 （1） （2）（且） 考点剖析 例1．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： （1）； （2）； 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. （3）AB； （4） 例2．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 例3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）由，得； （2）由，得； （3）. 例4．判断下列各式是否成立，如果成立，请给出证明；若不成立，请给出反例. （且；；） （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）不成立，取，； （2）不成立，取，； （3）不成立，取，； （4）不成立，取，. 例5．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 例6．已知，（且），用含有的代数式表示. 【答案】 【提示】， 设，，则 例7．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【答案】（1） （2）， （3）， 例8．设均为正实数，且，求的最大值. 【答案】1 【解析】， ，当且仅当即时取等 【对数函数单调性（暂时超纲）】，故的最大值为1 例9．已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【答案】 【提示】设，则方程的两根为、， 由韦达定理，得 例10．设，求证：. 【提示】指数变对数+换底公式 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则化简的结果是 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则进行计算即可. 【详解】， 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）化简： . 【答案】 【分析】根据根式的定义求解． 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 【答案】 【分析】利用对数的换底公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，则 ．（用数字作答） 【答案】6 【分析】将对数式化为指数式，利用指数幂的运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以，故. 故答案为：6 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数解析式求出，，可得答案. 【详解】由题意，，， 所以. 故答案为：1 8．（23-24高一上·上海·期末）设，，则 ．（结果用和表示） 【答案】 【分析】根据换底公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海·期末）方程的解 . 【答案】11 【分析】由对数运算可得答案. 【详解】因为，所以，解得， 故答案为：11. 10．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】100 【分析】根据对数运算法则计算即可. 【详解】，故，解得. 故答案为：100 B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系得到，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故答案为： 12．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习） 【答案】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，以及对函数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，则 ． 【答案】2 【分析】先求出，， 由此利用对数性质能求出的值． 【详解】， ， ， ． 故答案为：2． 14．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，用、的代数式表示 . 【答案】 【分析】根据指对数互化，即可利用对数的性质求解. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 15．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 【答案】4 【分析】利用，可求最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 故答案为：. 16．（22-23高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】借助分段函数的性质代入计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 18．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的换底公式和对数的运算性质即可用，表示出； （2）根据韦达定理得出，然后根据立方差和平方差公式化简分式，并代值求解． 【详解】（1）已知，， 则，故 （2）设，为方程的两个根，则，易知， . 19．（23-24高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 【答案】（1）7；（2）证明见解析 【分析】（1）利用指数的运算求解； （2）利用指数幂的运算律求解. 【详解】（1）由，可得， 所以. （2）证明：因为，所以， 所以，即，① 又因为，所以， 所以，即，② 由①②可得，，所以. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 20．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，根据，结合即可判断；对于②，根据，，且，可得，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果. 【详解】①因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即，①正确； ②因为，，，所以， 所以，②正确； ③，当且仅当时等号成立，所以③错误； ④， 所以，当且仅当时等号成立，④正确； 所以有个不等式成立. 故选：. 21．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是（   ） A．①成立，②不成立； B．①不成立，②成立； C．①②都成立； D．①②都不成立. 【答案】A 【分析】对于①：根据三角形的性质结合作差法分析判断；对于②：举反例结合对数运算判断. 【详解】不妨设，则，即， 对于①：显然，则， 因为，可得， 所以以、、为边长的三角形一定存在，故①正确； 对于②：例如，此时，符合题设， 但， 所以、、不能构成三角形，故②错误； 故选：A. 22．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 【答案】 【分析】先得到，利用换底公式、对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ， 所以. 故答案为： 23．（22-23高一上·上海浦东新·期中）方程的两根、，满足，则 【答案】 【分析】由题意，结合韦达定理代入运算即可. 【详解】由题意，， 由韦达定理，， ， 即，即， 故，即. 故答案为：. 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的性质计算的关系式，利用基本不等式计算即可. 【详解】由可得， 所以， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为： 25．（23-24高一上·上海·阶段练习）求下列关于的方程的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的定义和运算求解，注意对数的真数大于0； （2）分、和三种情况分析求解. 【详解】（1）因为，则 可得，解得或（舍去）， 所以方程的解集为. （2）因为， 当时，方程化为，恒成立，所以； 当时，方程化为，解得（舍去）； 当时，方程化为，即无解； 综上所述：方程的解集为. 26．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 【答案】（1）1; （2） 【分析】（1）先把已知式子平方得出，再结合对数运算律求解即可； （2）先应用换底公式，再结合对数运算律即可表示. 【详解】（1）, . （2） . 27．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 28．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． (1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； (2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； (3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 【答案】(1)函数不具有“性质”，函数具有“性质” (2)证明见解析 (3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析 【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论； （2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立； （3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下： 设，， 对任意的， ， 所以，，所以，函数不具有“性质”， 对任意的，， 所以，，所以，函数具有“性质”. （2）证明：因为函数具有“性质”，对任意的，， 所以，， 又因为，所以， ， 所以，，由不等式的可加性可得， 故对任意的，. （3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下： 对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”， 函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调； 对于命题②，对任意的，对任意的，， 所以，， 对任意的、且，取， 必存在且，满足， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，，即， 所以，， 故，即， 故函数在上是严格减函数. 所以，命题②为真命题. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 29．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数在定义域上是严格增函数. (1)若，求的值域； (2)若的值域为，求的值； (3)若，且对定义域内任意自变量均有成立，试求的解析式. 【答案】(1)； (2)4； (3). 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域； （2）根据函数在上是严格增函数，可得，，然后相加化简可得答案； （3）由已知可得，则有，再根据其单调性和已知条件可得，从而可求出的解析式. 【详解】（1）由，解得， 因为和在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以 ， ， 所以的值域为； （2）因为的值域为，且在定义域上是严格增函数， 所以，， 所以 ； （3）因为对定义域内任意自变量均有成立， 所以， 所以， 所以， 因为函数在定义域上是严格增函数， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 因为函数在定义域上是严格增函数， 所以. 30．（21-22高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$