2.2.3 分式不等式的求解（同步课件）数学沪教版2020必修第一册

第2章 等式与不等式 沪教版（2020）必修第一册 2.2.3 分式不等式的求解 学习任务 1 2 掌握分式不等式的解法. 含参数的分式不等式的解法 理解“化归”思想，理解高次不等式的解法. 1 新课导入 问题 回顾一元二次不等式的解法？ 听说过同解不等式吗？ ①同解不等式 如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式. ②不等式的同解变形 如果一个不等式变形为另一个不等式时,这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做不等式的同解变形. ③不等式的同解原理 a.不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式,所得的不等式与原不等式是同解不等式. b.不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得不等式与原不等式是同解不等式. c.不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,并且把不等号改变方向后,所得不等式与原不等式是同解不等式. 问题：>0怎么解呢？ 2 知识梳理 分式不等式 分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要． 拓展：高次不等式 借助于数轴并根据积的符号法则表示为下图． 由图可知：原不等式的解集为 此方法为“数轴标根法”也可以叫“穿针引线法”，一般解题步骤是： ①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定要化为正数） ②把各因式的根标在数轴上． ③用曲线穿根，从最右边的根的上方开始依次穿过所有的根（奇数次根穿透，偶数次根不穿透） ④根据图像直接写出解集． 3 题型总结 题型一 简单的分式不等式 例1　 题型二 复杂的分式不等式 例2（1）　 题型二 复杂的分式不等式 例2（2） 题型二 复杂的分式不等式 例2（3）　 题型三 含参数的分式不等式 例3 （-2，2） 题型四 恒成立问题 例4 4 课堂练习 A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2} C.{x|1≤x<2} D.{x|x>2或x≤1} D ∴x>2或x≤1.故选D. A.{x|x<－1或－1<x≤2} B.{x|－1≤x≤2} C.{x|x≤2} D.{x|－1<x≤2} D 故－1<x≤2. {x|x>－a或x<b} 解析　原不等式等价于 (x＋a)(b－x)<0⇔(x－b)(x＋a)>0. 又a＋b<0，所以b<－a. 所以原不等式的解集为{x|x>－a或x<b}. C 5 课堂小结 1.知识清单： (1)简单的分式不等式的解法 1.知识清单： (2)高次不等式的解法：数轴标根法 2.方法归纳：转化、恒等变形. Thank you for your attention 回家作业：完成2.2.3分式不等式分层练习 d.不等式f1(x)·f2(x)>0与不等式组和同解. e.不等式f1(x)·f2(x)<0与不等式组和同解. 像这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式． 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式． 分式不等式的解法 ①通过移项，将分式不等式右边化为零； ②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：（1）f(x)； （2） f(x)； （3） ； （4）． 【拓展】高次不等式的解法： 我们研究(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0的解，此不等式的左端是关于x的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0得x的四个解分别为-1，1，2，3． 然后将的取值分成5段，使得四个因式x+1,x-1,x-2,x-3的积为负的范围就是所求的解集，列表如下： 范 围 各因式符号 － ＋ ＋ ＋ ＋ － － ＋ ＋ ＋ － － － ＋ ＋ － － － － ＋ ＋ － ＋ － ＋ 　解下列不等式： (1)eq \f(x＋2,1－x)<0；(2)eq \f(x＋1,x－2)≤2. 解：(1)由eq \f(x＋2,1－x)<0，得eq \f(x＋2,x－1)>0， 此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． (2)移项得eq \f(x＋1,x－2)－2≤0， 左边通分并化简得eq \f(－x＋5,x－2)≤0，即eq \f(x－5,x－2)≥0， 它的同解不等式为, ∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． 不等式的解集为 ． 【解】由于， 所以不等式即不等式， 即，解得或， 故不等式的解集为， 故答案为： 不等式的解集为 . 解：不等式，即， 方程的根 有（2重根），，，，（2重根）， 按照数轴标根法可得不等式的解集为. 故答案为：