专题01 二次函数重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 二次函数重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 1．下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 3．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 1．已知函数是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．6 2．若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 3．若关于的函数是二次函数，其图象开口向下，求的值． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 1．若函数是二次函数，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若是二次函数，则a的取值范围是 ． 3．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 1、设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（    ） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 2．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 3．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 1．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 3．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 1、如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式． 2、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ； 3、图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 1、有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ . 2、已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 3、某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝100（1﹣x）2 B．y＝100（1+x） C．y＝ D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2 1．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 3．下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 4．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 5．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 6．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 7．已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ． 8．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 9．从 ，，，，0，1，2，3这八个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的分式方程 有整数解，又使抛物线的顶点在第四象限，那么这八个数中满足条件的的值是 ． 10．如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ． 11．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 12．已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 13．已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 14．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 15．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”逐一判断即可． 【详解】A、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； B、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； C、是二次函数，故该选项正确，符合题意； D、可整理为，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 1．下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 2．有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（2）（4）是二次函数 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 1．已知函数是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令且，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 且， ． 故选：B． 2．若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为： 3．若关于的函数是二次函数，其图象开口向下，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义以及图象性质、因式分解法解一元二次方程，根据二次函数的定义，得，以及开口向下得，进行计算即可作答． 【详解】 解：函数是二次函数，其图象开口向下， ，， ， 解得，， ∵， ． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】由二次函数的定义可得， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握(是常数，)的函数，叫做二次函数． 1．若函数是二次函数，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的二次项系数不等于0是解题关键． 2．若是二次函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据二次函数的定义求参数．形如是常数，且）叫二次函数． 根据二次函数的定义知的二次项系数，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故答案为：． 3．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由一次函数的定义求解可得； （2）由二次函数的定义求解可得． 【详解】（1）若这个函数是一次函数， 则且， 解得； （2）若这个函数是二次函数， 则， 解得且． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 1、设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（    ） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 【答案】B 【分析】根据二次函数的一般形式可得答案． 【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键． 根据二次函数各项的系数填空． 【详解】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 3．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项。 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点睛】本题考查二次函数定义及相关基础问题，熟练掌握二次函数的定义并准确的找到二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项是解题的关键． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡． 【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细， ∵容器横截面为圆形，横截面， ∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线， ∴对应函数图像先陡、后缓、再陡， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分①当点P从点O运动到点A的过程中，②当点P从点A运动到点B时，③当点P从点B运动到点C过程中，三种情况，分别判断各所对的函数图像即可. 【详解】设∠AOM=α，点P运动的速度为a， ①当点P从点O运动到点A的过程中， S=at·cosα·at·sinα=a2t2sinαcosα， 由于α及a均为常量， ∴本段图象应为抛物线，且S随着t的增大而增大； ②当点P从点A运动到点B时， 由反比例函数性质可知四边形OMPN的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与x轴平行的线段； ③当点P从点B运动到点C过程中， OM的长在减小，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应为一段下降的线段， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，判断每个时间段面积的变化，从而确定其图象． 2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点在上时；当点在上，且点在上时；当点在上，且点在上时．图2中的最高点是当点与点重合时，的值为；当点和点相遇时，即到达点时，用时秒．由此可求出，由此可求出当点运动秒后的值，即可求出的值，进而可求出的取值． 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时， ，即， 当点和点相遇时，即到达点时，运动了秒，即， ， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，如图，， ； 当时，点在上，点在上，如图， 此时，，， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到与的函数关系，然后根据一元二次方程和二次函数和一次函数图象与性质解决问题，能够准确进行分类讨论是解题的关键． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【答案】，图见解析 【分析】首先得出与的关系，进而由图象得出平行四边形的面积随其底边变化情况． 【详解】解：平行四边形的高与底边的比是， ， 则， 如图所示：平行四边形的面积随其底边增大而增大． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及函数图象性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 1．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键． 2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 1、如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式． 【答案】s=﹣x2+15x（0＜x＜60） 【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE=AB=x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式． 【详解】作AE⊥BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°， 则AE=AB=x， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AD+BC=60-AB-CD=60-2x， ∴S=（AD+BC）×AE=（60-2x）×x=-x2+15x（0＜x＜60）． 【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数关系式的知识，掌握梯形的面积公式及等腰梯形的性质是解答本题的关键． 2、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ； 【答案】， 【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围． 【详解】由题意得： y＝x•＝−x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25． 故答案是：y＝−x2+20x， 0＜x≤25 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立二次函数模型是解题的关键. 3、图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 【答案】m=2n2−n 【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数． 【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1）， 第二层的正方形个数为（4×1＋1）， 第三层的正方形个数为（4×2＋1）， …… 第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为： 1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1] ＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1 ＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1） ＝n＋4 ＝n＋2n（n−1） ＝2n2−n． 即：m=2n2−n． 故答案为：m=2n2−n 【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元， ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 1、有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ . 【答案】y=x2+2x+1 【详解】试题解析：第一轮流感后的人数为 第二轮流感后的人数为 与之间的函数关系式为: 故答案为 2、已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 3、某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝100（1﹣x）2 B．y＝100（1+x） C．y＝ D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2 【答案】D 【分析】直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键． 1．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 2．函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 3．下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 4．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等是解题的关键． 【详解】解：∵和时，多项式的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴当时， ． 故选：C． 5．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 6．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 7．已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，注意到是关键． 8．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 则代数式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 9．从 ，，，，0，1，2，3这八个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的分式方程 有整数解，又使抛物线的顶点在第四象限，那么这八个数中满足条件的的值是 ． 【答案】或1 【分析】通过解分式方程可得出，由x为整数且，可得出或或1，再根据函数的顶点在第四象限，可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，进而可确定a的值，即可得出结论． 【详解】解：解分式方程 ， 去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得， 为整数且， 或或1 又抛物线的顶点在第四象限， 解得， 故这八个数中满足条件的的值是或1， 故答案为：或1 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及分式方程的解，通过解分式方程及抛物线的顶点在第四象限确定a值是解题的关键． 10．如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】根据点B的纵坐标是横坐标的2倍，和点在抛物线的第一象限的图象上，可以求得点的坐标． 【详解】解：设点的横坐标为，纵坐标为， 解得（不合题意，舍去），， ， 点的坐标为， 连接， 则， 四边形是正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点的坐标． 三、解答题 11．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； ③当时， 解得：，； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 12．已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得，，，，， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， 解得，，，， ∴． 13．已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 14．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 (3)该函数图像始终过定点 【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键． （1）用根的判别式即可解答． （2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可； （3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：，是原方程的两根， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 的值为1； （3）解：． 因为该函数的图像都会经过一个定点， 所以， 解得， 当时，， 所以该函数图像始终过定点． 15．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；的长为 【分析】（1）根据长方形的周长公式，表示出的长即可； （2）根据长方形面积公式求出S与的函数关系式即可； （3）根据“鸡场的总面积为”，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． （3）解：能围成总面积为的两个长方形养鸡场； 根据题意得：， 解得：，， ∵墙的长度， ∴， 解得：， ∴不符合题意舍去， ∴的长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程和不等式组的应用，列代数式，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$