专题10 函数的表示法10种常见考法归类（90题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题10 函数的表示法10种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 （二）解析法 （三）图象法 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 （二）换元法求解析式 （三）配凑法求解析式 （四）方程组法求解析式 （五）赋值法求解析式 考点三 作函数图象及其应用 （一）画具体函数的解析式 （2） 函数图象的变换 （3） 函数图象的应用 考点四 分段函数求值 （1） 求分段函数的值 （二）已知分段函数的值求参数 考点五 分段函数与不等式的综合 考点六 分段函数图象的画法 考点七 分段函数的定义域、值域问题 考点八 根据分段函数的最值求参数 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 （二）分段函数图象的应用 考点十 函数的新定义题 知识点1：函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点4：分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 注：(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　 知识点5：函数的图象 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 解题策略 1、理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 2、函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 注：应用函数三种表示方法应注意以下三点 ①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 3、作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 注：用描点法画函数的图象： 一般地，作函数图象时分以下三个步骤： (1)列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 4、作函数图象时需注意的五个问题 (1)确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点；　 (4)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等； (5)对于已经熟悉形状的函数图象，只需选出几个特殊点即可作出全图，其中抛物线选3个点即可，直线或线段选2个点即可． 5、求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 6、函数图象的应用 (1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点． (2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养． 7、分段函数求值 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 8、分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 9、分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 1．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数由以下表格给出，则等于 . x 1 2 3 4 －1 1 2 1 2．（2024秋·高一课时练习）自变量x与因变量y之间的关系如下表： x 0 1 2 3 4 … y 0 2 4 6 8 … （1）写出x与y的关系式： . （2）当时， . 3.（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，分别由下表给出， 0 1 2 1 2 1 0 1 2 2 1 0 则_____________；满足的的值是_____________． （二）解析法 4．【多选】（2024秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（   ） A．（） B．（） C． （） D．（） 5.（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． （三）图象法 6．（2024·全国·高三对口高考）已知某人在2010年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y（元）与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则. 7．（2024·全国·高三专题练习）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．       B．   C．   D．   8．【多选】（2024秋·高一课时练习）某地一年内的气温（单位：℃）与时间t（单位：月份）之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃，令表示时间段内的平均气温，不能正确反映与t之间的函数关系的图象有（　　）    A．   B．    C．    D．     9.（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）如图，是边长为2的等边三角形，点由点沿线段向点移动，过点作的垂线，设，记位于直线左侧的图形的面积为，那么与的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10.（2023·安徽黄山·高一屯溪一中校考开学考试）已知边长为1的正方形中，为的中点，动点在正方形边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A．   B．   C．   D．   考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 11．（2024·全国·高一假期作业）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 12．（2024·全国·高一课堂例题）（1）已知一次函数满足，求的解析式． （2）已知二次函数满足，，，求的解析式． 13．（2024·全国·高三对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． （二）换元法求解析式 14．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知函数，则 . 15．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·重庆·统考模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 17.（2023·全国·高三专题练习）若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 18.（2023·全国·高三专题练习）已知，求. （三）配凑法求解析式 19．（2024秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 20.（2023·全国·高三专题练习）已知，则_______． 21．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知函数，求函数的解析式为 ． 22.（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 （四）方程组法求解析式 23．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式 24．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 26．（2024·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则 . 27．（2024·全国·高一课堂例题）（1）已知函数满足，求的解析式． （2）已知，其中，求的解析式． 28．（2024秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则 . （五）赋值法求解析式 29.（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______. 30.（2023·高一课时练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且． (1)求函数的表达式； 31．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知满足. (2)已知，对任意的实数x，y都有. 32．（2024·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 33．（2024·江苏·高一假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 34.（2023·高一课时练习）已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 考点三 作函数图象及其应用 （1） 画出具体函数图象 35.（2024·高一课时练习）作出下列函数的图象. （1）y＝x＋2，|x|≤3； （2），x∈Z且|x|≤2. 36.（2024·高一课时练习）作出函数的图像． （2） 函数图象的变换 37.【多选】（2024秋·重庆万州·高一校考期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 38.（2023·全国·高三对口高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：    (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 39.（2024秋·重庆万州·高一校考期中）将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． （二）函数图象的应用 40．（2023春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）甲､乙两人进行一次赛跑比赛，从同一地点出发，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲､乙两人的速度相同 B．此次比赛甲获胜 C．乙跑的路程多 D．在比赛中甲比乙跑的快 41．（2024·高一课时练习）在某种金属材料耐高温的实验中，10分钟内温度y（℃）随时间t（分钟）的变化情况，经微机处理后显示出如下图象，则下列说法中正确的是（    ） A．前5分钟温度增加的速度由慢变快，后5分钟温度保持不变 B．前5分钟温度增加的速度由快变慢，后5分钟温度保持不变 C．前5分钟温度增加的速度由慢变快，后5分钟温度匀速增加 D．前5分钟温度增加的速度由快变慢，后5分钟温度匀速增加 42．【多选】（2024·江苏·高一专题练习）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为 B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为 D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 43．（2024秋·高一课时练习）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象. 给出下列四种说法： ①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本. 其中，正确的说法是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 考点四 分段函数求值 （一）求分段函数的值 44.（2023春·河南信阳·高一校联考期中）已知函数，则______． 45．（2024秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知函数，则= ，= 46．（2024秋·江西南昌·高一统考期中）已知函数，则 . 47．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知函数，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 48．（2024·全国·高一课堂例题）已知 则的值等于（    ） A．-2 B．4 C．2 D．-4 49.（2023·全国·高三对口高考）已知函数，则的值为______. （二）已知分段函数的值求参数 50．（2024秋·山东青岛·高一校考期中）已知函数 ，若，实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 51．（2024秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 考点五 分段函数与不等式的综合 52．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数，则不等式的解集是 ． 53．（2024秋·河南南阳·高一统考阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54.（2023·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 55．（2024·全国·高一专题练习）函数，若关于的不等式的解集 . 56．（2024·全国·高三专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 57．（2024·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 58．（2024秋·江苏淮安·高一江苏省淮安中学校考期末）已知函数，令，则不等式的解集是 59.（2023·全国·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. 考点六 分段函数图象的画法 60．（2024秋·甘肃武威·高一校考期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.    61．（2024·全国·高一课堂例题）作出下列函数的图象： (1) (2)，． 62．（2024秋·福建漳州·高一漳州三中校考期中）已知函数．          (1)求，； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中，作出函数的图象． 63．（2024·全国·高一假期作业）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 64．（2024秋·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）已知. (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出区间上的的图象； (3)根据图象写出区间上的值域. 65．（2024秋·湖北武汉·高一校联考期中）给定函数.    (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2) 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 66．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点七 分段函数的定义域、值域问题 67．（2024秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． (1)写出函数的定义域和值域； (2)求的值． 68.（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）函数的最小值是__________. 69.（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）已知函数的最大值为，的最小值为，则______． 70．【多选】（2024秋·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 71．【多选】（2024秋·广东梅州·高一校考期中）已知函数，则关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．若，则x的值为 72．【多选】（2024秋·福建莆田·高一校联考期中）函数 ，则下列结论正确的是（    ） A．定义域为 B．的值域是 C．方程的解为 D．方程的解为 73．【多选】（2024秋·宁夏中卫·高一中宁一中校考阶段练习）如图是函数的图像，则下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．若，则或2 74．【多选】（2024秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期中）已知函数关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．若则x的值是 考点八 根据分段函数的最值求参数 75．（2024秋·吉林通化·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 76.（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数，若的最小值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 77.【多选】（2023秋·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 78.（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数无最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 79.（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，当时，，则的最大值是________． 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 80．（2024·全国·高一课堂例题）如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为点，不与，重合）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分图形的面积关于的函数解析式．    81．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 82．（2024秋·上海徐汇·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为 ． （二）分段函数图象的应用 83．（2024秋·广东·高一校联考期中）定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 84．【多选】（2024秋·山西·高一校联考期中）设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（    ） A．在上的最大值为2 B．在上的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 85．【多选】（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）已知，若方程有实根，则的取值范围是 . 86．【多选】（2024秋·浙江宁波·高一效实中学校考期中）设，则下列选项中正确的有（    ） A．与的图象有两个交点，则 B．与的图象有三个交点，则 C．的解集是 D．的解集是 87．（2024秋·江苏扬州·高一校考期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．的解集为 D．，，则 考点十 函数的新定义题 88.（2023·全国·高一专题练习）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 89.（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数为：当（为正整数，是既约真分数）时，当或或为上的无理数时.已知、、都是区间内的实数，则下列不等式一定正确的是 A． B． C． D． 90.（2024秋·全国·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________． ①函数的最大值为；                         ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点     ④ $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题10 函数的表示法10种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 （二）解析法 （三）图象法 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 （二）换元法求解析式 （三）配凑法求解析式 （四）方程组法求解析式 （五）赋值法求解析式 考点三 作函数图象及其应用 （一）画具体函数的解析式 （2） 函数图象的变换 （3） 函数图象的应用 考点四 分段函数求值 （1） 求分段函数的值 （二）已知分段函数的值求参数 考点五 分段函数与不等式的综合 考点六 分段函数图象的画法 考点七 分段函数的定义域、值域问题 考点八 根据分段函数的最值求参数 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 （二）分段函数图象的应用 考点十 函数的新定义题 知识点1：函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点4：分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 注：(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　 知识点5：函数的图象 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 解题策略 1、理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 2、函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 注：应用函数三种表示方法应注意以下三点 ①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 3、作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 注：用描点法画函数的图象： 一般地，作函数图象时分以下三个步骤： (1)列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 4、作函数图象时需注意的五个问题 (1)确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点；　 (4)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等； (5)对于已经熟悉形状的函数图象，只需选出几个特殊点即可作出全图，其中抛物线选3个点即可，直线或线段选2个点即可． 5、求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 6、函数图象的应用 (1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点． (2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养． 7、分段函数求值 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 8、分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 9、分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 1．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数由以下表格给出，则等于 . x 1 2 3 4 －1 1 2 1 【答案】1 【分析】根据函数的对应关系，求得，即可求得答案. 【详解】由题意得，故， 故答案为：1 2．（2024秋·高一课时练习）自变量x与因变量y之间的关系如下表： x 0 1 2 3 4 … y 0 2 4 6 8 … （1）写出x与y的关系式： . （2）当时， . 【答案】 5 【分析】根据表格数据直接得到关系式，再代入即可得到值. 【详解】观察表格可知，的值是值的两倍，故，当，. 故答案为：；5. 3.（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，分别由下表给出， 0 1 2 1 2 1 0 1 2 2 1 0 则_____________；满足的的值是_____________． 【答案】 2 1 【详解】依题意，； ，，，， ，，因此当且仅当时，成立， 所以满足的x的值是1. 故答案为：2；1 （二）解析法 4．【多选】（2024秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（   ） A．（） B．（） C． （） D．（） 【答案】ABD 【分析】根据已知条件逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为， 所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确， 对于B，由选项A，可知（），所以B正确， 对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，， 因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误， 对于D，由选项C可知，，所以， 因为，所以（），所以D正确， 故选：ABD 5.（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设班级人数的个位数字为，令，（）， 当时，，当时，， 综上，函数关系式为. 故选：B. （三）图象法 6．（2024·全国·高三对口高考）已知某人在2010年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y（元）与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则. 【答案】见解析 【分析】根据函数表示的三种方法，分别表示函数，再根据函数的定义，表示定义域，值域，和对应法则. 【详解】列表法： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 （元） 1000 2000 4000 8000 16000 32000 图象法： 解析式： 函数的定义域为，值域是， 对应法则是， 7．（2024·全国·高三专题练习）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．       B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题可知前三年年产量的增长速度越来越快，即的值逐渐增大，后三年年产量保持不变，即的值不变. 【详解】∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当时，总产量增长速度原来越快，图象上升的速度越来越快． 又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当时，图象的上升速度不变，图象为直线型，且c随t的增大而增大． 故选：A． 8．【多选】（2024秋·高一课时练习）某地一年内的气温（单位：℃）与时间t（单位：月份）之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃，令表示时间段内的平均气温，不能正确反映与t之间的函数关系的图象有（　　）    A．   B．    C．    D．     【答案】BCD 【分析】用排除法，根据的图象，确定的性质排除错误选项后可得． 【详解】由的图象可知：，且在上的图象对称， 所以，故C错误； 因为该年的平均气温为10 ℃，即，故D错误； t在大于6的某一段平均气温超过10 ℃，故B错误． 只有A符合上述特征，故A正确． 故选：BCD. 9.（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）如图，是边长为2的等边三角形，点由点沿线段向点移动，过点作的垂线，设，记位于直线左侧的图形的面积为，那么与的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分； 当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分， 综上所述：与的函数关系的图象大致是选项D， 故选：D 10.（2023·安徽黄山·高一屯溪一中校考开学考试）已知边长为1的正方形中，为的中点，动点在正方形边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 综上所述：，可知B、C、D错误，A正确. 故选：A. 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 11．（2024·全国·高一假期作业）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得. 【详解】设，则, 因为， 所以，解得， 所以，. 故选：B. 12．（2024·全国·高一课堂例题）（1）已知一次函数满足，求的解析式． （2）已知二次函数满足，，，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）利用一次函数的形式和待定系数法求函数的解析式； （2）利用二次函数的形式待定系数法求函数的解析式； 【详解】设，则 ， 于是有解得或 所以或． （2）设， 由题意得解得 故． 13．（2024·全国·高三对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. （二）换元法求解析式 14．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】令，先用换元法求出，继而可得. 【详解】令则， 又， ， 所以. 故答案为：. 15．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法即可得解. 【详解】令，则， 又，所以，则， 故选：C. 16．（2024·重庆·统考模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，运算求解即可. 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 17.（2023·全国·高三专题练习）若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为,,则 设即 则,即 所以 故选:. 18.（2023·全国·高三专题练习）已知，求. 【答案】， 【详解】因为， 令，当时，当且仅当，即时取等号， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以，则，， ，. （三）配凑法求解析式 19．（2024秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出解析式作答. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 20.（2023·全国·高三专题练习）已知，则_______． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 21．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知函数，求函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】换元法求函数的解析式. 【详解】因为， 所以， 故答案为: . 22.（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 【答案】C 【详解】， ， . 故选：C. （四）方程组法求解析式 23．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式 【答案】 【分析】用方程组的方法求解即可. 【详解】因为， 用替换得， 消去，解得，即. 24．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程组法求解析式即可. 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得， 故选：A． 25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得， 消去得，所以． （2）由，得，即对任意恒成立， 令，， 当时，取得最大值86， 所以实数m的取值范围为． 26．（2024·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 将换成可得：，将其代入上式可得： ， 所以， 故答案为：. 27．（2024·全国·高一课堂例题）（1）已知函数满足，求的解析式． （2）已知，其中，求的解析式． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）（2）利用构造方程组法求函数的解析. 【详解】（1）在已知等式中，将换成，得， 与已知方程联立，，消去，得， 所以函数的解析式为. （2）在原式中以替换，得， 于是得，消去，得． 故函数的解析式为，． 28．（2024秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则 . 【答案】 【分析】分别令，，可构造方程组求得结果. 【详解】令，则；令，则； 由得：. 故答案为：. （五）赋值法求解析式 29.（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______. 【答案】 【详解】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 30.（2023·高一课时练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且． (1)求函数的表达式； 【答案】(1) 【详解】（1）由已知等式， 令，，得．又，所以． 再令，可得，即． 因此，函数的表达式为． 31．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知满足. (2)已知，对任意的实数x，y都有. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用方程组法求解析式，注意定义域； （2）利用赋值法求抽象函数解析式； 【详解】（1）将代入，得， 因此，解得． （2）令，得， 所以，即． 32．（2024·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 【答案】 【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式. 【详解】对任意实数，，， 令，得，即， 又，所以. 33．（2024·江苏·高一假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 【答案】 【分析】利用赋值法可求的解析式. 【详解】由已知条件得，又， 设，则，∴. 34.（2023·高一课时练习）已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】（1）令则 （2）令则； （3）对称轴为， ， ． 考点三 作函数图象及其应用 （1） 画出具体函数图象 35.（2024·高一课时练习）作出下列函数的图象. （1）y＝x＋2，|x|≤3； （2），x∈Z且|x|≤2. 【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析 【解析】（1）由题意，，函数的图象如图所示： （2）由题意，，函数的图象如图所示： 36.（2024·高一课时练习）作出函数的图像． 【答案】答案见解析 【解析】因为 所以函数的图像如图所示： （2） 函数图象的变换 37.【多选】（2024秋·重庆万州·高一校考期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】AC 【详解】向右平移个单位得到，当时，，函数图像过原点，选项A正确；.. 向左平移个单位得到，当时，，函数图像不过原点，选项B错误； 向上平移个单位得到，当时，，函数图像过原点，选项C正确； 向下平移个单位得到，当时，，函数图像不过原点，选项D错误. 故选：AC 38.（2023·全国·高三对口高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：    (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【详解】（1）将函数的图象向左平移一个单位可得函数的图象，函数的图象如图：    （2）将函数的图象向上平移一个单位可得函数的图象，函数图象如图：    （3）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数图象如图：    （4）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数的图象如图：      （5）将函数的图象在轴上方图象保留，下方的图象沿轴翻折到轴上方可得函数的图象，函数的图象如图：    （6）将函数的图象在轴左边的图象去掉，在轴右边的图象保留，并将右边图象沿轴翻折到轴左边得函数的图象，其图象如图：    39.（2024秋·重庆万州·高一校考期中）将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象向左平移1个单位得到， 再向下平移3个单位长度得到. 故选：C （二）函数图象的应用 40．（2023春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）甲､乙两人进行一次赛跑比赛，从同一地点出发，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲､乙两人的速度相同 B．此次比赛甲获胜 C．乙跑的路程多 D．在比赛中甲比乙跑的快 【答案】B 【分析】结合图形，依次判断选项即可. 【详解】A：由图可知，甲是均速运动.乙先快速运动，再慢速运动，两人速度不一样，故A错误； B：由图可知，甲用时比较少，乙用时比较多，所以甲先到终点，甲胜，故B正确； C：由图可知，甲乙两人的路程一样，故C错误； D：由图可知，乙在前段路程的速度比甲的速度大，但乙在后段路程的速度比甲的速度小，故D错误. 故选：B. 41．（2024·高一课时练习）在某种金属材料耐高温的实验中，10分钟内温度y（℃）随时间t（分钟）的变化情况，经微机处理后显示出如下图象，则下列说法中正确的是（    ） A．前5分钟温度增加的速度由慢变快，后5分钟温度保持不变 B．前5分钟温度增加的速度由快变慢，后5分钟温度保持不变 C．前5分钟温度增加的速度由慢变快，后5分钟温度匀速增加 D．前5分钟温度增加的速度由快变慢，后5分钟温度匀速增加 【答案】B 【分析】根据给定图象变化情况直接判断作答. 【详解】温度y关于时间t的图象是先凸后平，在区间内图象上凸，温度增速由快变慢，在区间内图象水平，温度保持不变. 故选：B 42．【多选】（2024·江苏·高一专题练习）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为 B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为 D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 【答案】ABC 【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项. 【详解】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确； 当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确； 易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确； 当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确. 故选：ABC. 43．（2024秋·高一课时练习）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象. 给出下列四种说法： ①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本. 其中，正确的说法是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案. 【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为， 显然，，为票价. 当时，，则为固定成本. 由图象(2)知，直线向上平移， 不变，即票价不变， 变大，且，则变小，成本减小. 故①错误，②正确； 由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大. 变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变. 故③正确，④错误. 故选：C. 考点四 分段函数求值 （一）求分段函数的值 44.（2023春·河南信阳·高一校联考期中）已知函数，则______． 【答案】63 【详解】因为，所以． 故答案为：63． 45．（2024秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知函数，则= ，= 【答案】 【分析】代入求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为：， 46．（2024秋·江西南昌·高一统考期中）已知函数，则 . 【答案】 【分析】由解析式求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 47．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知函数，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，可得答案. 【详解】由题意可知： ， ，. 故选：A. 48．（2024·全国·高一课堂例题）已知 则的值等于（    ） A．-2 B．4 C．2 D．-4 【答案】B 【分析】根据函数解析式直接代入求解. 【详解】因为 所以. 故选：B 49.（2023·全国·高三对口高考）已知函数，则的值为______. 【答案】7 【详解】由题意，函数， 则. 故答案为：. （二）已知分段函数的值求参数 50．（2024秋·山东青岛·高一校考期中）已知函数 ，若，实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求得，再由，即可求得答案. 【详解】由题意可得，故， 故选：B. 51．（2024秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数成立等式，即可解出的值，再代入求解即可. 【详解】根据题意，若， ， 则必有，即， 则， 即，则， 解得：或（舍去）， ， 故选：B. 考点五 分段函数与不等式的综合 52．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】分和，利用分段函数求解. 【详解】当时，由－x，解得x， 当时，由2x－1，解得x， 综上不等式的解为x或x. 所以. 故答案为： 53．（2024秋·河南南阳·高一统考阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，分，解不等式即得. 【详解】当时，，解得或， 所以或； 当时，，解得， 所以； 综上，满足的的取值范围是. 故选：D. 54.（2023·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由得：，解得：或，； 当时，由得：，解得：，； 不等式的解集是. 故选：A. 55．（2024·全国·高一专题练习）函数，若关于的不等式的解集 . 【答案】 【分析】原不等式等价于或，分别解出对应不等式即可得出结果. 【详解】由题意得原不等式等价于或，解得或， 即关于的不等式的解集为： 故答案为： 56．（2024·全国·高三专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（方法1）分别在时，解不等式，在时，解不等式，再求并集得答案. （方法2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案. 【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以； 当时，，不等式可化为，解得， 又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是. 故选: A. （方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集. 由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围. 在中，令，得，所以点的横坐标为. 在中，令，得（舍去）或， 所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是. 故选：A. 57．（2024·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别在和的情况下解一元二次不等式即可. 【详解】当时，由得：，解得：或，； 当时，由得：，解得：，； 不等式的解集是. 故选：A. 58．（2024秋·江苏淮安·高一江苏省淮安中学校考期末）已知函数，令，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】根据题意求出的解析式，利用分段函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题知，当时， 即，解得：， 此时，； 当，即， 解得：或，此时，； . 由，得： 或或， 解得：或. 故答案为：或. 59.（2023·全国·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，，的图象，如图1所示， 由，解得或； 由，解得或. 由图象易得， 结合图象可知，当时，取得最小值， 即. （2）设，则恒过点， 因为，所以记， 由（1）知，的图象如图2所示， 当时，，即， 所以，不等式恒成立. 当时，易知直线AM的斜率， 由图象可知，根据恒成立， 可得，解得，所以， 综上所述，k的取值范围是. 考点六 分段函数图象的画法 60．（2024秋·甘肃武威·高一校考期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.    【答案】图像见解析，值域为 【分析】把表示为分段函数，作出图像，由图像得函数的值域. 【详解】函数，图像如图所示，    由函数图像可知，当时，函数有最小值0，函数值域为. 61．（2024·全国·高一课堂例题）作出下列函数的图象： (1) (2)，． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）分别作出各段函数的图象可得分段函数的图象； （2）先作出二次函数的图象，保留轴上及其上方部分，再把轴下方的部分翻折到轴上方，并截取在区间上的部分可得所求函数的图象. 【详解】（1）画出一次函数的图象，取上的一段； 画出二次函数的图象，取上的一段； 画出一次函数的图象，取上的一段， 如图所示．    （2）先作出二次函数的图象，保留轴上及其上方部分，再把轴下方的部分翻折到轴上方，并截取在区间上的部分，如图所示．    62．（2024秋·福建漳州·高一漳州三中校考期中）已知函数．          (1)求，； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中，作出函数的图象． 【答案】(1) (2)的值为或1或4 (3)图见详解 【分析】（1）根据分段函数的解析式求解． （2）对的范围分三种情况讨论，分别求出对应的的值即可． （3）根据分段函数的解析式，分别画出每一段的图象即可． 【详解】（1）因为， 所以， 由， 所以； （2）当时，， 当时，； 当时，； 综上所述的值为或1或4； （3）函数的图像，如图所示，      63．（2024·全国·高一假期作业）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【答案】(1)， (2)函数的简图见解析. (3) 【分析】（1）直接利用分段函数解析式求解函数值. （2）根据函数类型及性质作函数简图. （3）由简图直接看出函数的值域. 【详解】（1）由， ∴， . （2）简图如图所示： （3）简图可知函数的值域为 64．（2024秋·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）已知. (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出区间上的的图象； (3)根据图象写出区间上的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】(1)根据绝对值分类讨论即可表示为分段函数； (2)根据二次函数图象性质作出图象； (3)根据图象确定函数最小值、最大值即可求值域. 【详解】（1）当时，，当时，， 所以. （2）根据二次函数的图象性质，作图如下， （3）由图象可知，当或时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以区间上的值域为. 65．（2024秋·湖北武汉·高一校联考期中）给定函数.    (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2) 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 【答案】(1)图象见解析 (2)， 【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可； （2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值. 【详解】（1）对于，过作一条直线即可得到的图象， 对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，    （2）由，得或，结合图象，可得的解析式为 ， 结合图象可知，当时，. 66．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)作图见解析 (2)． 【分析】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后，写成分段函数，即可作出图像； （2）设，由关于的不等式恒成立，则且，得出，画出的大致图像，则满足即可，解得不等式即可求得答案． 【详解】（1）由题得，， 画出的图像如图所示： （2）设， ， ，且， ， 画出的大致图像， 由图像知，若恒成立， 则，即， ， 故实数的取值范围为． 考点七 分段函数的定义域、值域问题 67．（2024秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． (1)写出函数的定义域和值域； (2)求的值． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2) 【分析】（1）由函数的图象可得出函数的定义域和值域； （2）求出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】（1）解：由图可知，函数的定义域为，值域为. （2）解：当时，设，则，解得， 当时，可设，则，解得， 所以，， 则，因此，. 68.（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）函数的最小值是__________. 【答案】 【详解】当时，的单调递减，， 当，，， 所以函数的最小值为. 故答案为： 69.（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）已知函数的最大值为，的最小值为，则______． 【答案】 【详解】当时，， 所以此时， 当时，， 所以此时， 综上所述，，即， 所以. 故答案为：. 70．【多选】（2024秋·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 【答案】BCD 【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值. 【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误； 对B：当时，；当时，； 则的值域为，故B正确； 对C：当时，，故C正确； 对D：当时，，解得，不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 综上所述：若，则的值是2，故D正确； 故选：BCD． 71．【多选】（2024秋·广东梅州·高一校考期中）已知函数，则关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．若，则x的值为 【答案】BD 【分析】对A根据解析式判断定义域，对B结合单调性求出值域，对C代值即可求出，对D利用函数值分段讨论求出.变量的值. 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确； 当时，，故C错误； 当时，，当时，， 故D正确； 故选：BD. 72．【多选】（2024秋·福建莆田·高一校联考期中）函数 ，则下列结论正确的是（    ） A．定义域为 B．的值域是 C．方程的解为 D．方程的解为 【答案】AC 【分析】根据的解析式可判断函数的定义域以及值域，判断A,B;讨论x为有理数或无理数，从而确定方程和的解，判断C,D. 【详解】由于函数，定义域为，A对； 函数的值域为，故B错； 当x为有理数时，，故方程即方程，则， 当x为无理数时，，故方程即方程，则，矛盾， 故方程的解为，∴C对； 当x为有理数时，，故方程即，即， 则x为有理数， 当x为无理数时，，故方程即方程，即， 则x为有理数，矛盾， 故的解为全体有理数，∴D错. 故选：AC. 73．【多选】（2024秋·宁夏中卫·高一中宁一中校考阶段练习）如图是函数的图像，则下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．若，则或2 【答案】CD 【分析】结合函数的图像和定义域，值域等性质进行判断即可． 【详解】由图像值，故A错误； 函数的定义域为，，故B错误； 函数的值域为，，故C正确； 若，则或2，故正确 故选：． 74．【多选】（2024秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期中）已知函数关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．若则x的值是 【答案】BD 【分析】根据分段函数的解析式可确定函数的定义域和值域，判断A,B；代入求值判断C;结合函数值域列方程求解，判断D. 【详解】由可知函数定义域为，A错误； 当时，；当时，， 故的值域为，B正确； ，C错误； 由于当时，，故则，，则，D正确； 故选：BD 考点八 根据分段函数的最值求参数 75．（2024秋·吉林通化·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解. 【详解】解：由题意，当时，， 又函数的值域是， 当时，有解，此时，所以，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则，所以，此时，符合题意； ②若，则，所以，要使， 只须，即； 综上，. 故选：B. 76.（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数，若的最小值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，仅当时等号成立， 所以，在上递减，且最小值为， 对于在上，当时；当时，无最小值； 显然，时的最小值不为1，不合题意； 所以，此时必有，可得. 故选：B 77.【多选】（2023秋·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】解：因为， 若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值； 若，则，此时，符合题意； 若，当时在上单调递减， 当时， 二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增， 要使函数存在最小值，只需，解得， 综上可得. 故选：ABC 78.（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数无最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可知，当时，，其对称轴为， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最大值为， 当时，，在单调递减，故， 因为函数无最大值，故当时，需满足，解得，不符合题意， 当时，需满足，解得，（舍去）. 综上，实数a的取值范围是. 故选：D. 79.（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，当时，，则的最大值是________． 【答案】/ 【详解】令，解得：；令，解得：； 图象如下图所示， 由图象可知：，，. 故答案为：. 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 80．（2024·全国·高一课堂例题）如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为点，不与，重合）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分图形的面积关于的函数解析式．    【答案】 【分析】分别过点作，，垂足分别是点，．根据已知条件求出等腰梯形的高和上底边长，再根据点的位置分类讨论可求出面积关于的函数解析式． 【详解】分别过点作，，垂足分别是点，． 因为四边形是等腰梯形，底角为，，所以． 又，所以． （1）当点在上，即时，；    （2）当点在上，即时，；    （3）当点在上，即时， ．    故函数的解析式为. 81．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知计算出，画出图象，计算，解得，从而求出的最小值. 【详解】由题意得，当时，故， 当时，故， 可得在区间上，， 所以当时，，作函数的图象，如图所示，    当时，由，则， 所以的最小值为 故选：B 82．（2024秋·上海徐汇·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】讨论当直线在的左侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的右侧时，利用间接法即可求解. 【详解】由题意可知为等腰直角三角形，, 当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时， 即当 时，直线的左侧为等腰直角为三角形， 此时， 当直线与正方形的交点在上时， 即，直线的左侧为五边形， 则， 所以S表示为t的函数解析式为， 故答案为：. （二）分段函数图象的应用 83．（2024秋·广东·高一校联考期中）定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 /1.75 【分析】根据定义作出函数的图象，写出解析式，即可求出最大值；根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行求解的最大值． 【详解】根据定义作出的大致图象，如图， 其中， 即 由图可知，当时，取最大值3． 当时，当或时，由，解得：或； 当时，当时，由，解得：． 由图可知，若函数在区间上的值域为，则最大值为． 故答案为：3，． 84．【多选】（2024秋·山西·高一校联考期中）设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（    ） A．在上的最大值为2 B．在上的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据分段函数，画图分析即可判断. 【详解】解：如下图实线是函数的图象，方程的根为，该函数的最大值为 所以可得函数的图象如图所示实线部分， 故当，有，或时， 由图可知在上有最大值2，且的取值范围为. 故选：AC. 85．【多选】（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）已知，若方程有实根，则的取值范围是 . 【答案】或. 【分析】根据分段函数定义分类讨论，方程的解的情况可得． 【详解】当时，由得，所以，，当时，由得，所以，所以的取值范围是或. 故答案为：或. 86．【多选】（2024秋·浙江宁波·高一效实中学校考期中）设，则下列选项中正确的有（    ） A．与的图象有两个交点，则 B．与的图象有三个交点，则 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ABC 【分析】根据题意作出分段函数的图象，数形结合求解. 【详解】函数图象图所示： 由图可知，若与有两个交点，则，故A正确； 若与有三个交点，则，故B正确； 若，则，故C正确； 若，则， 则，故D错误. 故选:ABC. 87．（2024秋·江苏扬州·高一校考期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．的解集为 D．，，则 【答案】BCD 【分析】对于A，根据解析式先求，再求，对于B，分和两种情况求解，对于C，分和两种情况解不等式，对于D，求出函数的最大值判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，当时，由，得，得，当时，则，得，，得或（舍去），综上或，所以B正确， 对于C，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，综上，的解集为，所以C正确， 对于D，当时，，当时，，所以的值域为， 因为，，所以，所以D正确， 故选：BCD 考点十 函数的新定义题 88.（2023·全国·高一专题练习）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】由题意可知 所以，，，而无解. 故选：C. 89.（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数为：当（为正整数，是既约真分数）时，当或或为上的无理数时.已知、、都是区间内的实数，则下列不等式一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为正整数，是既约真分数，或或为上的无理数，则根据题意有： ①当时，则，， ②当时， ，； ③当时，，； ④当时，， 综上所述，一定成立. 故选：B. 90.（2024秋·全国·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________． ①函数的最大值为；                         ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点     ④ 【答案】②③④ 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，函数满足，④正确； 故答案为：②③④ $$