22.1.2二次函数y=ax²的图象与性质（第1课时 九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

22.1.2二次函数y=ax²的图象与性质（九大题型提分练） 题型一、二次函数y=ax²的开口方向与大小 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向上，则， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 3．（21-22九年级上·福建厦门·开学考试）抛物线的开口向上，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系． 4．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，三个二次函数图象中，分别对应的是①；②；③，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数中越大开口越小，据此即可求解． 【详解】解：二次函数中越大开口越小， 由图得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解性质是解题的关键． 题型二、二次函数y=ax²的对称轴与顶点 5．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式，可直接求出对称轴． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住二次函数的对称轴是直线． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键． 根据原点是抛物线的最低点，则抛物线必须开口向上，可得，即可解答． 【详解】解：解：点是是抛物线的最低点， ． 故答案为：． 7．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴， 取时，函数值相等， 关于轴对称， ， 当取时，函数值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键． 8．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）点在二次函数的图象上，，下列推断正确的是（    ） ①对任意的，都有 ； ②对任意的，都有 ； ③存在，满足，且； ④对于任意的小于1的正实数t，存在，满足，且． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据题意可得当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小，可得到①错误；由，可得点，关于y轴对称，从而得到②正确；③错误；再由，可得，然后根据当点，在y轴两侧时，此可设点在y轴左侧，则在y轴右侧，可得，可得④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴，开口向上， ∴当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小， ∴当时．都有，故①错误； ∵， ∴， ∴点，关于y轴对称， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， 当点，在y轴两侧时，此可设点在y轴左侧，则在y轴右侧， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意的小于1的正实数t，存在，，满足，且，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 题型三、二次函数y=ax²的增减性与大小比较 9．（23-24九年级上·北京·期末）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图像的性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图像，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 10．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知点和在抛物线上，若，则与的大小关系（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的解析式可知对称轴为轴，，在对称轴的左侧，随的增大而增大． 【详解】解：由抛物线的解析式可知： 对称轴是直线，抛物线开口方向向下， ， 随的增大而增大． ． 故选：A． 11．（2023·浙江绍兴·一模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，对称轴为轴， ∴在轴左侧，随的增大而减小，在轴右侧，随的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大； A、，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项A错误； B、，不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项B错误； C、当，即：， ∴或， 当时，， 当时，， ∴当时，；故选项C正确； D、当，即：不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项D错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断． 12．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向上，即可得到，解得，问题得解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴． 故答案为： 题型四、二次函数y=ax²的最值与函数值取值范围 13．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）如图，的图象上可以看出，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图形得出和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：由图象可知时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：． 【点睛】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意． 14．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）关于函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断顶点是否在该取值范围内，从而判断y的取值范围即可； 【详解】解：由可知，该二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴该函数在时取最大值为0， 根据二次函数的对称性，当时， y在处取得最小值，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． 15．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数．      (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （）观察函数图象求解即可． 【详解】（1）根据画函数图像的步骤： 列表： … … … … 描点， 连线； 如图：    （2）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象及其性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 题型五、二次函数y=ax²的图象与性质问题 17．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 18．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）关于抛物线，下列说法，正确的序号有 （填序号）． ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是抛物线上的两点，则． 【答案】①②④ 【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②因为对称轴为直线，抛物线开口向下，所以当时，y随x的增大而减小，故②正确； ③因为当时，，当时，，当时，，故③错误； ④若是该抛物线上两点，且关于对称轴对称，所以，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 19．（2023九年级下·江苏·专题练习）关于二次函数 （1）其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当时， 随的增大而 ，当时，随的增大而 ，当 时，有最 值，其值是 ． （2）若，，为函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 【答案】 下 轴 减小 增大 0 大 0 / 【分析】利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）， 该图象开口向下，对称轴是轴，顶点坐标为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最大值，其值是0． 故答案为：下，轴，，减小，增大，大，0． （2）当时，随的增大而增大，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 20．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，求： (1)满足条件m的值． (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)2或 (2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大 (3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值； （2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性； （3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性． 【详解】（1）解：根据题意得且， 解得，， 所以满足条件的m值为2或． （2）解：当时，抛物线有最低点， 所以， 此时抛物线解析式为， 所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大． （3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值； 此时抛物线解析式为， 所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零． 题型六、二次函数y=ax²与一次函数相结合 21．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 22．（21-22九年级上·河南周口·期末）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) 【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式； (2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C 的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标． 【详解】（1）把代入得：， ∴抛物线解析式为； （2）设直线AB的函数解析式为， 把，代入得：，， ∴直线AB的解析式为， 将与联立得： 或， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 题型七 、二次函数y=ax²与公共点、交点问题 24．（21-22九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据∣a∣越大，抛物线的开口越小即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3， 当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=， 观察图象可知：， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 25．（2020·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣1或a≥2 B．≤a≤2 C．﹣1≤a＜0或＜a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2 【答案】D 【分析】当抛物线经过点A时，，当抛物线经过点B时，，当抛物线经过点C时，，再根据二次函数图象开口大小的性质即可得结论． 【详解】如图， 当抛物线经过点A时， 当抛物线经过点B时， 当抛物线经过点C时， 由二次函数图象的性质，分以下两种情况： （1）当时，抛物线开口向上，且a越大，开口越小 则抛物线经过点A是临界位置 因此，时，抛物线必经过区域 （2）当时，抛物线开口向下，且a越大，开口越大 则抛物线经过点B是临界位置 因此，时，抛物线必经过区域 综上，a的取值范围为或 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象特征，依据题意，分两种情况讨论，并正确找出相应的临界位置是解题关键． 26．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线，与直线交于点A，点A关于直线的对称点为B， (1)求点A，B的坐标； (2)若抛物线：与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）过点且平行于轴的直线，则，联立方程组，即可求出点的坐标，点关于直线的对称点为，利用轴对称性质，即可求出点的坐标； （2）画出图象，分别得出和时的函数值，结合图象求解． 【详解】（1）解：过点且平行于轴的直线，则， 根据题意，联立方程组，解得， 点的坐标为， 点与点关于直线对称， 点的坐标为； （2）当时，， 当时，， 结合函数图象，与线段恰有一个公共点，显然，不满足条件； 若要满足条件，需满足：且且， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，与线段综合考查，综合性较强，有一定难度． 题型八、二次函数y=ax²与几何综合问题 27．（21-22九年级上·吉林·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设点B（x，），构造方程+x=6，确定点B的坐标，计算OB的长度，根据正方形的性质即可得到AC． 【详解】设点B（x，y） ∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6， ∴AC=BO，+x=6， 解得（舍去）， ∴B（2，4）， ∴BO==， ∴AC=， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的解法，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键． 28．（20-21九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（    ）    A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2， ∴由题意可得：A，C点纵坐标为1， 故1=x2， 解得：x=±， 故A(，1)，C(﹣，1)， ∴AC=2， 故菱形OABC的面积是：ACOB=×2×2=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关键． 29．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 【详解】（1）把点A（-4，8）代入，得： ∴； 把点A（-4，8）代入，得： ∴； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=-x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y=×22=2， ∴点D在抛物线y=x2上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型九、二次函数y=ax²图象上点的变化规律探究问题 30．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ 故答案为：D． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 31．（2023·四川达州·二模）如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为(   ) A．1012 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得，． 点的坐标是：，， ； 同理可得：正方形的边长； 依此类推，正方形的边长是为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键． 1．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 3．（2024·山东淄博·二模）如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二次函数综合问题，先求出，找到规律再计算即可． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，可知，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，是二次函数， ， 解得：， 函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大， 抛物线开口方向向下， ， ，即， 当时，，故不在其图象上，在其图像上， 当时，，当时，，故，在其图象上， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 5．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）定义运算“”为：，如：，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义运算“”为：，可得的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象． 【详解】解：， 时，图象是对称轴右侧的部分；时，图象是对称轴左侧的部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“”为：得出分段函数是解题关键． 二、填空题 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则 ． 【答案】 【分析】 此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键． 由抛物线的开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ， ， ． 故答案为：． 7．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【答案】# 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，为正数， 又由开口大小可得，， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作轴于，则，由题意知，，，可得，由正方形的性质、勾股定理可得，由，可得，，即，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于，则， 由题意知，，， ∴， 由正方形的性质、勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键． 9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，得到，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入， 得， 解得（舍去），， ，， ∴，， ∴菱形的面积为：， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ．    【答案】或或或 【分析】此题应分四种情况考虑：（1）当，时；（2）当，时；（3）当，时；（4）当，时，利用特殊三角形三边关系，根据三角形全等即可求解． 【详解】（1）当，时，    设，代入， 解得：（舍去），， ，， 又， ，， ； （2）当，时，    过点作轴，垂足为， 由（1）得，，， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ， ； （3）当，时，      设，代入，解得：（舍去），， ，， ， ， ， ； （4）当，时，    过点作轴，垂足为点， 由（3）得，， 在中，由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 又， ， ， ， 综上所述，点A的坐标是或或或． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及二次函数图象和性质，由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用． 三、解答题 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 12．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 【答案】(1)，轴 (2) (3)图像见解析 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论； （2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可； （3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为轴， 故答案为：，轴； （2）点， 当时，， 点 点的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）如图    【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 13．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    (1)求的值，并画出它的图象； (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； （2）当时，，当时，，当时，n取最大值，，并结合函数图象求出n的取值范围． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示：    （2）解：点是此二次函数的图象上一点，， 当时，， 当时，， 当时，n取最大值，， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，熟练的利用二次函数的定义求解二次函数的解析式是解本题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数关系式为 (2)； (3)存在，此时C点坐标为、、、 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据条件求出，从而求出，即可求解； （3）由题意可得点到的距离是点C到的距离的2倍，即点C的纵坐标为1或者3，把和代入求解即可． 【详解】（1）解;∵二次函数的图像经过点 ∴把点直接代入可得：， ∴二次函数关系式为． （2）解：把代入，解得：或1， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在； ∵的面积等于面积的2倍，且和都有共同的底边， ∴点到的距离是点C到的距离的2倍， ∵到的距离为2， ∴点C到的距离为1 即点C的纵坐标为1或者3， 把代入得：，把代入得：， ∴此时C点坐标为、、、； 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到面积问题，待定系数法求解析式等，灵活运用所学知识是关键． 15．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为：； (2)； (3)，的最小值为． 【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点的坐标为，点的坐标为 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得 解得， 所以，直线的解析式为：； （2）解：对于直线： 当时， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小， 设直线∶， ∵直线∶过点和点， ∴， 解得， ∴直线∶， 令，有， 解得， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴的最小值为的长：． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． ( 43 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.2二次函数y=ax²的图象与性质（九大题型提分练） 题型一、二次函数y=ax²的开口方向与大小 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   2．（23-24九年级上·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 3．（21-22九年级上·福建厦门·开学考试）抛物线的开口向上，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，三个二次函数图象中，分别对应的是①；②；③，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型二、二次函数y=ax²的对称轴与顶点 5．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 7．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 8．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）点在二次函数的图象上，，下列推断正确的是（    ） ①对任意的，都有 ； ②对任意的，都有 ； ③存在，满足，且； ④对于任意的小于1的正实数t，存在，满足，且． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 题型三、二次函数y=ax²的增减性与大小比较 9．（23-24九年级上·北京·期末）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知点和在抛物线上，若，则与的大小关系（    ） A． B． C． D．无法确定 11．（2023·浙江绍兴·一模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是 ． 题型四、二次函数y=ax²的最值与函数值取值范围 13．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）如图，的图象上可以看出，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）关于函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数．      (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 题型五、二次函数y=ax²的图象与性质问题 17．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）关于抛物线，下列说法，正确的序号有 （填序号）． ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是抛物线上的两点，则． 19．（2023九年级下·江苏·专题练习）关于二次函数 （1）其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当时， 随的增大而 ，当时，随的增大而 ，当 时，有最 值，其值是 ． （2）若，，为函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 20．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，求： (1)满足条件m的值． (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小． 题型六、二次函数y=ax²与一次函数相结合 21．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 22．（21-22九年级上·河南周口·期末）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 题型七 、二次函数y=ax²与公共点、交点问题 24．（21-22九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2020·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣1或a≥2 B．≤a≤2 C．﹣1≤a＜0或＜a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2 26．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线，与直线交于点A，点A关于直线的对称点为B， (1)求点A，B的坐标； (2)若抛物线：与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 题型八、二次函数y=ax²与几何综合问题 27．（21-22九年级上·吉林·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）    A．2 B． C． D． 28．（20-21九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（    ）    A．2 B．2 C．4 D．4 29．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 题型九、二次函数y=ax²图象上点的变化规律探究问题 30．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 31．（2023·四川达州·二模）如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为(   ) A．1012 B． C． D． 一、单选题 1．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东淄博·二模）如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）定义运算“”为：，如：，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则 ． 7．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 8．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ．    三、解答题 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 12．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 13．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    (1)求的值，并画出它的图象； (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$