上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

复旦中学高一期末数学试卷 2024.06 一.填空题 1.角a终边上有一点P(2,-1),则sina=」 2.已知复数z满足iz=2-i,则川z= 3.满足2cos(2x+孕=1，xe[0,]的角x的集合为 4.已知函数y=sin(2x+2p)(p>0)是偶函数，则p的最小值是 5.已知{an}为无穷等比数列，a2=3, 艺4=4，则a,}的公比为 6.若z是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根，且|z=2,则p= 7.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+2023n,则n= 时∑a,取到最大值 8.如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的 仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°， 求山的高度BC= m 9.己知P是边长为3的正方形ABCD内（包含边界）的一点， 则AP.AB的最大值是 y 10.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4、S、S,∈{-10,0}，则Sn 的最小值为 11.已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b=a-b=b,-a4,求 集合{k|b=am+a,1≤m≤500}中元素个数 12.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角 形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC中， 若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，点P到三角形 三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上知识，已知a为平面内任意一 个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且|b=2,|c=3,则1a-1+|a+b1+ a-c的最小值是 二.选择题 13.已知z为复数，则“z=z”是“z2=z2”的（)条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 14.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是() A.y=cos2x B.y=tanx C.y=sin(x+) D.y=sin 2x 4 l5.欧拉公式er=cosx+isinx(i为虚数单位，xeR,e为自然对数的底数)是由瑞士著 名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关 系.它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论： ①e+1=0:②(cos+isin)(cos2π+isim2弧)…(cos 1010 10 10 isin)i. 9π 0 10 下列正确的是() A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对 16.设无穷项等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，则下列四个说法中正确 的个数是() ①若d<0,则数列{S}有最大项： ②若数列{Sn}有最大项，则d<0: ③若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N,均有Sn>0: ④若对任意的n∈N”,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三.解答题 17.已知复数z满足z(1+)=2i,O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为OZ. (1)求z+3-4i|: (2)若向量0Z绕0逆时针旋转匹得到07，O7对应的复数为z,求zz. 18.设数列{an}的前n项和Sn=2an-a,且a1、a2+1、a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)记数列合}前n项和7，求使7.-1水100 成立的n的最小值， 19.已知函数f(x)=sinx,x∈R. 1)求解方程：f()=3 (2)设g(x)=V5f2x)+2f(x+),求函数g()的单调递增区间： (3)在△MBC中，角A、B、C所对应的边为a、b、C,若f0=5, b=4,△ABC 2 的面积为3v5,求sinC的值. 20.已知数列{an},若{an+at}为等比数列，则称{an}具有性质P. (1)若数列{an}具有性质P,且a=a2=1,a=3,求a4、a的值： (2)若b,=2”+(-1)”,判断数列b}是否具有性质P并证明： (3)设c+c2+…+cn=n2+n,数列{dn}具有性质P,其中d,=1,d-d2=c, d2+d=c2,试求数列{dn}的通项公式. Ⅱ卷 21.将函数f代)=4c09写)和直线g)=x-1的所有交点从左到右依次记为4、4… A,若P的坐标为(0，V3),则1PA+PA,+…+PA|的值为 22.已知a,∈N(i=1、2、…、9),且对任意k∈N”（2≤k≤8)都有ak=ak-1+1或 a4=ak1-1中有且仅有一个成立，a1=6,4,=9,则a,+a2+…+a,的最小值为 23.若向量a、万、c满足a≠6，c+0,且G-a-C-)=0,则a+b1+a-的最小 lel 值是 24已知画数--+1，则f+f品++ 2)的值为 参考答案： 1.5 2.5 π17π 3 4.年 5.-2 6.4 2424 7.1011 8.600m 9.9 10.-12 11.9 12.3+2V5 13.A14.A 15.A 16.C 17.(1)由z(1+i)=2i得：z= 2i 2i0-i）=i0-)=1+i, 1+i(1+i)(1-i) z+3-4i4-31=V42+(-3)2=5. (2)又z=1+i,由复数的几何意义， 向量立=-(L,)绕原点0逆时针旋转得到的o亚=(-1，)， 则0z对应的复数为z=-1+i,则z·z=(1+i)(-1+)=-2. 18.(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn1=2an-2an-(n>1), 即an=2am-(n>1).从而a2=2a,43=4a.又因为a,a2+1,a3成等差数列，即a+4=2(a2+). 所以a1+4a=2(2a+1),解得a=2.所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列. 故a,=2”. 2 1- r-水0d-00即2r>1o0. 因为2°=512<1000<1024=20， 所以n≥10.于是，使7.-100成立的n的最小值为10. 19.0x=rm2:R骨+，+keZ,a)2成2 26 74 【详解】(1)解由题知f()=子，即simx=写 解得x=2kr+arcsin3keZ或x=2r+x--aresine;即x=kr+(-arcsine (2)由题g()=5f2+2r+引， g(x)-/3sin(2x)+2sinx+)-sim(2*)+2cosx-/3sin(2x)+co(2x)+1 =2sin 2x++1,8(e)的单调递增区间为：受+2版52x+名5受+2m,keZ, 6 放g(的单调递区间为[+红+]keZ 《3)由f(A)=),sinA=3】 A=或A=2红 b=48x=bcs如A=35, 2 c=3,当4=时，在△1BC中由余弦定理得：cosA=+c2-Q_16+9-a2=1 2bc 24321 解得a=V3,此时在△ABC中由正弦定理得：a sin AsinC解得simc-csin_3V5 a 26 当A20时在△BC中由余弦定理得：cosA二6+c-a=16+9-Q 2bc 2.4.3 29 解得a=V37,此时在aMBC中由正弦定理得：c,解得si血C.esin_3 sinA sinC 0 741 综上：sinc=3y59或si如C=3 26 74 20.0,4分别为5、：2微列亿}具有性质P,证明见解析；)d,=2+仁 3 ,EN' 【详解】(1)由题意数列{an}具有性质P,{an+a1}为等比数列，设公比为g, 由a1=a2=1,a3=3,得a+a2=2,a2+a3=4,.q=2,∴a3+a4=8,.a4=5, 又a4+a5=16,.a5=11: (2)数列{b,}具有性质P: 证明：因为bn=2”+(-1),所以bn+b1=2”+(-1)”+21+(-1)=32”, 则1+b2=32 b+bat -32=2,即化+6}为等比数列，所以数列6}具有性质P. (3)因为G1+C2+…+cn=n2+n,则G=2,G1+C2+…+cm-1=(n-1)2+n-1,(n≥2)， 故cn=n2+n-(n-1)2-n+1=2n,(n22),G=2适合该式， 故cn=2n,所以由d1=l,d3-d2=G,d2+d3=G2得d1=l,d-d2=2,d2+d=4,， 则d=l,d2=1,d3=3,∴d1+d2=2,d2+d3=4, 因为数列{dn}具有性质P,故{dn+dn}为等比数列，设其公比为g,则g=2, 故dn+d4=2”,.dn1+dn2=2,.dn+2-d。=2”, 当n为偶数时， 4=(d-d2+(d2-d)++(d-d4)+4,=22+2+…+2+1=2-1 3； 当n为奇数时， d,=(d.-d)+(d2-d）+…+(a-d)+d=2-2+2-++2+1=22-D+1=2"+1 3 3 故d-2+e 21...PA+P4+PA+PA+P4 =5PA=10 因为f()=4eos， 2 所以g(-6)<f(-6),8(-2)>f(-2),8(4)<f(4),g(7)>f(7), 故作出f(x)与g(x)的大致图象，如图，由图象可知， g(x) 共有5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知， A和4，A和A4关于A,对称， ..PA +PA =P4+PA,=2PA, pA+P4+PA+PA+P4=5pA,又P0,⑤)，4(1,0)， P4=(-5),PA=2+(=2,P+Pi+P%+PA+P4=5P网=10. 22.31 23.2 【解析】设a=OA,6=OB,c=OC,由条件可知AC LBC,画出图形，由向量加减法及性 a++a-21oiM1+21c 质可得 6 利用两边之和不小于第三边求解。 【详解】设i=0a,i=0,=0c,因为-d司-6=0， 所以(OC-OA-(0C-0B)=0, 即CBC=0,所以AC LBC,取AB中点M,如图， ++6- 04+0B+A-OB 所以 21oM1+2M.210iM21c2240C=2, 当且仅当O,M,C三点共线时取等号. 24.2020 根据题意， 函数f6)=(x-+1,则f1-刈=1-x-2+1=-c-为2+1， 故f(x)+f(1-x)=2, f品)+f品)+…+f2-f+f00+f品+f82+…+ 1012 则 2024 =2023 故答案为：2020.