专题01一元二次方程的五种解法-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题01一元二次方程的五种解法 【解题策略】 　解一元二次方程时,主要考虑降次,其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法,有些特殊方程还可用换元法等.当题目中要求用某一种方法求解时,则根据要求进行求解,如果没有要求,则按照直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法的顺序选一种运算比较简便的方法进行求解.　 题型01用直接开平方法解方程 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（     ） A． B．， C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的解是 ． 【例1-3】（23-24九年级上·天津宁河·期中）解下列方程 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·天津·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)． 题型02用配方法解方程 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广东江门·期中）一元二次方程，配方后可变形为(　　) A． B． C． D． 【例2-2】（21-22九年级上·四川眉山·期末）用配方法解方程，配方后所得方程是 ． 【例2-3】（23-24九年级上·河南许昌·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的方程，方程的解是 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 题型03用公式法解方程 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【例3-2】（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【例3-3】（23-24九年级上·河南许昌·期末）用公式法解方程： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 【变式3-2】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）用适当的方法解方程：． 题型04用因式分解法解方程 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例4-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是 ． 【例4-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）解方程 (1) (2) 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23九年级上·黑龙江·期中）实数x满足方程，则的值等于 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 题型05用换元法解方程 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若实数x，y满足，则的值为 ． 【例5-3】（23-24九年级上·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如果．那么 (　　) A． B． C．或 D．无法确定 【变式5-2】（23-24九年级上·河南周口·期中）若实数a，b满足，则的值为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01一元二次方程的五种解法 【解题策略】 　解一元二次方程时,主要考虑降次,其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法,有些特殊方程还可用换元法等.当题目中要求用某一种方法求解时,则根据要求进行求解,如果没有要求,则按照直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法的顺序选一种运算比较简便的方法进行求解.　 题型01用直接开平方法解方程 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（     ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ，， 故选：B 【例1-2】（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了开平方的方法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． 【详解】解：， 系数化1得：， 开方得：． 故答案为 【例1-3】（23-24九年级上·天津宁河·期中）解下列方程 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： 方程移项后运用直接开平方法求解即可； 【详解】（1）解： ∴ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，就是利用平方根的定义直接开平方．利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案即可． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：C 【变式1-2】（23-24九年级上·天津·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用开平方法解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程，得， 故答案为： 【变式1-3】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)． 【答案】(1)， （2） 【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）利用直接开平方法计算即可 【详解】（1）解： ， ，； （2） ∴ ∴ ∴ 题型02用配方法解方程 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广东江门·期中）一元二次方程，配方后可变形为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：，即． 故选：A 【例2-2】（21-22九年级上·四川眉山·期末）用配方法解方程，配方后所得方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，再在两边同时加减一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 【例2-3】（23-24九年级上·河南许昌·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解：， ，即，解得， ，； （2）解：， ， ，即，解得， ，； 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 方程常数项移动右边，左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】 解：方程， 移项得：， 两边同时加4，得：，即． 故选：C． 【变式2-2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的方程，方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运用配方法解一元二次方程； 根据配方法即可解答． 【详解】解： ， ，， 故答案为：， 【变式2-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， 题型03用公式法解方程 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 【例3-2】（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为： 【例3-3】（23-24九年级上·河南许昌·期末）用公式法解方程： (1)； (2)． (1)， (2)， （1）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． （1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，牢记求根公式：，利用求根公式可直接求解c的值． 【详解】解：已知一元二次方程； 直接利用公式法可得：； 因为其中一个根为； 可得，，； 即，； ∴； 故选：B 【变式3-2】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答． 【详解】解： ， ，，， 从而得到一元二次方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键 【变式3-3】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】 此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．利用公式法求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 题型04用因式分解法解方程 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 或， ，， 故选：B 【例4-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．注意：不要忽视x的取值范围，将方程两边同时除以x，导致漏掉这个实数根． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：， 【例4-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）方程左边提取公因式x分解因式，然后解方程即可； （2）方程左边利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程转换为两个一元一次方程求解即可 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选C 【变式4-2】（22-23九年级上·黑龙江·期中）实数x满足方程，则的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，并对结果进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， 或， 解得或， ， ，又，则该式子不成立， ， 故答案为： 【变式4-3】（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把方程左边利用提公因式法分解因式，然后解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 题型05用换元法解方程 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 【例5-2】（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．设，则原方程左边变为：，解方程可得a的值即可． 【详解】解：设，则原方程左边变为：， 整理得，， ∴， 解得或， ∵， ∴， 故答案为4 【例5-3】（23-24九年级上·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将看成一个整体，转换成一个关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：令，则， 原方程变为，， 即，， 解得：，； 又， ∴ 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如果．那么 (　　) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，得出，解一元二次方程，进而即可求解． 【详解】解：设，，则， 整理，得， 解得或(舍去)． 即， 故选：B 【变式5-2】（23-24九年级上·河南周口·期中）若实数a，b满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程，令，可得，解方程得或，再根据即可求解，熟练掌握整体代入思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：令， ， 解得：或， ， ， 故答案为：4． 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【答案】3 【分析】设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可． 【详解】解：设， 可得原方程为， 解得， ， ， 即的值为3． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用换元法是解本题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$