专题09 多面体与旋转体- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题09 多面体与旋转体 考点剖析 4 【知识点1】 多面体 4 【知识点2】 旋转体 5 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 6 C组 综合训练 8 D组 拓展延伸 9 【知识点1】 多面体 1、多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。 2、棱柱 （1）定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些围成的多面体叫棱柱。 （2）基本性质：侧面都是平行四边形；两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 （3）侧面积和体积公式：（为垂直于侧棱的直截面的周长，为侧棱长），（为底面面积，为高） 注：（1）{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体} {直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体} （2）棱柱具有的性质： ①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 ④棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱。（×） （直棱柱不能保证底面是钜形，如图） ⑤（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直。 （3）平行六面体： 定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分，而定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则 ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱。（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体。（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直。（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 3、棱锥 （1）定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。 （2）基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 注：棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为） 4、正棱锥 （1）定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。 （2）基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积：，。 注：（1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形。（不是等边三角形） （2）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△，侧棱与底棱不一定相等。 （3）正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等），底面为正多边形，则这个棱锥为正棱锥。 （4）特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。 ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。 ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。 ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。 ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心。 ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心。 ⑦每个四面体都有外接球，球心O是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径。 ⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径。 5、斜二侧画图法特点 （1）建立空间坐标系（右手法则）； （2）把平行于、、轴的线段分别画成平行于这些轴；画线段时将与、轴平行的线段取原长， 与轴平行的线段取原长的一半，并画空间图形的直观图。 6、斜二侧画图法性质 （1）平行直线的斜二侧图仍是平行直线； （2）线段及其线段上定比分点的斜二侧图保持原比例不变。 【知识点2】 旋转体 1、旋转体的概念 （1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴。 （2）圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在直线叫做圆柱的轴； 线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高。 【性质】根据圆柱的形成过程易知： 1 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行； 2 圆柱有两个相互平行的底面. （3）圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点； 直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边叫做圆锥侧面的一条母线； 圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高。 【性质】根据圆锥的形成过程易知： ① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交 于圆锥的顶点； ② 每条母线与轴的夹角都相等. （4）球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。 【补充】 ① 球心到球面上任意点的距离都相等； ② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆. 考点剖析 【知识点1】 多面体 【例1】判断下列命题是否正确？ （1）有两个面互相平行的多面体是棱柱； （ ） （2）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体； （ ） （3）若一个平行六面体的四个侧面都是正方形，则这个平行六面体是正方体； （ ） （4）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； （ ） （5）底面边长相等的直四棱柱是正四棱柱． （ ） 【练习】命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱；正确命题的个数为……………………………………………………………（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】设长方体各面上矩形的对角线长分别为、、．在下列条件下，求长方体的对角线长： （1）用、、表示； （2）长方体的全面积为24，所有棱长之和为24； （3）长方体的三个面的面积分别是，，． 【练习1】三棱锥V-ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，各侧面与底面成的二面角都是45°，求三棱锥的高及侧面积？ A B C V 【练习2】三棱锥中，，，求该棱锥的表面积． 【知识点2】 旋转体 【例3】如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 （ ） A． B． C． D． 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为 2．（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号） 3．（23-24高二上·上海金山·期中）将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ． 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的体积为 . 6．（23-24高二上·上海静安·期中）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为 ． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ． 8．（23-24高二上·上海·期末）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？ .    9．（2023高二上·上海·专题练习）给出以下四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是 ． 10．（23-24高二上·上海青浦·期末）底面半径为3，高为4的圆柱和圆锥的表面积的比值为 ． 11．（23-24高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 13．（23-24高二上·上海崇明·期中）三棱台的各个面所在的平面，将空间划分为 个区域． 14．（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 15．（2023高二上·上海·专题练习）如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积. 16．（23-24高二上·上海·期中）（1）设圆台的母线长l，上、下底面的半径分别为,试用和l表示圆台的侧面积. （2）证明：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 18．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. (1)求圆柱的表面积与体积; (2)求直线与所成的角. 19．（2023高二上·上海·专题练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 20．（23-24高二上·上海·期末）将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形． (1)求二面角的大小． (2)如图3，点分别为棱上的动点．求周长的最大值． 21．（23-24高二上·上海普陀·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息､避雨､乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，判断该亭子是否满足建筑要求. 22．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足.    (1)求证：AFDB； (2)求将绕AD旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比； (3)如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】23．（23-24高二上·福建福州·期中）已知正方体棱长为2，动点P在的内切圆圆周上运动，M为棱的中点，现将直线BM绕棱旋转，则在旋转过程中，动点P到动直线BM距离的最小值为 ． 24．（22-23高一下·黑龙江·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm.       (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元） 25．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形． (1)求证：BC∥平面EFGH (2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积； (3)设（），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 多面体与旋转体 考点剖析 4 【知识点1】 多面体 4 【知识点2】 旋转体 6 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 9 C组 综合训练 13 D组 拓展延伸 20 【知识点1】 多面体 1、多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。 2、棱柱 （1）定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些围成的多面体叫棱柱。 （2）基本性质：侧面都是平行四边形；两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 （3）侧面积和体积公式：（为垂直于侧棱的直截面的周长，为侧棱长），（为底面面积，为高） 注：（1）{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体} {直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体} （2）棱柱具有的性质： ①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 ④棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱。（×） （直棱柱不能保证底面是钜形，如图） ⑤（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直。 （3）平行六面体： 定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分，而四棱柱的对角线不一定相交于一点。 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则 ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱。（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体。（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直。（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 3、棱锥 （1）定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。 （2）基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 注：棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为） 4、正棱锥 （1）定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。 （2）基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积：，。 注：（1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形。（不是等边三角形） （2）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△，侧棱与底棱不一定相等。 （3）正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等），底面为正多边形，则这个棱锥为正棱锥。 （4）特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。 ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。 ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。 ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。 ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心。 ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心。 ⑦每个四面体都有外接球，球心O是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径。 ⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径。 5、斜二侧画图法特点 （1）建立空间坐标系（右手法则）； （2）把平行于、、轴的线段分别画成平行于这些轴；画线段时将与、轴平行的线段取原长， 与轴平行的线段取原长的一半，并画空间图形的直观图。 6、斜二侧画图法性质 （1）平行直线的斜二侧图仍是平行直线； （2）线段及其线段上定比分点的斜二侧图保持原比例不变。 【知识点2】 旋转体 1、旋转体的概念 （1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴。 （2）圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在直线叫做圆柱的轴； 线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高。 【性质】根据圆柱的形成过程易知： 1 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行； 2 圆柱有两个相互平行的底面. （3）圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点； 直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边叫做圆锥侧面的一条母线； 圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高。 【性质】根据圆锥的形成过程易知： ① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交 于圆锥的顶点； ② 每条母线与轴的夹角都相等. （4）球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。 【补充】 ① 球心到球面上任意点的距离都相等； ② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆. 考点剖析 【知识点1】 多面体 【例1】判断下列命题是否正确？ （1）有两个面互相平行的多面体是棱柱； （ ） （2）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体； （ ） （3）若一个平行六面体的四个侧面都是正方形，则这个平行六面体是正方体； （ ） （4）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； （ ） （5）底面边长相等的直四棱柱是正四棱柱． （ ） 【答案】1．╳ 2．√ 3．╳ 4．√ 5．╳ 【练习】命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱；正确命题的个数为……………………………………………………………（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【例2】设长方体各面上矩形的对角线长分别为、、．在下列条件下，求长方体的对角线长： （1）用、、表示； （2）长方体的全面积为24，所有棱长之和为24； （3）长方体的三个面的面积分别是，，． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【练习1】三棱锥V-ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，各侧面与底面成的二面角都是45°，求三棱锥的高及侧面积？ A B C V 【答案】取中点，连接，， ，， 各侧面与底面成的二面角都是45°，设二面角； 设，各侧面与底面成的二面角都是45°，即是的内心，设半径为，则，， 【练习2】三棱锥中，，，求该棱锥的表面积． 【答案】 A B C P 【解析】取中点，连结。∵，∴。同理，。 故平面。在正三角形中，，同理。 取中点，连结，则。∴， 。 又，连结，，∴。∴。 【知识点2】 旋转体 【例3】如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为 【答案】 【分析】根据题意，作出圆台的图形，根据勾股定理求解圆台的高，即可得答案． 【详解】根据题意，作出圆台的图形，如图所示： 圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3， 则圆台的高． 故答案为：． 2．（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 3．（23-24高二上·上海金山·期中）将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】正方形绕着边所在的直线旋转一周形成圆柱，根据圆柱的体积公式得出结果. 【详解】解：将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周 所得圆柱的底面和高均为1， 则圆柱的体积为. 故答案为：.    4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的体积为 . 【答案】 【分析】根据台体的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4， 所以其体积为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海静安·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为 ． 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图作出圆台的轴截面，设上底面圆心为，下底面圆心为，过点作交于点， 依题意，，，所以， 则，所以圆台的母线长为. 故答案为： 6．（23-24高二上·上海静安·期中）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为 ． 【答案】 【分析】旋转体为圆柱，高为，底面半径为，利用圆柱体积公式求出答案. 【详解】如图所示，旋转体为圆柱，高为，底面半径为， 故体积为.    故答案为： B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】由圆锥的侧面积公式代值求出母线长，求得圆锥的高，代入体积公式计算即得. 【详解】设圆锥的母线为，高为 由解得：，则， 故该圆锥的体积为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海·期末）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？ .    【答案】中雨 【分析】先利用圆锥的体积公式求得水的体积，再利用圆柱的体积公式求得高即可. 【详解】解：由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 积水厚度， 这天降雨属于中雨. 故答案为：中雨. 9．（2023高二上·上海·专题练习）给出以下四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是 ． 【答案】②④ 【分析】结合圆柱、圆锥、圆台的性质逐一判断即可得. 【详解】①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行； ②正确，符合圆锥母线的定义； ③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点， 而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条； ④正确，符合圆柱母线的性质. 故答案为：②④. 10．（23-24高二上·上海青浦·期末）底面半径为3，高为4的圆柱和圆锥的表面积的比值为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别计算圆柱和圆锥的表面积，然后计算比值即可. 【详解】结合题意可得：圆柱的表面积是由上下底面和侧面构成， 则圆柱的表面积. 圆锥的表面积是由底面和侧面构成，易知圆锥的母线， 所以圆锥的表面积， 所以该圆柱和圆锥的表面积的比值为. 故答案为：.    11．（23-24高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【详解】由圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，得该圆台的体积. 故答案为： 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【答案】 【分析】 先分析出旋转体为圆锥，然后根据表面积等于侧面积加上底面积求解出结果. 【详解】因为，所以， 所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥， 所以表面积为， 故答案为：. 13．（23-24高二上·上海崇明·期中）三棱台的各个面所在的平面，将空间划分为 个区域． 【答案】22 【分析】利用三棱台的结构特征，分类求出划分的区域数即得. 【详解】三棱台的3个侧面所在平面两两相交，且所得3条交线共点，这3个平面将空间分成8个区域， 一个底面将其所在的7个区域分成两半，另一个底面将其所在的7个区域分成两半， 所以三棱台的各个面所在的平面，将空间划分的区域个数为. 故答案为：22 14．（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 【答案】 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用条件列出方程求解即可. 【详解】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 15．（2023高二上·上海·专题练习）如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积. 【答案】 【分析】利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】设上、下底面半径分别为，，过作底面交于， 由题意可知，， 所以， 所以，， 所以， 解得，， 所以. 16．（23-24高二上·上海·期中）（1）设圆台的母线长l，上、下底面的半径分别为,试用和l表示圆台的侧面积. （2）证明：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式，即得答案； （2）根据空间直线的位置关系，说明两个平行平面同时与第三个平面相交，两交线不会相交，再说明这两条线在第三个平面内，即可证明结论. 【详解】（1）设圆台的母线长l，上、下底面的半径分别为， 则圆台的侧面积为； （2）证明：如图，平面，， 则，故不相交， 又，故， 即如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 18．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. (1)求圆柱的表面积与体积; (2)求直线与所成的角. 【答案】(1)表面积，体积； (2). 【分析】（1）直接根据圆柱的表面积与体积公式计算可得； （2）首先求出，再根据圆柱的性质可得与所成角即为与所成角，连接，利用勾股定理求出，再利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为是圆的直径，则， 圆柱的表面积， 圆柱的体积； （2）因为，所以与所成角即为与所成角， 连结，因为是圆的直径，所以， 因为， 所以，又因为， 所以， 则 即直线与所成的角为. 19．（2023高二上·上海·专题练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 【答案】 【分析】根据图形特征旋转后根据圆锥侧面积及圆柱表面积公式计算可得. 【详解】如图所示，直角梯形中，， 作，垂足为，则， 故， 在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面， 形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面， 设其面积分别为， 则， 所以次旋转体的表面积为. 20．（23-24高二上·上海·期末）将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形． (1)求二面角的大小． (2)如图3，点分别为棱上的动点．求周长的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）正六边形中连接交于，进而得到为二面角的平面角，根据已知及余弦定理求其大小即可. （2）将面、面、面展开得到平面展开图，讨论是否平行，结合图形对所有可能的移动路径进行分析知分别与重合时三角形周长最大； 【详解】（1）正六边形中连接交于，则， 所以沿对折后，有，故为二面角的平面角， 又底面是正方形，正六边形边长为2，则， 所以，故锐二面角大小为. （2）将面、面、面展开，得到如下展开图， 若，则分别与重合，此时周长； 若不平行，如图示， 路径，过作，连接并延长交于点， 得到路径，路径，路径， 设路径的长度为且，结合图形、三角形三边关系判断知， 所以分别与重合，周长最大为， 综上所述：周长的最大值为. 21．（23-24高二上·上海普陀·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息､避雨､乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的表面积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，判断该亭子是否满足建筑要求. 【答案】(1) (2)不满足建筑要求． 【分析】（1）圆锥的全面积加上圆柱的侧面积即得； （2）取中点，连接，得，从而得是异面直线与所成的角或其补角，作交于，计算出，然后由余弦定理求解． 【详解】（1）由已知圆锥的母线长为， 所以所求表面积为； （2）取中点，连接，因为是中点，所以， 是圆柱的一条母线，则， 所以是异面直线与所成的角或其补角， 作交于，则是中点，且平面， 平面，所以， 由已知，则， ，，，， ∴， ∴， ， ，，且为锐角， ∴．该亭子不满足建筑要求． 22．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足.    (1)求证：AFDB； (2)求将绕AD旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比； (3)如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合圆的性质，利用线面垂直的判定定理及性质定理，可得答案； （2）根据圆锥的表面积公式和圆柱表面积公式计算，可得答案； （3）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案. 【详解】（1）根据圆柱性质，平面，因为平面，所以， 因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以， 又平面，故平面， 因为平面DAE，所以， 又，且平面， 故平面，因为平面，所以. （2）将绕AD旋转一周所得几何体为圆锥，其母线为DB，半径AB， 设，则， 故该圆锥的表面积为， 又圆柱表面积为， 所以圆锥表面积和圆柱表面积之比为. （3）因为平面平面，所以过作， 由平面平面平面ABE，则平面， 即为与平面所成角， 设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，所以，    所以圆柱的体积，的面积为， 三棱锥的体积为， 因为圆柱与三棱锥的体积比等于，所以， 解得，所以点为圆柱底面圆的圆心， 则， 即直线与平面所成角的正切值，所以所求的角为. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 23．（23-24高二上·福建福州·期中）已知正方体棱长为2，动点P在的内切圆圆周上运动，M为棱的中点，现将直线BM绕棱旋转，则在旋转过程中，动点P到动直线BM距离的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题设画出示意图，并将问题化为求中点到面与圆锥交线距离最小值，即可求最小值. 【详解】如下图，将直线BM绕棱旋转，几何体为锥体，截正方体部分锥体如下， 由，面，面，则， 又，面，则面， 面，故面面， 所以，圆锥侧面上，面与圆锥交线上存在到面距离最短的点， 又，且交线上侧的点到面距离比下侧到面面距离要远， 要使在旋转过程中，动点P到动直线BM距离最小， 只需内切圆最下侧的点，即中点到距离最小，即为所求， 而，，故， 所以中点到距离. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：应用正方体、旋转体性质将问题化为点到直线距离为关键. 24．（22-23高一下·黑龙江·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm.       (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【详解】（1）正方体的体积为， 石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为， 故一个小正三棱锥的体积为， 故石凳的体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳的表面积为， 则粉刷一个石凳需要元. 25．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形． (1)求证：BC∥平面EFGH (2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积； (3)设（），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的性质和判定定理可证明；（2）找到在平面BCD上的投影轨迹，即可求出面积；（3），用分别表示四棱锥、四面体与四面体的体积比，求解可得结果. 【详解】（1）证明:四边形EFGH为平行四边形，. 而面面BCD，面BCD. 而面ABC，面面，. 而面面EFGH 面EFGH. （2） 在平面BCD上的投影满足，即在平面BCD上的投影在线段BC的中垂线上. 如图所示，将补成边长为2的正三角形， 当二面角为角时，即点在平面BCD上，此时为， 当二面角为角时，此时为BC中点， 故DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域为， 而， 故线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积为. （3），且为等腰三角形，. 取BC中点，由题意得:,， 满足，根据勾股定理可知 平面 而多面体ADEFGH的体积恰好为，即多面体ADEFGH的体积恰为四面体ABCD体积的一半. 连接AH、AG，设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 设点到平面的距离为， . ，整理得 ， 解得舍去). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$