专题06 异面直线间的距离- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题06 异面直线间的距离 考点剖析 2 过关检测 3 A组 双基过关 3 B组 巩固提高 6 C组 综合训练 11 D组 拓展延伸 18 【知识点1】 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？ 介绍异面直线的作图，如下图： 【知识点2】 定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交. 异面直线距离：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离。 【知识点3】 异面直线距离求法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求． 考点剖析 【例1】已知：直线是异面直线.求证：存在唯一的直线与都垂直且相交. 【例2】在棱长为1的正方体中， （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线和的距离； （3）求异面直线和的距离 【例3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，. （I）求异面直线与所成角的余弦值； （II）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．已知命题：“若a、b为异面直线，平面过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异面直线a、b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a、b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a、b均异面且距离也均为d的直线c有（　　） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数多条 2．有如下命题，其中正确的命题个数是（    ） （1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线； （2）任意两条异面直线有且只有一条公垂线； （3）两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； （4）两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知线段AB⊥平面，点B为垂足，，CD⊥BC，且CD与平面成30°角，AB＝BC＝CD＝2，则异面直线AB与CD间的距离为 ． 4．棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为 ． 5．已知是正方体，分别写出与与，与的公垂线段. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线A1D与直线CC1的距离为 ． 7．在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 8．已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 9．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 10．如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 11．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为 ． 12．两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在底面边长为、侧棱长为的正四棱柱中，直线与之间的距离为 ． 13．如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 14．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 15．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ． 16．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 . 17．在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 18．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 19．如图，在空间四边形中，，，，延长到，使，取中点，求异面直线与的距离和它们所成的角． 20．如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】21．已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D． 22．已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 23．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ） A．直线与平面所成的角等于 B．点C到平面的距离为 C．异面直线和所成的角为 D．线段长度的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 异面直线间的距离 考点剖析 2 过关检测 3 A组 双基过关 3 B组 巩固提高 6 C组 综合训练 11 D组 拓展延伸 18 【知识点1】 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？ 介绍异面直线的作图，如下图： 【知识点2】 定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交. 异面直线距离：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离。 【知识点3】 异面直线距离求法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求． 考点剖析 【例1】已知：直线是异面直线.求证：存在唯一的直线与都垂直且相交. 【解析】先证明存在性.如图10-5-2，在直线a上任取一点P，过P作直线b1，使得b1//b；设a及b1所确定的平面为，则b//过直线b作平面垂直于平面，并相交于直线b2；由b//a，有b//b2；又因b//b1，故b1//b2；设a与b2的交点为A，在平面上过A作直线AB垂直于b2；因为平面垂直于平面，所以直线AB垂直于平面，从而直线AB⊥；这样，直线AB与异面直线a、b都垂直且相交. 再证明唯一性：如图10-5-3，假设除了AB，还有一条公垂线MN，使得MN⊥a，MB⊥b，垂足分别为M、N；因为b//b2，所以MN⊥b2，而a与b2是平面a上的两条相交直线，所以MN⊥a•又AB⊥a，所以MN//AB，从而A、B、M、N共面，而这与AM、BN是异面直线矛盾. 【例2】在棱长为1的正方体中， （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线和的距离； （3）求异面直线和的距离 【解析】（1）连结，∵，∴， 又∵，∴，过作于，为斜边上的高，所以点到直线的距离为。 （2）过作于，仿（2）可以证明，所以为异面直线和的公垂线段，异面直线和的距离为。 （3） 【例3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，. （I）求异面直线与所成角的余弦值； （II）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）.（2）见解析；（3）. 【解析】（1）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得， 故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为. （2）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC， 又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC. （3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC， 在Rt△DCF中，可得，在Rt△DPF中，可得. 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．已知命题：“若a、b为异面直线，平面过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异面直线a、b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a、b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a、b均异面且距离也均为d的直线c有（　　） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数多条 【答案】D 【分析】作平行于直线a且与直线a距离为d的平面以及平行于直线b且与直线b距离为d的平面，易知平面与平面的交线即满足条件，即可求解. 【详解】易知平行于直线a且与直线a距离为d的平面有无数多个， 平行于直线b且与直线b距离为d的平面有无数多个，当平面不平行于平面时， 设平面与平面相交于直线，直线满足与a、b均异面且距离也均为d，故有无数条. 故选：D. 2．有如下命题，其中正确的命题个数是（    ） （1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线； （2）任意两条异面直线有且只有一条公垂线； （3）两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； （4）两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据异面直线的公垂线的定义、异面直线公垂线段的定义进行判断． 【详解】（1）（4）就是相关定义，正确； 异面直线的公垂线是与异面直线均垂直相交的直线，只有一条，（2）正确； 两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度可知（3）正确． 故选：D． 3．已知线段AB⊥平面，点B为垂足，，CD⊥BC，且CD与平面成30°角，AB＝BC＝CD＝2，则异面直线AB与CD间的距离为 ． 【答案】2 【分析】由题可知是异面直线与的公垂线段，即得出答案. 【详解】∵平面，，∴， 又，故是异面直线与的公垂线段， 由题，所以与间的距离为2． 故答案为：2 4．棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，证得且，得到为异面直线与的公垂线，即可求解. 【详解】如图所示，在正方体中， 可得平面，平面， 因为平面，平面， 所以且， 所以为异面直线与的公垂线， 又由正方体的棱长为，可得， 所以异面直线与的距离为. 故答案为：. 5．已知是正方体，分别写出与与，与的公垂线段. 【答案】,,. 【分析】利用正方体的性质及公垂线的概念即得. 【详解】设分别为正方体上下底面的中心， 与的公垂线段为，与的公垂线段为，与的公垂线段为. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线A1D与直线CC1的距离为 ． 【答案】4 【分析】根据长方体的性质得到CD⊥C1C，CD⊥A1D，即直线A1D与直线CC1的距离为CD，即可求直线A1D与直线CC1的距离的距离. 【详解】 解：因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以CD⊥C1C，CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥A1D， 所以直线A1D与直线CC1的距离为CD＝AB＝4. 故答案为：4． 7．在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，证得EF为异面直线AB和CD的公垂线求解. 【详解】如图所示： 分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF， 因为， 所以， 又因为E为中点， 所以，同理， 所以EF为异面直线AB和CD的公垂线， 所以， 故答案为： 8．已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算． 【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，， 故答案为：．    9．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 10．如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】由条件计算各边长度，将棱锥补成长方体，在长方体找到的公垂线段，求出长度即可. 【详解】因为平面，所以， 所以，所以， 因为 因此我们将四棱锥构建成长方体. 接下来我们寻找异面直线的公垂线 在平面上的投影为，， 易证平面，故得，， 连接，与相交于，则为的中点， 作的中点，连接，则，，， 所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离. 且， 故答案为：. 11．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为 ． 【答案】1 【分析】根据异面直线距离的定义，找到异面直线和的距离为，即可求解. 【详解】 如图，，为中点，所以， ，为中点，则，又，因此，有， 所以是异面直线和的距离，故它们的距离等于1， 故答案为:1. 12．两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在底面边长为、侧棱长为的正四棱柱中，直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取中点，由等腰三角形三线合一性质可得，由异面直线间距离的定义可知所求距离为，结合勾股定理可求得结果. 【详解】分别取中点，连接， ，， 由两条异面直线之间距离的定义可知：直线与之间的距离即为的长， 又，. 故答案为：. 13．如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）通过，得出； （2）通过，可得； （3）取的中点，的中点，连接，通过，可得. 【详解】（1）因为正方体中，，，所以和的公垂线为，且； （2）因为平面，平面，所以，又， 所以和的公垂线为，且； （3）取的中点，的中点，连接， 易得，因为平面且平面， 所以平面且平面， 所以，， 则为和的公垂线，且． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 14．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解. 【详解】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 15．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ． 【答案】 【分析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，推导出，，并计算出的长，即可得解. 【详解】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接， 则、分别为、的中点， 由已知可得，可得， 因为且，故四边形为平行四边形，则且， 又因为、分别为、的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，故且， 平面，平面，，即， 同理可得，故异面直线与的距离为. 故答案为：. 16．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 . 【答案】 【分析】法一：过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h，由求解；法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l，过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1­l­D的平面角，设为θ，由求解. 【详解】法一：根据题意作图，如图①所示， 过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2. 因为长方体对面平行， 所以截面BFD1E为平行四边形，则， 当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小. 易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离. 易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，. 故四边形BFD1E面积的最小值为. 法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l. 如图②， 过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1­l­D的平面角，设为θ. 根据射影面积公式,得, 则当cos θ最大时，最小.当cos θ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝，所以cos θ最大值为，因为，所以四边形BFD1E面积的最小值为. 故答案为： 17．在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出高即可 【详解】 如图，正方体中，平面又平面，又中平面 平面上所有直线；过作于 ， ，为所求 在中， 故答案为： 18．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 【答案】/ 【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可. 【详解】作的中点，连接，，， 因为，，，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，，， 所以，且， 所以平行四边形为边长为2的菱形，且， 所以和都是正三角形， 所以，， 又因为，、平面， 所以平面， 过作于点， 因为平面，所以， 则为异面直线与的公垂线段， 因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以，即异面直线与的距离为， 故答案为：. 19．如图，在空间四边形中，，，，延长到，使，取中点，求异面直线与的距离和它们所成的角． 【答案】异面直线与间的距离为，它们所成角为 【分析】连接，证明出，，可知异面直线与间的距离为的长，计算出三边边长，利用余弦定理可求得异面直线与所成的角. 【详解】解：，为等边三角形． 为的中点，，即． ，则，， 所以，，则， 的长即为异面直线与的距离． 又，所以，异面直线与间的距离为． 如图，连接，、分别是、的中点，且， 或其补角即为异面直线与所成的角． 在等边三角形中，， 在直角三角形中，． 在中，由余弦定理得， ，所以，，即异面直线与所成的角为． 20．如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离. 【答案】 【分析】由线面垂直的性质及异面直线的公垂线的定义可得是异面直线与的公垂线．再由棱锥的体积公式和等面积法可求得答案. 【详解】解：因，且，故面， 从而，又，故是异面直线与的公垂线． 设的长度为，则四棱锥的体积为 ． 而直三棱柱的体积为． 由已知，故，解之得． 从而． 在直角三角形中，， 又因， 故． 所以异面直线DE与的距离为. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 21．已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 分类讨论截面的位置，利用异面直线的距离计算截面面积即可. 【详解】假设截面为，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小， 当F在BC上（不含两端点）时，如图所示建立空间直角坐标系，则为异面直线和的公垂线时，EF最小，易知异面直线和的距离即到平面的距离，    ，设面的法向量为， 则，则，令，则，即， 所以BC到面的距离为； 当F在上（不含两端点）时，如图所示，    此时为和的公垂线时，最小．同上可得和的公垂线长为； 当F在上（不含两端点）时，如图所示，      此时EF为和的公垂线，最小．同上可得和的公垂线长为； 故，此时， 易得特殊截面，，， 比较所得. 故选：C. 22．已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点到平面的距离即可. 【详解】 如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交面于点， 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即， 因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，的距离， 由题意知，，所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离， 设点到平面的距离为，则，， 在直角三角形中，，，所以，，，， 直角梯形中，，，， 因为，，所以，，，， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离. 23．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ） A．直线与平面所成的角等于 B．点C到平面的距离为 C．异面直线和所成的角为 D．线段长度的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】正方体中面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，A正确； C到平面的距离为，B正确； 因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而△为等边三角形，故，C错误； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 面，则，又，面， 所以面，易知：即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，D正确. 故选：ABD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$