专题09 函数的概念6种常见考法归类（112题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题09 函数的概念6种常见考法归类（112题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数值 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 （二）求抽象函数、复合函数的定义域 （三）逆用函数的定义域 （四）实际问题中的定义域 考点四 区间的应用 考点五 同一个函数的判断 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 （二）根式型值域 （三）分式型值域 （四）根据值域求参数 （五）根据值域求定义域 知识点1：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点2：函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点3：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了． 知识点4：区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 知识点5：常见函数的值域 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 解题策略 1、理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 2、函数的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 3、函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4、求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 5、用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 6、判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 7.求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 考点一 函数关系的判断 1.（2024·全国·高一课堂例题）下列变量间为函数关系的是（ ） A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系 D．生活质量与人的身体状况间的关系 2．（2024·全国·高一课堂例题）在图中的三个图形中，是函数图象的是（    ）    A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2） D．（3） 3．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 4.（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（2024秋·江西景德镇·高一统考期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6.（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知集合，，下列对应关系中，从到的函数为（    ） A．f： B．f： C．f： D．f： 7．（2024秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 8．【多选】（2024·全国·高一课堂例题）下列对应关系是集合到集合的函数的为（    ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，对应关系如图所示：    9.【多选】（2023秋·江苏扬州·高一校考期末）下列对应中是函数的是（    ）． A．，其中，， B．，其中，， C．，其中y为不大于x的最大整数，， D．，其中，， 10．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（　　） A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方 B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系： x 0 1 2 y 1 2 1 C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系：     D．A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0 考点二 求函数值 11．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）已知函数，那么（    ） A．32 B． C． D． 12.（2023·全国·高三专题练习）若函数，则_________． 13．（2024秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）若，那么等于 . 14.（2023·高一课时练习）若，则＝______． 15．（2024·高一课时练习）已知函数，则的值等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16.（2023·高一课时练习）设函数，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024秋·甘肃临夏·高一校考期中）已知定义域为的函数和.求和的值. 18．（2023春·辽宁阜新·高一校考期中）已知函数. (1)求，的值； (2)求的值. 19．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 20．（2024·全国·高一专题练习）已知，且，则（    ） A． B．10 C．9 D．11 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 21．【多选】（2024秋·高一单元测试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C．+ D． 22．（2023春·陕西商洛·高二校考期中）函数的定义域为 . 23.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 24.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为________. 25．（2024秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）求函数的定义域. 26.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 27．（2024秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）函数的定义域为 . 28．（2023春·陕西西安·高一西安市田家炳中学校联考期末）已知函数，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 29．（2024秋·高一校考课时练习）求下列函数的定义域 (1) (2); (3) 30．（2024·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； (5)． 31．（2024·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为常数，底边长为，腰长为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 32．（2024秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． （二）求抽象函数、复合函数的定义域 33.（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 34．（2024·全国·高三专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 35．（2024秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 36.（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 37．（2024秋·高一课时练习）已知的定义域为，求的定义域. 38．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为 . 39．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为 . 40.（2023·江西九江·校考模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 41．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 42．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 43.（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 44．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 45．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为 （三）逆用函数的定义域 46．（2024·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ． 47．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数，的值城为，则 . 48．（2024秋·高一校考课时练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．（2024秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围 . 50．（2024·全国·高一课堂例题）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 51．（2024秋·高一校考课时练习）已知函数. (1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值； (2)若的定义域为R，求实数a的取值范围． 52．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． （4） 实际问题中的定义域 53.（2024·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 54.（2024·高一课时练习）周长为定值的矩形，它的面积是这个矩形的一边长的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 55.（2024秋·山东烟台·高一校考阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则的取值范围为______. 考点四 区间的应用 56．（2024·全国·高一假期作业）用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 57．（2024·全国·高一课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 58．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列集合不能用区间形式表示的是（　　） A． B． C．或 D． 59．（2024秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）设集合，，则 60.（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知全集,集合,则（   ） A． B． C． D． 61.（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 62.（2023·全国·高三专题练习）全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 63．（2024·全国·高一专题练习）已知区间，，则（    ） A． B． C． D． 64．（2024·全国·高一专题练习）已知区间，则的取值范围为 ． 考点五 同一个函数的判断 65.（2023·全国·高一专题练习）下列各函数中，与函数表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 66．（2024秋·河南南阳·高一校考阶段练习）下列与函数是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 67.（2023·全国·高一专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（        ） A．和 B．和 C．和 D．和 68．（2024·高一课时练习）判断下列各组函数是否为相等函数： (1)，； (2)，； (3)，． 69．【多选】（2024秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）下列各组函数表示的是不同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 70．【多选】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 71．【多选】（2024秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 72．（2024秋·福建福州·高一校联考期中）下列函数表示同一个函数的是（     ）. A．与 B．与   C．与 D．与 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 73．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 74．（2024·江苏·高一假期作业）求二次函数在区间上的值域． 75．（2024秋·山东菏泽·高一校联考期中）已知，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 76．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 . 77．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 78．（2024·江苏·高一假期作业）试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 79．（2024秋·高一校考课时练习）求下列函数的值域: (1)， (2)， (3)， (4) 80．（2024·全国·高三对口高考）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 81.（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． （二）根式型值域 82．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 . 83．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数的值域为 84．（2024·全国·高一课堂例题）的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 85．（2024秋·山东菏泽·高一校联考期中）函数的最大值为 ． 86.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 87．（2024秋·山西·高一校联考阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 88.（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域为_________. 89．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 90．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 . （三）分式型值域 91．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）函数的值域为 .（结果用区间表示） 92.（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 93．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 94．（2024·全国·高一专题练习）函数的值域为 ． 95．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是 . 96．（2024秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数的值域是 ． 97．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为 ． 98.（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______________． 99．（2024·北京·高三强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 100.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是___________. 101．（2024·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． （四）根据值域求参数 102．（2024秋·青海西宁·高三校考期中）若函数的值域为，则函数的值域为 ． 103．（2024秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则 ． 104．【多选】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 105．（2024秋·高一课时练习）已知函数，且该函数的值域为，则的值为 . 106．（2024秋·河南南阳·高一统考阶段练习）已知函数的定义域为,则的取值范围为 ,若函数,则的值域为 . 107．（2024·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则常数 ． （五）根据值域求定义域 108．（2024秋·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 109．（2024秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 110．【多选】（2024秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 111.【多选】（2022秋·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（　　） A． B． C． D． 112.（2023·全国·高三对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题09 函数的概念6种常见考法归类（112题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数值 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 （二）求抽象函数、复合函数的定义域 （三）逆用函数的定义域 （四）实际问题中的定义域 考点四 区间的应用 考点五 同一个函数的判断 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 （二）根式型值域 （三）分式型值域 （四）根据值域求参数 （五）根据值域求定义域 知识点1：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点2：函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点3：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了． 知识点4：区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 知识点5：常见函数的值域 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 解题策略 1、理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 2、函数的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 3、函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4、求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 5、用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 6、判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 7.求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 考点一 函数关系的判断 1.（2024·全国·高一课堂例题）下列变量间为函数关系的是（ ） A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系 D．生活质量与人的身体状况间的关系 【答案】C 【解析】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足； 对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足； 对选项C：耗电量与时间t的关系是，是确定的函数关系； 对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.故选：C 2．（2024·全国·高一课堂例题）在图中的三个图形中，是函数图象的是（    ）    A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2） D．（3） 【答案】B 【分析】根据函数定义结合图象的特点即可判断. 【详解】根据函数的定义，一个对应唯一的，这样的图象才是函数图象， 所以（2）（3）是函数图象. 故选：B 3．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解.. 【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应， 因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象. 故选：ABD. 4.（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D. 故选：B. 5．【多选】（2024秋·江西景德镇·高一统考期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过分析不同函数中对应的集合中元素的值，即可得出结论. 【详解】由题意， ， A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误； B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确； C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误； D项，在中，当时，对应的函数值分别为， D正确； 故选：BD. 6.（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知集合，，下列对应关系中，从到的函数为（    ） A．f： B．f： C．f： D．f： 【答案】D 【详解】解：对A：当时，对应的为0,1,2，所以选项A不能构成函数； 对B：当时，对应的为0,1,4，所以选项B不能构成函数； 对C：当时，对应的为0,2,4，所以选项C不能构成函数； 对D：当时，对应的为,1,3，所以选项D能构成函数； 故选：D. 7．（2024秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出每个选项中对应法则中的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，，且，A中的对应法则可以作为从到的函数； 对于B选项，当时，，且，B中的对应法则可以作为从到的函数； 对于C选项，当时，，且，C中的对应法则不能作为从到的函数； 对于D选项，当时，，则，且， D中的对应法则可以作为从到的函数. 故选：C. 8．【多选】（2024·全国·高一课堂例题）下列对应关系是集合到集合的函数的为（    ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，对应关系如图所示：   【答案】BC 【分析】根据函数定义分别判断各个选项. 【详解】 A不是，集合中的元素0在集合中没有对应的元素． B是，对于集合中的任意一个整数，按照对应关系：，在集合中都有唯一一个确定的整数与之对应． C是，对于集合中任意一个实数，按照对应关系：，在集合中都有唯一一个确定的数0和它对应． D不是，集合中的元素3在集合中没有对应的元素，且中的元素2在集合中有5和6两个元素与之对应． 故选： BC. 9.【多选】（2023秋·江苏扬州·高一校考期末）下列对应中是函数的是（    ）． A．，其中，， B．，其中，， C．，其中y为不大于x的最大整数，， D．，其中，， 【答案】AC 【详解】对于A，对集合中的每个元素x，按照，在中都有唯一元素y与之对应，A是； 对于B，在区间内存在元素x，按照，在R中有两个y值与这对应，如，与之对应的，B不是； 对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是； 对于D，当时，按照，在中不存在元素与之对应，D不是. 故选：AC 10．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（　　） A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方 B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系： x 0 1 2 y 1 2 1 C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系：     D．A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0 【答案】AC 【分析】利用函数的概念逐项进行判断即得. 【详解】对于A，集合A中的元素1开平方与集合B中的－1和1对应，不满足唯一性， 对于C，同样不满足唯一性，故A和C错误； 对于B和 D，都满足函数概念，故正确. 故选：AC 考点二 求函数值 11．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）已知函数，那么（    ） A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数，采用赋值法求解的值即可. 【详解】因为，所以当时， 则. 故选：B. 12.（2023·全国·高三专题练习）若函数，则_________． 【答案】4 【详解】因为, 所以, 故答案为：4. 13．（2024秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）若，那么等于 . 【答案】8 【分析】令得，代入即可求解. 【详解】令，则，所以， 故答案为： 14.（2023·高一课时练习）若，则＝______． 【答案】3 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故答案为：3 15．（2024·高一课时练习）已知函数，则的值等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据函数的概念求函数值. 【详解】因为函数，所以， 所以， 故选:D. 16.（2023·高一课时练习）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，. 故选：B. 17．（2024秋·甘肃临夏·高一校考期中）已知定义域为的函数和.求和的值. 【答案】， 【分析】根据函数解析式分别计算可得. 【详解】因为定义域为的函数和， 所以，， 所以，. 18．（2023春·辽宁阜新·高一校考期中）已知函数. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的定义，直接运算可得答案； （2）由，，代入运算得解. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. （2）依题意，知. 19．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可； 【详解】令，解得或由此解得， 故选：D 20．（2024·全国·高一专题练习）已知，且，则（    ） A． B．10 C．9 D．11 【答案】A 【分析】先由求出，从而可得函数解析式，进而可求出 【详解】因为，且， 所以，得， 所以， 所以， 故选：A 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 21．【多选】（2024秋·高一单元测试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C．+ D． 【答案】AC 【分析】要使函数有意义，要牢记分母不为零，底数不为零，偶次方根被开方数大于等于零. 【详解】A选项，依题可知，且，所以，故A正确； B选项，依题可知，所以，故B错误； C选项，依题可知，且，所以，故C正确； D选项，依题可知2，所以，故D错误， 故选：AC. 22．（2023春·陕西商洛·高二校考期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分式和二次根式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 所以该函数的定义域为， 故答案为： 23.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故定义域为. 故选：B 24.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为________. 【答案】 【详解】令，可得，解得. 故函数的定义域为. 故答案为:. 25．（2024秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）求函数的定义域. 【答案】或且 【分析】根据偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】由题意得，解得或且， 故函数定义域为或且. 26.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义， 则有，解得且， 所以其定义域为．故选：C. 27．（2024秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】由题可得，解得且； 的定义域为：． 故答案为：. 28．（2023春·陕西西安·高一西安市田家炳中学校联考期末）已知函数，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列不等式求的范围，可得函数的定义域. 【详解】由有意义可得， 化简可得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 29．（2024秋·高一校考课时练习）求下列函数的定义域 (1) (2); (3) 【答案】(1)且 (2) (3)或 【分析】根据所给（1）、（2）、（3）的函数要有意义建立不等式组解出即可 【详解】（1）依题意，得, 故函数的定义域为:且. （2）依题意，得， 故函数的定义域为： （3）依题意，得解得 即或， 故函数的定义域为：或. 30．（2024·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4)且， (5) 【分析】（1）由被开方数非负，列不等式组求解即可， （2）由分母不为零可求得结果， （3）由被开方数非负，且分母不为零可求得结果， （4）由底数不为零，且分母不为零可求得结果， （5）由被开方数非负，可求得答案. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得，从而函数的定义域为． （2）因为当，即时，有意义， 所以函数的定义域是，或． （3）要使函数有意义，则且，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则且，即且， 所以函数的定义域是且， （5）要使函数有意义，则，解得， 则函数的定义域是． 31．（2024·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为常数，底边长为，腰长为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形周长列方程，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围，也即求得的定义域. 【详解】依题意，由于三角形两边的和大于第三边，故，即，解得. 故选D. 【点睛】本小题主要考查三角形的性质，考查不等式的解法，属于基础题. 32．（2024秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得，从而得到结果. 【详解】将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为， ∴，解得 ∴函数的定义域为 故选D 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. （二）求抽象函数、复合函数的定义域 33.（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【答案】 【解析】∵函数的定义域为 ∴，解之得： 故函数的定义域为： 34．（2024·全国·高三专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中. 【详解】（1）令，则， 因为函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为． （2）令，，则，． 因为函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为， 所以，所以， 所以函数的定义域为． 故答案为：； 35．（2024秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以； 即函数的定义域为； 由解得， 因此的定义域为. 故答案为： 36.（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【详解】因为，即，所以，所以，所以. 故答案为：. 37．（2024秋·高一课时练习）已知的定义域为，求的定义域. 【答案】 【分析】根据的定义域求出的定义域，再求出的定义域即可. 【详解】的定义域为 ， 即的定义域为； ，即 所以的定义域 38．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】解法1、先求得函数的定义域为，令，进而求得函数的定义域； 解法2、根据题意求得，进而求得其定义域. 【详解】解法1：由函数，则满足，可得， 即函数的定义域为， 对于函数，令，即，解得， 即函数的定义域为. 解法2：由，， 可得， 令，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 39．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】利用抽象函数的定义域可得出关于的不等式组，即可求得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，则有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 40.（2023·江西九江·校考模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 【答案】. 【详解】由函数的定义域为，则要使函数有意义， 则， 解得, ∴函数的定义域为. 41．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】整体在范围内，同时注意保证，最后求出交集即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以 解得． 则函数的定义域为， 故答案为：. 42．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 43.（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为函数的定义域为， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域为. 故选：C 44．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零指数幂底数不为零以及抽象函数的定义域的求解方法得到结果. 【详解】已知函数的定义域为，又函数， 则且 解得且. 所以函数的定义域为. 故选：A. 45．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为 【答案】 【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解. 【详解】由已知，的定义域为，所以对于 需满足,解得 故答案为：. （三）逆用函数的定义域 46．（2024·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，可知，解不等式即可. 【详解】由，可知， 解得， 故答案为：. 47．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数，的值城为，则 . 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性结合函数的值域求得结果. 【详解】已知函数，的值城为， 则是一次函数且在区间上单调递减，， 所以当时，， 解得. 故答案为：. 48．（2024秋·高一校考课时练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果. 【详解】当时，的定义域为，不符合题意； 当时，依题意得在R上恒成立，则， 解得. 故选：D 49．（2024秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围 . 【答案】 【分析】利用函数定域为，将问题转化成关于不等式的恒成立问题，从而求出实数的取值范围，得出结果. 【详解】因为函数的定义域为，所恒成立， 当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，. 故答案为：. 50．（2024·全国·高一课堂例题）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，在根据题意分析即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴在上恒成立， ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，要使在上恒成立， 则解得． 综上若函数的定义域为，则实数的取值范围是． 故答案为：. 51．（2024秋·高一校考课时练习）已知函数. (1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值； (2)若的定义域为R，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）命题等价于不等式的解集为，然后可得且、是方程的两根，然后利用韦达定理建立方程求解即可. （2）分、两种情况讨论，结合二次函数的知识即可求解； 【详解】（1）命题等价于不等式的解集为， 显然，如图.    且、是方程的两根， ， 解得：. （2）①若，即， 当时，，定义域为R，满足题意； 当时，，定义域不为R，不满足题意； ②若，为二次函数， 定义域为R，对恒成立， ； 综合①、②得a的取值范围. 52．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上恒成立，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意函数在上有意义， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，解得， 故实数a的取值范围为， 故答案为： （4） 实际问题中的定义域 53.（2024·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设有， 由得，故选A. 54.（2024·高一课时练习）周长为定值的矩形，它的面积是这个矩形的一边长的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为， 由得，故这个函数的定义域是. 故选：D 55.（2024秋·山东烟台·高一校考阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 考点四 区间的应用 56．（2024·全国·高一假期作业）用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 57．（2024·全国·高一课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果. 【详解】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 58．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列集合不能用区间形式表示的是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】ABD 【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出答案. 【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集 A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示， B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的， 故只有C可以，区间形式为， 故选：ABD. 59．（2024秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）设集合，，则 【答案】 【分析】利用数轴分析可得. 【详解】因为，， 所以，由数轴可知， 故答案为： 60.（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知全集,集合,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解:由题知, , 故或. 故选:B 61.（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合交集运算可得. 故选：C. 62.（2023·全国·高三专题练习）全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由A中不等式变形得：，即， 由中不等式解得：，即， ， 又全集，则, 故选：. 63．（2024·全国·高一专题练习）已知区间，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用区间交集的定义求解即可. 【详解】因为，，由交集的定义，所以， 故选：C. 64．（2024·全国·高一专题练习）已知区间，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据区间的概念，得到不等式，即可求解． 【详解】由题意，区间，则满足，解得， 即的取值范围为． 故答案为． 【点睛】本题考查了区间的概念及其应用，其中解答中熟记区间的概念，列出不等式是解答的关键，属于容易题． 考点五 同一个函数的判断 65.（2023·全国·高一专题练习）下列各函数中，与函数表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故的定义域为, 对于A，的定义域为，且解析式与相同，故为同一个函数， 对于B,，故不是同一个函数， 对于C,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数， 对于D,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数， 故选:A 66．（2024秋·河南南阳·高一校考阶段练习）下列与函数是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案. 【详解】函数定义域为R. 对A，函数定义域为，故错误； 对B，函数定义域为，故错误 ； 对C，函数定义域为R，函数为，对应关系不同，故错误； 对D，函数定义域为R，函数可化简为，故正确. 故选：D. 67.（2023·全国·高一专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（        ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数. 故选：C 68．（2024·高一课时练习）判断下列各组函数是否为相等函数： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 【分析】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论． 【详解】（1）的定义域为，的定义域为，所以不是； （2）的定义域为，的定义域为，所以不是； （3）与的定义域、对应关系均相同，所以是相等函数． 69．【多选】（2024秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）下列各组函数表示的是不同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】利用相同函数的定义求解. 【详解】A. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误； B. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确； C. 的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误； D.，由得，所以的定义域为，由，得 或 ， 所以函数的定义域为或 ，所以不是同一函数，故错误； 故选：ACD 70．【多选】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】根据当两函数的定义域和对应关系对应相等时是同一个函数逐个分析判断即可 【详解】对于A，由，得或，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为， 所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A正确， 对于B，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B正确， 对于C，的定义域为，的定义域为，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D正确， 故选：ABD 71．【多选】（2024秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案. 【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同， 值域相同，故与是同一函数，A正确； 对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误； 对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为， 故二者不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域以及对应关系都相同， 故二者是同一函数，D正确， 故选：AD 72．（2024秋·福建福州·高一校联考期中）下列函数表示同一个函数的是（     ）. A．与 B．与   C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相同函数的概念判定即可. 【详解】对于A项，，显然与对应关系不同，但定义域相同均为，故A错误； 对于B项，由题意得，即的定义域为，，即的定义域为和，两函数定义域不同，故B错误； 对于C项，，即两函数对应关系不同，故C错误； 对于D项，，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确. 故选：D 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 73．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可. 【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为. 故答案为：. 74．（2024·江苏·高一假期作业）求二次函数在区间上的值域． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的值域为. 75．（2024秋·山东菏泽·高一校联考期中）已知，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数性质求解， 【详解】由题意得图象的对称轴为， 而，故当时，，当时，， 函数的值域是， 故选：C 76．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令，则， 所以. 故答案为：. 77．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解 【详解】，， 故，故函数值域为. 故选：B 78．（2024·江苏·高一假期作业）试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域是，值域为 (4)定义域是，值域是. 【分析】（1）定义域已知，代入计算得到值域； （2）变换，得到答案； （3）确定定义域，变换，得到值域； （4）设，，计算得到定义域和值域. 【详解】（1）因为的定义域为，则， 同理可得，，，，所以函数的值域为. （2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为. （3）函数的定义域为，因为， 所以函数的值域为. （4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是. 设，则，于是， 又，所以，所以函数的值域为. 79．（2024秋·高一校考课时练习）求下列函数的值域: (1)， (2)， (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）整理得，进而可得结果； （2）利用基本不等式运算求解； （3）整理得，结合二次函数运算求解； （4）换元设，结合二次函数运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 因为，则， 所以原函数的值域为. （2）因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以原函数的值域为. （3）令，解得， 可得函数的定义域为， 因为，可得 所以原函数的值域为. （4）设，则， 所以原函数转化为， 因为函数的图象开口向下，对称轴方程为， 可知当时，函数取到最大值， 所以原函数的值域为. 80．（2024·全国·高三对口高考）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由的定义域得出的定义域，再将代入，由的范围求出值域即可． 【详解】由的定义域为，， 则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递增， 当，当， 故函数的值域为. 故选：C． 81.（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【详解】（1）定义域为，值域为， 列表如下： 作出图象如图： （2）的定义域为，值域为， 列表如下： 作出图象如图： . （3）的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 由图知：值域为. （4）的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 由图知：值域为； （5）的定义域为，开口向下的抛物线，最大值为，所以值域为， 列表如下： 作出图象如图： （6）的定义域为，对称轴为，开口向上， ，所以值域为； 列表如下： 作出图象如图： （二）根式型值域 82．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】换元法求解函数的最值. 【详解】令，则且， 故，所以当时，. 故答案为：. 83．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数的值域为 【答案】 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数,由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】设,则, 所以原函数可化为:, 由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值. 所以值域为:. 故答案为:. 84．（2024·全国·高一课堂例题）的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设可得，配方后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设， 则， 因为，所以时，的最大值是， 故选：A. 85．（2024秋·山东菏泽·高一校联考期中）函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】采用换元法，令，将问题转化为二次函数最大值的求解问题，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】令，则，， 令， 当时，，即. 故答案为：. 86.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为. 故选：A． 87．（2024秋·山西·高一校联考阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设，则，且， 则函数可化为， 所以函数的值域为. 故选：A. 88.（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域为_________. 【答案】 【详解】令，则， 容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为， ，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值， 所以函数值域为. 故答案为： 89．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可. 【详解】由已知得函数的定义域为， ， ， 又 ， ，又， 故答案为：. 90．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求函数的定义域，由于，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域． 【详解】由有意义可得，所以， 的定义域为， ， 设，则，，则. 故答案为：． （三）分式型值域 91．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）函数的值域为 .（结果用区间表示） 【答案】 【分析】，则，得到的值域. 【详解】，则，故的值域为. 故答案为： 92.（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】D 【详解】解：， ∴y， ∴该函数的值域为． 故选：D． 93．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果. 【详解】， ，，， 即的值域为. 故答案为：. 94．（2024·全国·高一专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可． 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数的值域为． 故答案为：． 95．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 因为，所以，则有， 当且仅当，即时取等号， 所以， 因为，所以，则函数的值域为， 故答案为：. 96．（2024秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用判别式法即可求出函数的值域. 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 故答案为： 97．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为 ． 【答案】． 【分析】首先化简，再用基本不等式可得出的最小值，代入端点可得出最大值，从而得到值域. 【详解】， 即； ，； 当且仅当，即时，取最小值2； 又最大值应在两个区间端点的某一处取到， ；；． 所以．所以值域为． 故答案为: 98.（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______________． 【答案】 【详解】由解析式知：函数的定义域为，且， ∴整理可得：，即该方程在上有解， ∴当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， ∴综上，有函数值域为. 故答案为：. 99．（2024·北京·高三强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用判别式可求函数的值域. 【详解】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 100.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是___________. 【答案】 【详解】解：， 因为 所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时， 不等式整理得： 解得： 所以函数的值域为. 故答案为： 101．（2024·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)． 【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解． 【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为． （2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．      （3）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为． （4）（换元法）  设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．    （5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． （7）由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． （四）根据值域求参数 102．（2024秋·青海西宁·高三校考期中）若函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再根据二次函数的性质计算可得. 【详解】解：依题意要使的值域为，必有．于是， 所以，则的值域为． 故答案为： 103．（2024秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则 ． 【答案】 【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案. 【详解】， 故，解得． 故答案为： 104．【多选】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】先得到函数的单调性，结合，，数形结合得到的取值范围，求出答案. 【详解】，故在上单调递减，在上单调递增， 且，， 因为值域为，故， 所以的值可能是2,3,4. 故选：ABC 105．（2024秋·高一课时练习）已知函数，且该函数的值域为，则的值为 . 【答案】3 【分析】由题意可得，且在上递减，上递增，然后由可求得答案. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以若，的值域为，则， 因为的图象是开口向上的抛物线， 所以在上递减，上递增， 因为， 所以，即，解得或（舍去）， 故答案为：3 106．（2024秋·河南南阳·高一统考阶段练习）已知函数的定义域为,则的取值范围为 ,若函数,则的值域为 . 【答案】 【分析】函数的定义域为即对都成立,只需,解出即可;由的范围,判断的对称轴及单调区间,进而找出最值即可. 【详解】解:由题知函数的定义域为, 即对都成立, 则,解得, 即的取值范围为; 函数图象的对称轴方程为; 又因为, 所以在区间上随自变量的增大而减小, 在区间上随自变量的增大而增大, 所以在处取得最小值,在处取得最大值20, 故的值域为. 故答案为：;. 107．（2024·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或 【详解】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. （五）根据值域求定义域 108．（2024秋·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为. 故答案为： 109．（2024秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 110．【多选】（2024秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分别令，，解方程解得，设定义域为，根据图象得到或，然后判断即可. 【详解】令，解得，令，解得或-2， 可作出函数图象如图： 设定义域为，所以或，故AD正确，BC错. 故选：AD. 111.【多选】（2022秋·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为， 故，又， 故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC. 故选：BC. 112.（2023·全国·高三对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，画出图像，如图所示，    令，则，解得或， 令，则，解得（舍去）或， 对于A：当时，结合图像，得，故A错误； 对于B：当时，结合图像，得，故B错误； 对于C：当时，结合图像，得，故C错误； 对于D：当时，结合图像，得，故D正确； 故选：D． $$