精品解析：天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共9题，每小题3分，共27分． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断． A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 3. 设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 4. 展开式中，系数最大的项是 A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项与第项 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则 A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 6. 设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则等于（ ） A B. C. D. 7. 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 9. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 展开式中的系数为________. 11. 命题的否定是____________________. 12. 已知，则__________ 13. 含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则_____． 14. 三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有__________种. 15. 某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 ________． 三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）证明：组合数性质； （2）计算：（用数字作答）． 17. 已知集合，若 （1），，求实数的范围； （2），，求实数的范围； （3），，求实数的范围. 18. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 45 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ (参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ) (参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5 32+42+52+62=86) 19. 某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多． （1）根据以上数据填写2×2列联表； 认作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总计 （2）依据小概率的独立性检验，分析喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系？ 参考公式：， 参考数据：, ． 20. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和． (Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共9题，每小题3分，共27分． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求的并集再求补集即可. 【详解】易知，则， 故选：D. 2. 对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断． A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 【答案】C 【解析】 【详解】变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关． 3. 设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A． 考点：本题考查充分、必要、冲要条件． 点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，所以选A．这种做法比分析中的做法更形象、更直观． 4. 的展开式中，系数最大的项是 A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项与第项 【答案】C 【解析】 【分析】本题中第r+1项系数与第r+1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1项，可得第n+1项的系数最大． 【详解】在（1+x）2n（n∈N*）的展开式中，第r+1项的系数与第r+1项的二项式系数相同， 再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1项，可得第n+1项的系数最大， 故选C． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则 A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，随机变量服从得正态分布曲线关于对称，根据正态分布曲线的对称性，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，随机变量服从正态分布，则正态分布曲线关于对称， 又由，根据正态分布曲线的对称性， 可得， 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查了正态分布中概率的计算问题，其中解答中熟记正态分布曲线的性质，合理应用其对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6. 设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据解得，所以. 【详解】因为，得，即. 所以. 故选 【点睛】本题主要考查二项分布，同时考查了数学期望，熟记公式是解题的关键，属于简单题. 7. 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，再利用条件概率求解即可． 【详解】由题意可知，， 所以． 故选：A． 8. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】令x=1得a=1.故原式=． 的通项， 由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40， 故所求的常数项为40 ， 故选D 9. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A. 243 B. 252 C. 261 D 279 【答案】B 【解析】 【详解】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 的展开式中的系数为________. 【答案】70. 【解析】 【详解】试题分析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知．令，解得，∴的展开式中的系数为． 考点：二项式定理． 11. 命题的否定是____________________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识写出正确答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论， 所以命题的否定是： 故答案为： 12. 已知，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定等式，利用赋值法列式计算即得. 【详解】令， 则，， 所以. 故答案为： 13. 含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解. 【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为， 所以，，即， 则，即或， 当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾， 故，， . 故答案为：1． 14. 三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】按每个村去一个人还是有一个村去两人另一个村去一人分类讨论，用分类分步原理求解. 【详解】若每个村去一个人，则有种分配方法； 若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法， 所以共有60种不同的分配方法. 15. 某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 ________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】先将事件用字母表示出来，再利用条件概率和全概率公式即可解决. 【详解】解：设A1＝“第1天去甲餐厅用餐“，B1＝“第1天去乙餐厅用餐”，A2＝“第2天去甲餐厅用餐”，B 2＝“第2天去乙餐厅用餐”， 根据题意得，,. 则，，则， 则，则. 由全概率公式得：， 即 ∴小李第二天去乙家餐厅的概率为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）证明：组合数性质； （2）计算：（用数字作答）． 【答案】（1）证明见解析；（2）166650 【解析】 分析】（1）利用组合数公式计算化简可证结论； （2）利用（1）的结论可计算求得答案. 【详解】（1）证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； （2）＝+++…+＝++…+ ＝++…+＝…＝+＝＝＝166650． 17. 已知集合，若 （1），，求实数的范围； （2），，求实数的范围； （3），，求实数的范围. 【答案】（1） （2） （3）不存在满足题意的实数 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合；分别在和的情况下，根据包含关系可构造不等式求得的取值范围； （2）根据集合包含关系可直接构造不等式组求得的取值范围； （3）根据集合相等可直接构造方程组求得的范围. 【小问1详解】 ； 当时，满足，则，解得：； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由得：，解得：，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 ，，方程组无解，不存在满足题意的实数. 18. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ (参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ) (参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5 32+42+52+62=86) 【答案】（1）见解析；（2）；（3）19.65吨 【解析】 【分析】（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图； （2）根据所给的这组数据求出回归方程的系数，得到线性回归方程； （3）根据线性回归方程，计算时的生产能耗，求出比技改前降低的标准煤． 【详解】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标， 在坐标系中描出来，得到散点图如下； （2）由对照数据，计算得 ， ， ， ， 回归方程的系数为， ， 所求线性回归方程为； （3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为 （吨， 吨， 预测比技改前降低了19.65吨标准煤． 【点睛】本题考查散点图与线性回归方程的应用问题，属于基础题. 19. 某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多． （1）根据以上数据填写2×2列联表； 认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总计 （2）依据小概率的独立性检验，分析喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系？ 参考公式：， 参考数据：, ． 【答案】（1）答案见解析 （2）有关系 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合题设中的数据，得出的列联表； （2）根据列表中的数据，求得，结合附表，得出结论. 【小问1详解】 解：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表： 认为作业多 认为作业不多 总　　计 喜欢玩电脑游戏 9 3 12 不喜欢玩电脑游戏 4 6 10 总　　计 13 9 22 【小问2详解】 解：零假设H0：喜欢玩电脑游戏与认为作业多少没有关系， 由（1）中的的列联表，可得， 所以有充分的理由认为假设不成立，即认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关，这种判断出错误的概率不超过0.10． 20. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和． (Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ． 【解析】 【详解】试题分析：(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6． ； ； ； ． 故，所求X分布列为 X 3 4 5 6 P (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为： E(X)＝． 考点：本题主要考查随机变量的概率计算，古典概型概率的计算，分布列、数学期望． 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型．古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于“树图法”，做到不重不漏．借助于简单排列组合公式进行计算，注意记清公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$