专题02 特殊平行四边形中的折叠问题选填专项训练（35道）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题02 特殊平行四边形中的折叠问题选填专项训练（35道） 一、单选题 1．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 2．如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，连接BB'，若AB＝2，则线段BB'的长度为（　　） A． B． C．2 D． 3．如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在综合与实践课上，美丽老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展教学活动．如图，矩形中，，，点E、F分别是边、上的点，连接、，分别将和沿、翻折，点B、D的对应点分别为点G、H，若，且C、H、G三点共线，则的长度是（    ）    A．2 B． C． D． 6．矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（    ）    A． B． C．或 D．或 7．如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为(    )    A． B． C． D． 8．如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．如图，已知是矩形的对角线，，，点E，F分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线上的点G，H处，连接．则 ． 10．如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 11．如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 12．如图，正方形的边长为4，分别在x轴、y轴上，点D是边上的动点，将沿着直线：翻折得到，当直线经过的中点E时，则k的值为 . 13．如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ． 14．如图，将，的矩形纸片放在直角坐标系中，顶点B、C在x轴上，E为边上一点，连接，将纸片沿折叠，使点B落在边与y轴的交点F处，则E点的坐标为 ． 15．如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为 ． 16．如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则 °；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为 ． 17．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点N是射线上一点，且，连接，将沿翻折至，使D恰好落在上，则 ． 18．如图，在矩形中，，点E是的中点，将沿折叠后得到，延长交射线于点F，若，则的长为 . 19．如图，正方形的边长为3，、分别为、上的点，，将四边形沿翻折，得到四边形，恰好落在边上，交于，若连结，则的度数为 ，的长是 ． 20．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 21．如图，在正方形中，，点在边上（不与端点重合），将沿折叠，使点落在点处，连接，当是等腰三角形时，的长等于 ． 22．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点，若直线交直线于点，，，则的长为 ． 23．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点N是射线上一点，且，连接，将沿翻折至，使D恰好落在上，则 ． 24．如图，矩形中，点E在边上，，将沿翻折得到，连接，若，则点F到的距离为 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为 ． 26．如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    27．如图①，点、分别为长方形纸带的边、上的点，，将纸带沿折叠成图②（为和的交点），再沿折叠成图③（为和的交点），则图③中的 （结果用含的代数式表示）．    28．如图，将沿矩形的对角线折叠，使得点落在点处，点为上一点，连接，若，则的长为 ． 29．如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，若，连接，则的长为 ． 30．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，，则 ．    31．如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时， ．    32．如图，已知E、F分别是矩形的边、上的点，连接，将矩形沿对折，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，恰好经过的中点．若，则折痕的长度为 ． 33．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点，点，点都落在点上．若，则 34．如图，在菱形中，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），点是菱形内的一点，且点点与关于直线对称，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    35．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与C、D重合），点B落在点Q处，折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，设的长为x，的周长为y，的周长为z，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊平行四边形中的折叠问题选填专项训练（35道） 一、单选题 1．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 【答案】D 【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4． 【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点， 由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°， 设正方形的边长为x， ∵EF＝2， ∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx， 在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2， ∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2， 解得x＝22， ∴FC＝x﹣x＝2， ∵∠ACB＝45°， ∴FG＝CG， ∴BG2， 在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键． 2．如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，连接BB'，若AB＝2，则线段BB'的长度为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】BB′交AE于M，作EH⊥AB′于N，连接B′E，如图，利用黄金矩形的定义得到BC＝+1，再利用正方形的性质得到AG＝AB＝2，DE＝DG＝﹣1，则利用勾股定理得到AE＝2，接着利用折叠的性质得到C′B′＝CB＝+1，EC′＝EC＝3﹣，AB′＝AB＝2，BB′⊥AE，B′M＝BM，则EH＝C′B′＝+1，然后利用面积法求出B′M，从而得到BB′的长． 【详解】解：BB′交AE于M，作EH⊥AB′于N，连接B′E，如图， ∵四边形ABCD为黄金矩形， ∴AB＝BC， ∴BC＝×2＝+1， ∵四边形ABFG、GHED均为正方形， ∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝+1﹣2＝﹣1， 在Rt△ADE中，AE＝＝2， ∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'， ∴C′B′＝CB＝+1，EC′＝EC＝3﹣，AB′＝AB＝2，BB′⊥AE，B′M＝BM， 易得四边形B′C′EN为矩形，则EN＝C′B′＝+1， ∵B′M×AE＝AB′×EN， ∴B′M＝＝， ∴BB′＝2B′M＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握黄金矩形的定义、正方形的性质、勾股定理、折叠的性质是解题的关键． 3．如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点，设，，根据勾股定理列方程求得，即可． 【详解】解：过点作于点，如下图： 设，，则，， 由题意可得：，，为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：， ，即，解得， ，即，解得， ， 故选：D. 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 4．如图，在矩形中，，将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用折叠性质判断A正确；用折叠性质和平角性质判断B正确；根据折叠性质可知，推出，根据角平分线性质得到，根据，得到，根据含30°角的直角三角形的边的关系推出，可判断C正确；根据折叠性质可知，根据含30°角的直角三角形边的关系推出，可判断D不正确． 【详解】A. 由折叠知，， 故A正确； B. 由折叠知，，且， ∴， 故B正确； C. ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵，AD=BC=4， ∴， ∴， 故C正确； D. ∵， 故D不正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形，折叠，角平分线，含30°角的直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，折叠的性质，角平分线的定义和性质，含30°角的直角三角形三边的关系． 5．在综合与实践课上，美丽老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展教学活动．如图，矩形中，，，点E、F分别是边、上的点，连接、，分别将和沿、翻折，点B、D的对应点分别为点G、H，若，且C、H、G三点共线，则的长度是（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点M，连接，设，，利用矩形的性质，折叠的性质以及等面积法（）可求，在中，利用勾股定理可求，分别在和中，利用勾股定理，可得出，然后代入数值解方程即可． 【详解】解：延长交于点M，连接，   ， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵翻折， ∴，，，，，， 设，， ∵， ∴， 即， 解得， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，解得， 即．故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用等面积法求出是解题的关键． 6．矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，根据折叠的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1所示： 当恰好在矩形的对称轴上时， 又∵，， ∴，，，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴点与点重合，点与点重合， ∴；    ②如图2所示： 当恰好在矩形的对称轴上时，过作    交于，交于，    ∴，，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴； 综上所述，当点恰好在矩形的对称轴上时，折痕的长是或， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键． 7．如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可知 ， ，设 则在中，利用勾股定理可建立方程，解得，则 ，，再根据等腰三角形的性质得到，进而算出，设 则在中，利用勾股定理可建立方程，解得，则，再利用三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，   四边形为矩形，，， ，，， 由折叠可知， ， ， ， ， 设则 在中，， ， 解得：， ，， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， 设则 在中，， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 8．如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】过点M作，交延长线于G，延长线于H，可证明四边形为正方形，当点E与D重合时，，设，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】过点M作，交延长线于G，延长线于H    则四边形为矩形 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠可得：，∴ ∴四边形为正方形 ∴，∴ 当点E与D重合时， 设，则 在中， ，解得，∴ ∴当点从点运动到点时，则点运动的路径长是 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 二、填空题 9．如图，已知是矩形的对角线，，，点E，F分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线上的点G，H处，连接．则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质， 根据矩形的性质以及勾股定理求解，根据折叠的性质即可求得，进而可得答案． 【详解】解：是矩形的对角线，，， 将沿翻折，将沿翻折， ， ， 故答案为： 10．如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中， ∴ ∴，即为等腰三角形， ∵ ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得 ②当点恰好落在上时，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴ 在中， ， 在和中， ∴ ∴ ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与翻折，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．注意分类讨论． 11．如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．如图，正方形的边长为4，分别在x轴、y轴上，点D是边上的动点，将沿着直线：翻折得到，当直线经过的中点E时，则k的值为 . 【答案】3或1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据翻折的性质可得，，，利用勾股定理分别求出、、，点坐标即可得到值，熟练掌握勾股定理的应用是解答本题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 正方形的边长为4，直线经过的中点， ，， 沿着直线翻折得到， ，，， 在中，， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ，解得，， 在直线图象上， ， 当点与点重合时，也符合条件，此时 故答案为：3或1． 13．如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点M作，交于点F，解直角三角形得出的长，再根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点M作，交于点F， ∵在边长为2的菱形中，， ，     ， ， ，点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 将菱形翻折，使点A的对应点落在上， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含有角的直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识，正确画出辅助线是解题的关键． 14．如图，将，的矩形纸片放在直角坐标系中，顶点B、C在x轴上，E为边上一点，连接，将纸片沿折叠，使点B落在边与y轴的交点F处，则E点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，坐标与图形的性质．利用折叠的性质求得，利用勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质知：，， 设，则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴E点的坐标为， 故答案为：． 15．如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，角平分线的性质，连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点，则四边形为矩形， 点的对应点落在的角平分线上， ， 设，则， ， 由折叠的性质可得可得， 在中，由勾股定理得， ， 解得或，即或． 在中，设， 当时，，，， 由勾股定理得，， 解得，即， 当时，，，， 由勾股定理得，， 解得，即． 故答案为：或． 16．如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则 °；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为 ． 【答案】 63 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理等；（1）由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由外角的性质得， 由即可求解；（2）过作交于，由勾股定理得求出，由折叠及平行线的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握折叠的性质，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中点， ， ∴， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 17．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点N是射线上一点，且，连接，将沿翻折至，使D恰好落在上，则 ． 【答案】8或2 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 分两种情况：如图，当点在线段时，当点在的延长线时，连接，根据矩形的性质得到 由点是的中点，得到根据折叠的性质得到根据全等三角形的性质得到根据勾股定理即可得到结论． 【详解】如图，当点在线段时，连接, ∵四边形是矩形, ， ∵点是的中点, ， ∵将沿翻折至，使恰好落在上， ，， ∴， ， 在与中, ， ， ， ， ，， ， (负值舍去)， 如图，当点在的延长线时，连接, ∵四边形是矩形, ， ∵点是的中点, ， ∵将沿翻折至，使恰好落在上， ，， ， ， 在与中, ， ， ， ， ， ， 解得 (负值舍去)， 综上所述， 或, 故答案为:或. 18．如图，在矩形中，，点E是的中点，将沿折叠后得到，延长交射线于点F，若，则的长为 . 【答案】2或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和分类讨论思想是解答的关键．设，，先根据矩形的性质和折叠性质得到，，分点F在边上时和点F在的延长线上时两种情况，证得到，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵在矩形中，，点E是的中点， ∴，，， 由折叠性质得，，， 当点F在边上时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，由得， 解得，则； 当点F在的延长线上时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，由得， 解得，则， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 19．如图，正方形的边长为3，、分别为、上的点，，将四边形沿翻折，得到四边形，恰好落在边上，交于，若连结，则的度数为 ，的长是 ． 【答案】 /30度 【分析】由正方形的性质得出，，再由折叠的性质得出，，，，，求出，得出，然后求出，，则，，设，则，得出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质知是线段的垂直平分线， ∴，， ∴； 四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，，，，， ， ， ， ， ，解得：， ，则， ∵，∴，， 设， ，，则，解得：， ，故答案为：，． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，灵活运用所学知识是关键． 20．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接交于，过点作于．根据四边形的面积为6，得到，设，利用翻折特征，得到，证明，依次得到，，在利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接交于，过点作于，如图所示， 四边形为正方形， 四边形是梯形， 四边形的面积为，又， ， 设，则，， ，，， 四边形为矩形， ， , 四边形为矩形， , 点是点沿着的翻折点， ， ， ，又，， ， ， 在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得， ，即，解得， ， 故答案为：． 21．如图，在正方形中，，点在边上（不与端点重合），将沿折叠，使点落在点处，连接，当是等腰三角形时，的长等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，分和两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，在上取一点，使， ∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于，于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，∴， 又∵，∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得，∴； 综上，的长等于或． 22．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点，若直线交直线于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 连接，，由折叠得，垂直平分，垂直平分，可推导出，由三角形的中位线定理得，由勾股定理即可求解． 【详解】连接， ∵四边形是矩形 ∴ 由折叠得：，点B与A关于直线对称，点与点A关于直线对称， ∴垂直平分，垂直平分， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 23．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点N是射线上一点，且，连接，将沿翻折至，使D恰好落在上，则 ． 【答案】8或2/2或8 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 分两种情况：如图，当点在线段时，当点在的延长线时，连接，根据矩形的性质得到 由点是的中点，得到根据折叠的性质得到根据全等三角形的性质得到根据勾股定理即可得到结论. 【详解】如图，当点在线段时，连接, ∵四边形是矩形, ， ∵点是的中点, ， ∵将沿翻折至，使恰好落在上， ，， ∴， ， 在与中, ， ， ， ， ，， ， (负值舍去)， 如图，当点在的延长线时，连接, ∵四边形是矩形, ， ∵点是的中点, ， ∵将沿翻折至，使恰好落在上， ，， ， ， 在与中,， ， ， ， ， ， 解得 (负值舍去)， 综上所述， 或, 故答案为:或. 24．如图，矩形中，点E在边上，，将沿翻折得到，连接，若，则点F到的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出，证明出，连接交于点，过点作于点，过点作于点，利用面积法求出，证明，从而得到，，，再利用面积法即可求出，从而解决问题． 【详解】解：将沿翻折得到， ， ， ，， ， ， ， ， 是矩形， ， ，， 由勾股定理，得， 连接交于点，过点作于点，过点作于点，如图， 则，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查翻折的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，面积法，通过作辅助线发现是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为 ． 【答案】或或4 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式， 分三种情况：①当落在中线上时，②当落在中线上时，③当落在中线上时，画出图形分别求解即可 【详解】解：①当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分此时， ， ∵将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内， ∴，，， ∴， 连接，设， 则，解得：， ∴ ②当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：， 设，过作，交于点J， 则， ∴，解得：或（舍去）， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； ③当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：， 设，过作，交于点R， 则， ∴，解得：或（舍去）， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或或4 26．如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    【答案】或/8或2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形，，    ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作与，则四边形是矩形，，    ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得，∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 27．如图①，点、分别为长方形纸带的边、上的点，，将纸带沿折叠成图②（为和的交点），再沿折叠成图③（为和的交点），则图③中的 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】利用平行线性质先得到和，根据折叠性质得到图②中、图③中、，由三角形外角性质得图②中、图③中，最后根据即可求解． 【详解】解：图①中四边形的长方形， ， ， ， ， 此时图②中也有， 由折叠性质得：图②中，， 是的一个外角， ， 由折叠性质得：图③中，，， 是的一个外角， ， 在四边形中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、矩形的性质、图形的折叠与性质、三角形外角性质，解题关键是熟练掌握图形折叠的性质． 28．如图，将沿矩形的对角线折叠，使得点落在点处，点为上一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】作于点G，于点H，先作辅助线，根据矩形的性质可以得到对角线的值，角度之间的关系，然后根据折叠的性质找到边长以及角度之间的关系，证明，对应边相等，再根据边长之间的关系，得到的长，进而根据勾股定理求得结果． 【详解】解：作于点G，于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 29．如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，若，连接，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理，分点在上和点在上两种情况解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，当点在上时，过点作 于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ， 根据旋转的性质得，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在上时， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ， 根据旋转的性质得，，， ∴， 即， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于G点， 则，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 30．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，，则 ．    【答案】 【分析】过点F作于点M，连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，得到，，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可求解． 【详解】解：过点F作于点M，连接，    ∵四边形是菱形，， ， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 31．如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时， ．    【答案】7或 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，分两种情况：当翻折后，点在下方时，当翻折后，点在上方时，分别作出图形，构造直角三角形利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【详解】解：当翻折后，点在下方时，过点作，并延长交于于，    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴； 当翻折后，点在上方时，过点作，交于于，    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴（此时点与点重合）； 综上，或． 故答案为：7或． 32．如图，已知E、F分别是矩形的边、上的点，连接，将矩形沿对折，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，恰好经过的中点．若，则折痕的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理与折叠、全等三角形的判定和性质等知识，设，则求出，，，证明，，则，由翻折的性质得到，则，设，则，，在中，，得到，过点F作于点N，则，，在中，． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴ 解得， ∴ ∴， ∵恰好经过的中点， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ 由翻折的性质得到，， ∴， 设，则，， 在中， ∴， 解得，， 过点F作于点N，则， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 在中，, 故答案为： 33．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点，点，点都落在点上．若，则 【答案】 【分析】本题考查了矩形折叠问题，勾股定理，由折叠的性质得出，，由勾股定理，得出，进而在中，，列出方程即可求解． 【详解】解：依题意，，，， 设， ，，， ， 在中，， 解得：， 同理， 又， 在中，， ， 设， ，， 在中， ，解得：． 故答案为：． 34．如图，在菱形中，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），点是菱形内的一点，且点点与关于直线对称，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】3或 【分析】分为三种情况讨论，① 当时， 设的中点为点R，连接，由直角三角形的性质可得，证明四边形是平行四边形，根据，可得点P、E、R三点共线，可证得，由轴对称的性质可得，，证得是等边三角形，可得；②当，连接，证明P、C、E三点共线，过点E作于点F，设，由含30度角直角三角形的性质和勾股定理，由三线合一得，构造方程求解；③当时，点E在菱形外部，不合题意． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，与均为等边三角形， 当时，如图所示，    设的中点为点R，连接， ∵，R为的中点 ∴， ∵点P为边的中点， ∴， 由点点与关于直线对称可得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点P、E、R三点共线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点点与关于直线对称可得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当，如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵为等边三角形，点P为边的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴P、C、E三点共线， 过点E作于点F，设， 由点点与关于直线对称可得，，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， 由勾股定理可得：，∴， ∵，∴， 解得：，即，当时，点E在菱形外部，不合题意， 综上，的长为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、菱形的性质、三点共线、平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质；本题综合性强，注意分类讨论． 35．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与C、D重合），点B落在点Q处，折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，设的长为x，的周长为y，的周长为z，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查图形的折叠问题、三角形全等的证明及性质，正确做出辅助线证的全等是关键． 先连接，作于M，由折叠的性质可得：，得出，即可得出，进而求得，然后再证，最后根据线段的等量代换得出的周长，的周长，即可得出的值． 【详解】解：连接，作于M，如图所示： 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， 在和中 ， ， ， 的周长，的周长， ， ， 故答案为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$