专题08 二次根式比较大小的三种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题08 二次根式比较大小的三种考法全梳理 目录 【考法一、二次根式加减混合运算】 1 【考法二、二次根式加减乘除混合运算】 2 【考法三、二次根式化简求值】 3 【课后训练】 3 【考法一、分子有理化比较大小】 例．阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 变式1．比较大小： ①                 ② 变式2．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 变式3．比较与的大小． 【考法二、取平方法比较大小】 例．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 变式1．比较大小： ．（填＞，＜，＝） 变式2．比较大小 ．（填“”、“”或“”） 变式3．比较大小： ． 【考法三、利用乘法公式比较大小】 例．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ） A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关 变式2．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【课后训练】 1．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 2．2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 3．比较大小：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．比较大小： 1； 5．比较大小 3； ； 6．（填“＞”“＜”或“＝”） 6．比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 7．比较大小： ． 8．比较大小：（1） ；（2） ． 9．比较和的大小 10．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：①；② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 11．先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次根式比较大小的三种考法全梳理 目录 【考法一、二次根式加减混合运算】 1 【考法二、二次根式加减乘除混合运算】 3 【考法三、二次根式化简求值】 5 【课后训练】 7 【考法一、分子有理化比较大小】 例．阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．比较大小： ①                 ② 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 变式2．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为： 变式3．比较与的大小． 【答案】 【分析】观察得代数式的被开方数的差相等，先将代数式转变为分式的形式，比较分式的大小即可求解． 【详解】解：∵， ， 且， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，解题的关键是借助被开方数的差相等，将代数式转化为分式的形式进行比较． 【考法二、取平方法比较大小】 例．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 变式1．比较大小： ．（填＞，＜，＝） 【答案】< 【分析】根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 变式2．比较大小 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】两数相减，判断差的正负，得到两数的大小关系． 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握用作差法比较实数大小的方法． 变式3．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进一步可得答案．先求，，再比较大小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【考法三、利用乘法公式比较大小】 例．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴，， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数，∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 变式1．已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ） A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关 【答案】C 【详解】试题分析：x-y=， ∵0＜a＜b， ∴＜4b ∴＜0， ∴x-y＜0． 故选C． 考点：二次根式的化简求值． 变式2．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2019×2021-2019×2020 =（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020 =20202-1-20202+2020 =2019； ∵20222-4×2021 =（2021+1）2-4×2021 =20212+2×2021+1-4×2021 =20212-2×2021+1 =（2021-1）2 =20202， ∴b=2020； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键． 【课后训练】 1．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 2．2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 3．比较大小：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 > ， < ， > ， < 【分析】（1）先将，变形为 ，有，即可比较大小； （2）利用作差法，即可比较大小； （3）利用作商法，即可比较大小； （4）先将，化为，，又有，即可比较大小． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， ∴； （2）∵，又∵， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ， ， ∴， 即． 故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<． 【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．比较大小： 1； 【答案】 < < 【分析】二次根式比较大小，化简成相同的形式在比较大小. 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴ （2）∵，∴， ∴，∴， 故答案为：＜，＜． 【点睛】本题考查二次根式的大小比较. 5．比较大小 3； ； 6．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 ＞ ＜ ＜ 【分析】根据，可比较与3的大小；与可直接比较；根据，比较与的大小即可． 【详解】∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：＞，＜，＜， 【点睛】本题考查实数的大小的比较，解题的关键是知道如果还有根号，首先通过乘方化为根指数相同的根式，然后比较． 6．比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】运用平方法来比较二次根式的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了比较二次根式大小的方法，两边同时平方，转化为比较幂的大小，此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小． 7．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ，即， 故答案为：． 8．比较大小：（1） ；（2） ． 【答案】 > > 【分析】（1）利用分子有理化比较大小即可； （2）利用作差法结合配方法即可比较大小； 【详解】解：（1）∵， ， 而>， ∴<， ∴>, （2）∵， ∴ 故答案为：（1）>；（2）> 【点睛】本题主要考查了比较大小方法的应用，本题比较大小方法有：分子有理化和作差法，结合题目特征，灵活选用恰当的方法比较大小是解题的关键． 9．比较和的大小 【答案】 【分析】两式相减，结合二次根式被开方式越大根式越大即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，即：， ∴； 【点睛】本题考查有关二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方式越大根式越大． 10．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、无理数的大小比较， （1）①根据平方差公式，分子分母同乘以； ②根据平方差公式，分子分母同乘以； （2）根据平方差公式，分子分母同乘以； （3）根据分母有理化将化简，再与相乘即可； （4）根据分母有理化将，分别转化为，，再进行比较即可； 掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4）∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 【答案】（1）＜；（2）＜ 【分析】（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可； （2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：＜； （2）∵()()=1，()()=1， ∴，， 又∵＞， ∴＜，即：＜． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$