专题04 平方根与立方根综合解答题专项训练（30道）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题04 平方根与立方根综合解答题专项训练（30道） 目录 【知识点归纳】 1 【专项训练】 2 【知识点归纳】 1.平方根 (1)平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3. (2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“±”，读作“正、负根号a”． “”读作“根号”，“a”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±. 2.平方根的性质 1、若x2＝a，则有(－x)2＝a，即－x也是a的平方根，因此正数a的平方根有两个，它们互为相反数； 2、只有02＝0，故0的平方根为0； 3、由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根． 注：一个数a的平方根可以表示成±. 1、不是任何数都有平方根，负数可没有平方根， 2、式子只有当a≥0时才有意义,因为负数没有平方根. 3.立方根的概念及表示方法 (1)立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．Com]如23＝8，那么2就叫做8的立方根， (2)立方根的表示方法：a的立方根可表示为“”， 读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数． 要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：2的立方根可表示为. 知识点5.2 立方根的性质 (1)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0. (2)开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算． 【专项训练】 1．已知2a+1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+5的算术平方根． 【答案】9 【分析】先根据平方根和立方根的定义列方程求出a和b的值，代入4a﹣5b+5计算之后求算术平方根即可． 【详解】解：∵2a+1的平方根是±3， ∴2a+1＝9， 解得a＝4， ∵3a+2b+4的立方根是﹣2， ∴3a+2b+4＝﹣8， ∴12+2b+4＝﹣8， 解得b＝﹣12， 当a＝4，b＝﹣12时， 4a﹣5b+5 ＝16+60+5 ＝81， ∴4a﹣5b+5的算术平方根为9． 【点睛】本题考查平方根、立方根的定义和算术平方根的求解，根据定义求出a和b的值是解题的关键． 2．如果的平方根是，是的立方根，那么的值是多少？ 【答案】﹣3 【分析】根据题意求出x，y的值，再代入所求代数式求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴＝9， 解得x＝5， ∵是的立方根， ∴＝， 把x＝5代入＝得， 5＋y＝， 解得y＝﹣， ∴＝3×5＋4×（﹣）＝﹣3． 【点睛】此题考查了平方根、立方根、方程的解，熟记立方根、平方根的定义是解题的关键． 3．（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根． （2）已知、满足，求的立方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方根和立方根的概念确定a和b的值，然后代入求解； （2）根据算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，然后代入求解． 【详解】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； （2）∵，且，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为． 【点睛】本题考查平方根和立方根，理解算术平方根和绝对值的非负性，掌握平方根和立方根的概念是解题关键． 4．已知3是的算术平方根，又是的立方根，求的立方根． 【答案】的立方根是 【分析】根据算术平方根的平方，可得被开方数，根据立方根的立方，可得被开方数，即可求解． 【详解】3既是的算术平方根，又是的立方根， ∴，， 解得， ， 的立方根为． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 5．已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求的平方根即可； （2）求出的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的立方根为2． ∴，， 解得，，， ， ∵， ∴的平方根是． （2）解：∵的算术平方根是3， ∴，     ∵， ∴， ， ∵， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． 6．已知一个正数的两个平方根分别是 和 的立方根是3． 求 的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平方根的性质，立方根的性质和算术平方根的计算，根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质求出a、b，从而得到的算术平方根，准确计算是解题的关键． 【详解】∵一个正数的两个平方根分别是 和 ， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴，； ∴， ∴的算术平方根为2． 7．（1）已知与是正数的两个不同的平方根，求的值． （2）已知：的立方根是，的算术平方根是，是整数部分，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根的定义先求出值，再求出的平方根，即可求解； （2）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：（1）与是正数的两个不同的平方根， ， 解得：， ， ； （2）的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：，， 是整数部分， ， ， 的平方根是． 8．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到，解得，求出的值，根据算术平方根的意义求出答案即可. 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的算术平方根为3 9．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； （2）解：，，， ，， 的立方根是． 10．（1）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根． （2）若均为实数，且与互为相反数，求的值． 【答案】（1）±5；（2）11 【分析】（1）根据算术平方根与立方根的定义求出x，y的值，再利用平方差公式即可求解； （2）根据非负性求出x，y的值，再利用平方差公式的变形即可求解． 【详解】解：（1）∵3既是的算术平方根， 又是的立方根， ∴=9，=27 解得x=13，y=12 ∴=(x+y)(x-y)=25×1=25， ∴的平方根是±5； （2）∵与互为相反数， ∴+=0 ∴x-3=0，y-2=0， 即x=3，y=2， ∴=(x+y)(x-y)+xy =5×1+6 =11． 【点睛】此题主要考查平方根立方根的性质及求解，解题的关键是熟知平方根立方根的定义． 11．（1）已知的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． （2）若、为实数，且与互为相反数，求的值． 【答案】（1）3；（2）5 【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义，求出a、b的值，然后代入计算即可； （2）根据相反数的定义，二次根式和2次方的非负性，求出x、y的值，然后代入计算即可. 【详解】解：（1）∵的平方根是，的算术平方根是， ∴，，       解得：，， ∴， ∴的立方根为； （2）由题意得：，       由非负性得：  ， 解得 ， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方根，立方根，以及相反数的定义，解题的关键是利用所学性质求出a和b，x和y的值. 12．已知的平方等于a，b立方等于，的算术平方根为3． （1）写出a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据乘方、开方以及算术平方根的概念即可求得a、b、c的值； （2）将（1）中求得的a、b、c的值代入，再求平方根即可. 【详解】（1） （2）当时， = =49 的平方根为 【点睛】本题考查乘方和开平方的概念以及求一个数的平方根，难度不大，熟练掌握各个知识点是解题关键. 13．若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n． （1）求的平方根； （2）求的立方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b的值，根据平方根的定义可得m和n的值，最后将a，b，m和n的值代入计算，从而可解答． 【详解】解：（1）由题意可知： ，．    ∴． （2）由题意可知： ，．    ∴． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型． 14．已知的平方根是，的立方根是2，． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）或3． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c； （2）分c=0和c=1两张情况分别解答即可． 【详解】解：（1）∵的平方根是，的立方根是2 ∴a=5，2b+4=8，即b=2 ∵ ∴c=1或c=0 ∴a=5、b=2、c=1或c=0； （2）当c=1时，= 当c=0时，=3； ∴的算术平方根为或3． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c的值成为解答本题的关键． 15．已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是．求的算术平方根． 【答案】4 【分析】先根据平方根的定义求出a的值，再根据b的立方根是求出b的值，进而求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∵b的立方根是， ∴， ， ， ∴的算术平方根为4． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是求出a、b的值． 16．（1）； （2）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）首先利用平方根和立方根的定义进行运算，然后根据有理数加减法则求解即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义求出，，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）原式； （2）根据题意，可得 ，， 解得，， 则有， ∵， ∴的平方根为． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、代数式求值等知识，熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题关键． 17．已知a为的算术平方根，，，求的值． 【答案】26 【分析】根据得到，根据得到，根据得到，代入计算即可 【详解】∵a为的算术平方根， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握求算术平方根，立方根的方法，灵活计算是解题的关键． 18．已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值． 【答案】 【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵  即：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键． 19．已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，正确理解立方根与平方根的意义是解题的关键．根据题意可得，，解得，，然后代入求出、进行求解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， 的平方根为． 20．已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 21．已知1+3a 的平方根是±7 ，2a-b-5立方根-3，c 是的整数部分，求a+b+c的平方根. 【答案】． 【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得a、b的值；接着估出的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案． 【详解】根据题意，可得：1+3a=49，2a﹣b﹣5=﹣27； 故a=16，b=54； 又有1011，可得：c=10； 则a+b+c=16+54+10=80． 则80的平方根为． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 22．（1）若x,y为实数，且 求的平方根. （2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 【答案】（1） ；（2）10. 【分析】(1)根据二次根式的被开方数是非负数确定x和y的值，然后求解； (2)根据算术平方根、平方根、立方根的概念求解. 【详解】解：有题意可知： ∴x=4,y=3 ∴的平方根是 . （2）由题意可知： ∴x2+y2的算术平方根是10. 【点睛】二次根式的被开方数是非负数，从而确定x,y的值是本题的关键. 23．已知，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出，的值，根据相反数求出的值，再代入代数式求值． 【详解】解：， ，， ，． 与互为相反数， ， 解得． ， 的平方根是． 【点睛】本题考查了非负数的性质、相反数、立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义． 24．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4或 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：由题意得，2a−1＝9，得a＝5；3a＋b−9＝8，得b＝2， ∵，， ∴−8＜−＜−7， ∴c＝7或−7， ∴a＋2b＋c＝16或2，16的算术平方根为4；2的算术平方根是． ∴的算术平方根是：4或． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义． 25．已知的立方根是－2，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】利用算术平方根和立方根的性质可求解． 【详解】∵的立方根是－2，的算术平方根是4， ∴ ，， ∴，， ∴， 即的平方根是． 【点睛】本题运用了算术平方根和立方根的性质，关键计算要准确． 26．（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 【答案】（1）49；（2）；（3）－1 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可； （2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的式子求值，再计算平方根即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，从而得出a的值，再计算两数的和，从而得出立方根． 【详解】解：（1）解：依题意：，解得， ，． （2）解依题意：，， 解得，， ，16的平方根是 （3）解：依题意，得， 代入，得 ，的立方根是－1． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键． 27．已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可; （2）根据算术平方根进行计算便可; 【详解】（1）解：由题意得， 所以， 因为的立方根为−2， 所以， ； （2）因为，， 所以． 【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． 28．求值 (1)已知的算术平方根是的立方根是2，求的值； (2)已知一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2)x的值为9 【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值,再求得的值； （2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：； ∴ （2）由题意可得：， 解得：， ∴x的值为9． 【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键． 29．已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 30．（1）若，求的值． （2）已知5x+19的立方根是4，2y-3的算术平方根是3，求3x-y的平方根． (3)设a、b、c都是实数，且满足 ，求式子x+2x的算术平方根． 【答案】（1）3；（2）±5；（3）2 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入所求代数式计算即可； （2）利用算术平方根、立方根的定义求出x和y的值，进而求出3x-y的值，即可求出它的平方根； （3）根据非负数的性质求出a，b，c的值即可得解. 【详解】（1）根据题意得， 解得x=1，y=-2， ∴； （2）∵5x+19的立方根是4， ∴5x+19=64， ∴x=9， ∵2y-3的算术平方根是3， ∴2y-3=9， ∴y=6， ∴3x-y=3×9-×6=25 ∴3x-y的平方根是±5； （3）∵， ∴2-a=0，a2+b+c=0，c+8=0， ∴a=2，b=4，c=-8， ∴2x2+4x-8=0 ∴x2+2x=4 ∴式子x2+2x的算术平方根为2. 【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0； （2）小题考查了立方根、算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键； （3）此小题主要考查了非负数的性质，求得a，b，c的值是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平方根与立方根综合解答题专项训练（30道） 目录 【知识点归纳】 1 【专项训练】 2 【知识点归纳】 1.平方根 (1)平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3. (2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“±”，读作“正、负根号a”． “”读作“根号”，“a”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±. 2.平方根的性质 1、若x2＝a，则有(－x)2＝a，即－x也是a的平方根，因此正数a的平方根有两个，它们互为相反数； 2、只有02＝0，故0的平方根为0； 3、由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根． 注：一个数a的平方根可以表示成±. 1、不是任何数都有平方根，负数可没有平方根， 2、式子只有当a≥0时才有意义,因为负数没有平方根. 3.立方根的概念及表示方法 (1)立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．Com]如23＝8，那么2就叫做8的立方根， (2)立方根的表示方法：a的立方根可表示为“”， 读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数． 要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：2的立方根可表示为. 知识点5.2 立方根的性质 (1)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0. (2)开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算． 【专项训练】 1．已知2a+1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+5的算术平方根． 2．如果的平方根是，是的立方根，那么的值是多少？ 3．（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根． （2）已知、满足，求的立方根． 4．已知3是的算术平方根，又是的立方根，求的立方根． 5．已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 6．已知一个正数的两个平方根分别是 和 的立方根是3． 求 的算术平方根． 7．（1）已知与是正数的两个不同的平方根，求的值． （2）已知：的立方根是，的算术平方根是，是整数部分，求的平方根． 8．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 9．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 10．（1）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根． （2）若均为实数，且与互为相反数，求的值． 11．（1）已知的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． （2）若、为实数，且与互为相反数，求的值． 12．已知的平方等于a，b立方等于，的算术平方根为3． （1）写出a，b，c的值； （2）求的平方根． 13．若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n． （1）求的平方根； （2）求的立方根． 14．已知的平方根是，的立方根是2，． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 15．已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是．求的算术平方根． 16．（1）； （2）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 17．已知a为的算术平方根，，，求的值． 18．已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值． 19．已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 20．已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 21．已知1+3a 的平方根是±7 ，2a-b-5立方根-3，c 是的整数部分，求a+b+c的平方根. 22．（1）若x,y为实数，且 求的平方根. （2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 23．已知，且与互为相反数，求的平方根． 24．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 25．已知的立方根是－2，的算术平方根是4，求的平方根． 26．（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 27．已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 28．求值 (1)已知的算术平方根是的立方根是2，求的值； (2)已知一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 29．已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 30．（1）若，求的值． （2）已知5x+19的立方根是4，2y-3的算术平方根是3，求3x-y的平方根． (3)设a、b、c都是实数，且满足 ，求式子x+2x的算术平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$