专题03 勾股定理中的几何最值问题三种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题03 勾股定理中的几何最值问题三种考法全梳理 目录 【考法一、最短路径问题】 1 【考法二、将军饮马型最值问题】 2 【考法三、利用勾股定理构造几何求最值】 4 【课后练习】 6 【考法一、最短路径问题】 例．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（    ） A． B． C． D． 变式1．将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 变式2．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 变式3．如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 【考法二、将军饮马型最值问题】 例1．（基本模型）如图，在中，，，，平分交于点D，点E、F分别在、上，则的最小值为 ． 例2．（进阶模型）如图，中，，，，、分别是、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 变式1．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 变式2．如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作，连接AB，AC，E是线段AD上的一点，且，连接EB，EC，已知，，则的最小值为 ．    变式3．如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为 ．        变式4．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 【考法三、利用勾股定理构造几何求最值】 例．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识应用】 如图1，点为线段上的一点，分别过点作于A，于，连结． （1）若，，，设，用含的代数式表示的长； （2）参照（1）的思想方法，构图求代数式的最小值． 【能力迁移】（3）如图2，正方形中，点在边上，点在边上，且．已知，求的最小值． 变式1．[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比]（2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 变式2．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______，______，______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 变式3．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 【课后练习】 1．如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 2．如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 3．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 4．如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是 ． 5．在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 6．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 7．在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 8．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为 ． 9．在中，，，，点D和E都是边上的动点，且满足，连接．则的最小值为 ．    10．如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ． 11．问题背景：比较和的大小．小松同学在解答这道题时，先建立一个直角三角形，使得，，，延长CB到点D，使得，连接，如图所示，这样借助几何构图，就能解决这道代数问题，我们把这种方法称为构图法． （1）请将和比较大小的结果直接写在横线上______； 方法迁移： （2）若（其中），请利用构图法求出x的值； 拓展应用： （3）若（ ，，且），请直接写出______（用含m的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理中的几何最值问题三种考法全梳理 目录 【考法一、最短路径问题】 1 【考法二、将军饮马型最值问题】 4 【考法三、利用勾股定理构造几何求最值】 12 【课后练习】 20 【考法一、最短路径问题】 例．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱中两点之间的最短距离，勾股定理的运用，掌握圆柱的基础知识，勾股定理求线段是解题的关键．根据题意，把圆柱展开，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，圆柱的展开图中，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短， 最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴，， ∴在中，， ∴， 故选：． 变式1．将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可． 【详解】如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中， 由勾股定理可得：， 即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 变式2．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角中，， ∴ ∴最短路线长为cm. 故答案为：． 变式3．如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 【考法二、将军饮马型最值问题】 例1．（基本模型）如图，在中，，，，平分交于点D，点E、F分别在、上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在AB上取点，使，过点C作，垂足为，先说明可得，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在AB上取点，使，过点C作，垂足为H． ∵AE平分， ∴∠EAF=∠EA， ∵，AE=AE， ∴△EAF≌△EA， ∴， ∴， 当C，E，共线，且点与H重合时，的值最小 在中，依据勾股定理可知， ∵ ， 的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是利用垂线段最短解答最短路径问题． 例2．（进阶模型）如图，中，，，，、分别是、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路径，勾股定理，全等三角形等知识，解题的关键是根据，把拼接到，连接交于点，根据全等三角形的性质，则，，，，根据运动轨迹，当点与点重合时，点，，三点共线，即有最小值，，过点作的延长线交于点，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】∵ ∴把拼接到，连接交于点， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，点，，三点共线，即有最小值， ∴， 过点作的延长线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 变式1．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：    由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示：    由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ，， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点，， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到，的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 变式2．如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作，连接AB，AC，E是线段AD上的一点，且，连接EB，EC，已知，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取，可证，得到，因此，当与在同一直线时，为最小，过点作，交的延长线于点F，构造出，利用勾股定理求出的长，从而得到的最小值． 【详解】如图，延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取    ∵，且 ∴， ∵， 又 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 如下图，当与在同一直线时，为最小 过点作，交的延长线于点F    ∵，， ∴四边形为矩形 ∴， ∴ ∴在中， ∴的最小值为，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查两点之间线段最短，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 变式3．如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为 ．        【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求点，过点作的延长线于点，则的长即为的最小值，利用勾股定理即可求出的长即的值，延长交于点，当移动到点时，值最大，过点作，利用勾股定理即可求出的长即的值，最后求出结果即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，    则点即为所求点， 过点作的延长线于点，则的长即为的最小值为， ，， ， ， 的最小值为， 如图，延长交于点，   ，， 当移动到点时，值最大， ，， 过点作，则，， ， ， 的最大值为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键． 变式4．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得，再证明，从而得到，然后根据，可得，然后根据勾股定理可得，再由当时，与重合，则最大为，即可．作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，，，是的中点，， 在和中，，，， ，四边形是长方形，，， ， 在中，，，，， 在中，，，， 在中，， 当时，与重合，则最大为，即的最大值为，故答案为：． 【考法三、利用勾股定理构造几何求最值】 例．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识应用】 如图1，点为线段上的一点，分别过点作于A，于，连结． （1）若，，，设，用含的代数式表示的长； （2）参照（1）的思想方法，构图求代数式的最小值． 【能力迁移】 （3）如图2，正方形中，点在边上，点在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）（2）13（3） 【分析】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）根据勾股定理分别列代数式表示即可得出结论； （2）作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值． （3）作，垂足为H，证明，设，则，得出，根据（2）中方法得出结论 【详解】解：（1），，，，，设， 在中，， 在中，， ； （2）如右图所示，作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C， 设，则的长即为代数式的最小值． 过点A作交的延长线于点F，得矩形， 则， 所以， 即的最小值为13； （3）作，垂足为H， 在正方形中，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 与（2）同理得：最小值为． 变式1．[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解． ②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． （2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】和是直角三角形，， 在中，，，， 在中，，，， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式2．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 变式3．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想 （1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可． （2）当时，，利用勾股定理计算即可． （3）根据得， 构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 【详解】（1）根据题意，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）根据题意，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 故． （3）根据得， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 【课后练习】 1．如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、勾股定理，过点B作，且，作于点，交的延长线于点，证得，推出，可得，求出即可求解，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点B作，且，作于点，交的延长线于点，如图： , , 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 的最小值， 故选B． 2．如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查最短路径，勾股定理，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可解答，在线段BC找到点H到点E和点F的距离之和最小是解题的关键． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，    点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 则在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足 故选：D． 3．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，先证明△QBM≌△PAC，得到MQ=CP，则AQ+CP=AQ+MQ，当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，利用勾股定理求出AM的长度，即可得到答案． 【详解】解：如图，作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM， ∴∠QBM+∠ABC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠PAC+∠ABC=90°， ∴∠QBM=∠PAC， ∵BM=AC，AP＝BQ， ∴△QBM≌△PAC（SAS）， ∴MQ=CP， ∴AQ+CP=AQ+MQ， 在△AQM中，AQ+MQ>AM， 当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM， ∴AQ+CPAM， ∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出有最小值的临界条件，从而进行解题． 4．如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 构造，，证明，则最小值等于最小值，易得当点在线段上时最小，易得时，的值最小． 【详解】 解：如图，作，， ， ，， 易得当点在线段上时最小， 即点在线段上， 易得时，的值最小， 此时． 故答案为：2.4． 5．在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 6．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论． 【详解】如图，取的中点，连接，． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是依据题意作出辅助线． 7．在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，利用互余可证得，，进而证明，得，，利用，可得，由勾股定理可得，可知，即可求得，由题意可知，进而可证，得，由，当点在上时，取等号，即可求解． 【详解】解：∵，，，则， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 则，， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取等号， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，添加辅助线构造，得，将转化为是解决问题的关键． 8．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接CE，过点C作于点H，首先证明，可推导，，再证明，在中，由勾股定理计算，然后借助三角形面积求出，根据“垂线段最短”可知，当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，即可获得答案． 【详解】解：连接CE，过点C作于点H，如下图， ∵，即， ∴， ∵AB=AC，AD=AE， ∴， ∴，， ∵∠BAC=90°， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建全等三角形是解题关键． 9．在中，，，，点D和E都是边上的动点，且满足，连接．则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过作，且，连接，，可得，则，即可求解． 【详解】解：过作，且，连接，，如下图：    ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即的最小值为 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角形． 10．如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠可求出，利用勾股定理可求出，由，知当D、F、H、C四点共线时，最大，即可求解． 【详解】解：如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、F、H、C四点共线时，最大，最大值为， 即的最大值是12． 故答案为：12． 11．问题背景：比较和的大小．小松同学在解答这道题时，先建立一个直角三角形，使得，，，延长CB到点D，使得，连接，如图所示，这样借助几何构图，就能解决这道代数问题，我们把这种方法称为构图法． （1）请将和比较大小的结果直接写在横线上______； 方法迁移： （2）若（其中），请利用构图法求出x的值； 拓展应用： （3）若（ ，，且），请直接写出______（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练灵活运用勾股定理进行构造是解决本题的关键． （1）运用两次勾股定理分别求出，最后利用三角形的三边关系证明； （2）构造，使得，，于点D．设，则，，这样就构造出， 再由等面积法即可求出x值； （3）构造解法同（2）． 【详解】（1）在中，，而， ∴在中， ∴在中由，∴， 故答案为：． （2）解：如图，构造，使得，，于点D． 设，则 在中，， 在，， 在中，， ∵， ∴构造出方程：， ∵，， ∴，即． （3）解：构造，使得，，于点D． 设，则 在中，， 在，， 在中，， ∵， ∴构造出方程：， ∵，， ∴，即． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$