专题02 勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题02 勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】 2 【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】 5 【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】 7 【课后练习】 10 【方法归纳】 模型1. 倍长中线模型 模型2. 手拉手模型，如下图： 模型3.三垂直全等模型，如图： 【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】 例．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 变式1．【证明体验】 (1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． 【迁移应用】 (2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长． 变式2．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 变式3．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】 例．如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 变式1．在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点． (1)当点P在线段上时，如图①，求证：； (2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 变式2．如图1，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，连接，并延长交于F．    (1)求证：． (2)若点N与C关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点M，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，求的长． 变式3．如图所示，等腰直角中，． (1)如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：； (2)若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，连结BD，猜想：线段和满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明； (3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，，，则___________． 变式4．【探索研究】已知：和都是等边三角形．    (1)如图，若点、、在一条直线上时，我们可以得到结论：线段与的数量关系为： ，线段与所成的锐角度数为 ； (2)如图2，当点、、不在一条直线上时，中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【灵活运用】 (3) 如图3，某广场是一个四边形区域，现测得：，，且，，试求圆形水池两旁、两点之间的距离． 【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】 例．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】 (3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 变式1．（1）在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出、、之间的数量关系：______． （2）在（1）的条件下，当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． （3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，求的长． 变式2．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【课后练习】 1．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 2．如图，中，，，点是中点，的两边，分别与直线，交于点，，且，连接 (1)如图1，当点，分别在，上时，猜想形状是三角形；线段、、的数量关系是______ (2)如图2，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由． (3)在(2)的条件下， ①连接，直接写出______ ②当时，求的长 3．已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 4．在中，，，点是直线AB上一点，作于点，于点． (1)如图1，点在线段AB上，BH交AC于点，若为MB的中点，，则______； (2)如图2，取AC中点，连接DH． ①若点在线段AB上，求证： ②若点在直线AB上，，，求AB的长． 5．【证明体验】如图1，向外作等边三角形和等边三角形，连接，求证：； 【思考探究】如图2，已知，以为边作等边，连接. 若，，，求的长； 【拓展延伸】如图3，在中，，以为边作等腰，，连接. 若，，直接写出的面积.    6．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 6【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 7．问题探究： 如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：    （1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”） （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； （4）如图3，在中，为的中点，．求证：． 8.（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】 2 【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】 12 【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】 24 【课后练习】 32 【方法归纳】 模型1. 倍长中线模型 模型2. 手拉手模型，如下图： 模型3.三垂直全等模型，如图： 【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】 例．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）线段、，之间的等量关系为： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法证明即可解答； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可； （3）延长到M，使，连接BM，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到点G，使，连结，证明，得到，根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴，故选D； （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴； （3）延长到M，使，连接，    ∵，， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （4）线段之间的等量关系为：． 证明：如图，延长到点G，使，连结，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴． 变式1．【证明体验】 (1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． 【迁移应用】 (2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)长为 【分析】（1）根据证明三角形全等； （2）如图2中，延长到，使得，连接．由（1）可知，推出，，利用勾股定理求出，即可解决问题； （3）如图3中，延长到，使得，连接．证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， 在和中， ， ； （2）解：如图2中，延长到，使得，连接． 由（1）可知， ，， ， ， ； （3）解：如图3中，延长到，使得，连接． 由（1）可知，， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 变式2．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，，解得， ，， 故答案为：． 变式3．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． （1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：点是线段，的中点， ，， 在与中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，如图：   是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中，， ， ，，∴， ，， ，； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图：   为的中点， ， 在与中，，， ，，∴， ，，， ，，， ，，，，， ， ，，． 【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】 例．如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 【答案】证明见解析；； 【分析】（1）要证，由于，是等边三角形，故，，只需要再证明夹角即可． （2）要求的长，根据已知条件以及第一问的启示，需要构造三角形，过点C作且，连接，．证明，可将的长转化为在中求的长，利用勾股定理即可解决． （3）根据前两问的启示，已知，因此需要同样构造三角形，将角和并在一起构造直角三角形．作，且，连接，然后利用三角形全等，以及角度的等量替换即可解决问题． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，， ， ． （2）解：过点C作且，连接，，则，. 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中， ． ． 为直角三角形，在中 , ， ， （3）解：作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， ，， ，且，, ， ， ， 在，又， 为等腰直角三角形，， 设，由于，则， ，， 又， ， ． 【点睛】本题综合考查了三角形的全等，勾股定理，根据图中已知条件，尤其已知条件中直角的信息，构造适当的三角形，掌握转化和化归思想是解决问题的关键． 变式1．在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点． (1)当点P在线段上时，如图①，求证：； (2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)如图②，如图③ 【分析】（1）在上截取，连接，可先证得，则，，进而可证得为等腰直角三角形，即可得证； （2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的，，与 之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取， ， ，． ， ． 又， ， ，． ． 在中，， ； （2）解：如图2，． 在上截取，连接， 由（1）可知， ，， ， 在中，， ， ， ． 如图3，． 延长至点，使得，连接， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 变式2．如图1，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，连接，并延长交于F．    (1)求证：． (2)若点N与C关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点M，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）依据判定，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得出； （2）①依据判定，即可得到，再根据（1）可得，，根据点与关于直线对称，可得，进而得出，即可得到； ②连接，过作，交于，根据，即可得出，再根据，即可得到，最后在中，依据勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， 又中， ∴， 又∵中，， ∴， ∴，即；    （2）①． 证明：∵平分， 在和中， 由（1）可得，， 点N和点C关于直线对称， 垂直平分 即；    ②如图，连接，过作，交于，    由（1）可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴中，． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，折叠的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质的综合运用，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行计算． 变式3．如图所示，等腰直角中，． (1)如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：； (2)若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，连结BD，猜想：线段和满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明； (3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，，，则___________． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，可证明，即可； （2）连接交于点O，连接，根据旋转的性质可得，再证明，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可； （3）过点O作于点O，使，连接，并延长交于点Q，交于点N，先证明，可得，，从而得到，再由，以及等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明∶∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接交于点O，连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点O作于点O，使，连接，并延长交于点Q，交于点N， ∵是等腰直角三角形，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，利用类比思想解答是解题的关键． 变式4．【探索研究】已知：和都是等边三角形．    (1)如图，若点、、在一条直线上时，我们可以得到结论：线段与的数量关系为： ，线段与所成的锐角度数为 ； (2)如图2，当点、、不在一条直线上时，中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【灵活运用】 (3)如图3，某广场是一个四边形区域，现测得：，，且，，试求圆形水池两旁、两点之间的距离． 【答案】（1），；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）圆形水池两旁、两点之间的距离为 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，然后求出，再利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出； （2）证明，得到，，根据，即可解答． （3）如图3，以为边在外侧作等边，连接，由（2）可得：，证明是直角三角形，利用勾股定理求出的长度，即可解答． 【详解】解：（1）设与相较于点, 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中，，， ，， 由三角形的外角性质，，， ； 故答案为： ，；    （2）（1）中的结论仍然成立，如图2，设与相交于点，    和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中，， ，，， ． （3）如图3，以为边在外侧作等边，连接．    由（2）可得：，，是直角三角形 ，，由勾股定理得：，． 圆形水池两旁、两点之间的距离为． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，正确的添加辅助线是解题的关键． 【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】 例．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】 (3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 【答案】(1)DE (2)见解析 (3) (4)2 【分析】（1）利用全等三角形对应边相等，可知； （2）分别过点和点作于点，于点．利用“字”模型证，，同理得出，推出．再证明，推出，即可证明点是的中点； （3）过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M．先证，，推出，，．再证，推出，再通过等量代换证明； （4）同（3）可证， ，由勾股定理解直角可得，等量代换可得，可知，由此可解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：分别过点和点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 即点是的中点； （3）解：如图所示，过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M． ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，． 同理可以证明， ∴，， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （4）解：同（3）中的方法可以证明，且， ． 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查“字”模型的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握“字”模型和类比推理思想． 变式1．（1）在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出、、之间的数量关系：______． （2）在（1）的条件下，当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． （3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，求的长． 【答案】（1）；（2）不成立，理由详见详解；（3）或． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定以及性质，勾股定理的应用． （1）由已知推出，因为，推出，根据可证明，进而得出，，然后由可得到问题的答案． （2）与（1）的解法类似可证出，能推出，得到，，最后得出． （3）作于，作于，同（1）的解法类似可证出，再推出，进而求出，再利用勾股定理推出．进而再利用勾股定理求出． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）不成立，， 理由：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． （3）解：作于，作于， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得或． 变式2．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 中，， ， ，，． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 【课后练习】 1．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【答案】探究发现：详见解析；拓展迁移：①直角三角形；② 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识； 【探究发现】如图1，连接，根据等边三角形的性质证明，得，，进而可以得到以、、为边的三角形是钝角三角形； 【拓展迁移】①连接，，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论； ②由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【详解】探究发现：证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 为钝角三角形， 以、、为边的三角形是钝角三角形； 拓展迁移：①以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下： 如图2，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即以、、为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角三角形； ②由①可知，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 正方形的面积为11.5． 2．如图，中，，，点是中点，的两边，分别与直线，交于点，，且，连接 (1)如图1，当点，分别在，上时，猜想形状是三角形；线段、、的数量关系是______ (2)如图2，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由． (3)在(2)的条件下， ①连接，直接写出______ ②当时，求的长 【答案】(1)等边． (2)是等边三角形成立；不成立，应为 (3)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质； （1）由可证，可得，，可得结论； （2）由可证，可得，，可得结论； （3）①由全等三角形的性质可得，由面积的和差关系可求解； ②由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接，， ，，点是中点， ，，， 点是的中点， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：等边，； （2）是等边三角形仍然成立，不成立，理由如下： 如图2，取的中点，连接，， ，，点是中点， ，， 点是的中点， ， 是等边三角形， ，， ∴， ， ，， 是等边三角形， ， ； （3）①，， ， ， ， 故答案为： ② ． 3．已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，证明即可得到； ②由全等可得，，从而得出，再由勾股定理即可得到答案； （2）连接，，证明即可得到，，从而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）分两种情况：当点在点的左侧时，连接；当点在之间时，连接，类比（2）证明，分别利用三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，   ∴， 故答案为：； （3）解：如图，当点在点的左侧时，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在之间时，连接，    同理可证得：， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 4．在中，，，点是直线AB上一点，作于点，于点． (1)如图1，点在线段AB上，BH交AC于点，若为MB的中点，，则______； (2)如图2，取AC中点，连接DH． ①若点在线段AB上，求证： ②若点在直线AB上，，，求AB的长． 【答案】(1) (2)①见解析② 【分析】（1）在上截取，连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，，根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定推出，根据线段的和差即可得解； （2）①连接，根据垂直的定义及直角三角形的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，根据等腰直角三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，利用证明，根据全等三角形的性质推出，，进而推出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得解；②证明得设可得，由列方程求出x的值即可求解． 【详解】（1）如图1，在上截取，连接，    ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②由①知， , , 又 又， ， 设可得， 由勾股定理得， ， 解得， ． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练运用等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 5．【证明体验】如图1，向外作等边三角形和等边三角形，连接，求证：； 【思考探究】如图2，已知，以为边作等边，连接. 若，，，求的长； 【拓展延伸】如图3，在中，，以为边作等腰，，连接. 若，，直接写出的面积.    【答案】证明体验：见解析；思考探究：；拓展延伸：12 【分析】（1）证明, 由全等三角形的性质得出； （2）以为边作等边, 过点作交的延长线于点, 证明, 由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； （3）将绕点逆时针旋转得到, 连接, 则,, 求出, 过点作于, 于, 得出, 则可得出答案. 【详解】解：（1）和都是等边三角形 ,, ，即 在和中 . （2）如图，以为边作等边，过点E作交的延长线于点F，则 ，， 等边， ，， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， . （3）12 ， 将绕点A逆时针旋转得到，连接， 则，， ； ， ； ； ； ， ； 过点A作于F，于G. 四边形为矩形， ， . 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 6．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 6【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）①，证明见解析；②；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等： （1）连接，证明，得到，则，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）①如图所示，过点C作交延长线与F，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，，得到，则，由勾股定理即可得到；②如图所示，过点C作于G，则，进而得到，再求出，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H证明，得到，在中，，则，可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时， ∵点O为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）①，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线与F，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， ∴； ②如图所示，过点C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．问题探究： 如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：    （1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”） （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； （4）如图3，在中，为的中点，．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算； （3）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到，使，连接、，，得到，，再根据勾股定理解答． 【详解】（1）是中线， ， 又，， ， 故答案为：； （2）， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接．    ∵是的中线 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （4）证明：延长到，使，连接、．    ∵为的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 8.（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用， （1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ②由①得：△， ∴； 故答案为：①；②． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，=， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$