专题01 勾股定理与折叠问题两种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题01 勾股定理与折叠问题两种考法全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、三角形翻折问题】 1 【考法二、四边形翻折问题】 8 【课后练习】 15 【方法归纳】 1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等； 2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解； 3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案 【考法一、三角形翻折问题】 例．如图，纸片中，，点在边上，以为折痕折叠得到与边交于点．若为直角三角形，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．2或5 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得的长，由翻折的性质可知：，，然后分和，两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：∵纸片中，，∴， ∵以为折痕折叠得到，∴，． 如图1所示：当时，过点作，垂足为F．则四边形是矩形， ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得： ，即． 解得：，（舍去）． ∴． 如图2所示：当时，C与点E重合． ∵，，∴． 设，则． 在中，，即． 解得：． ∴． 综上所述，的长为2或5． 故选D． 【点睛】本题考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 变式1．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=5， 由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6， ∴BD=DE， 作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G， ∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC， ∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC， ∵DE=DE，∴△DHE≌△EGD，∴DH=EG，EH=DG， 设DG=x，则CG=5-x，∵=， ∴，∴，∴，∴BE=2EH=， 故选：C. 【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度. 变式2．如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 变式3．如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 【答案】或3． 【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点E只能落和上，分别画出图形，进行分析，利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，， ①如图，设边中点为M，连接， ，， 当E在上时， 由折叠可知，，，， ， 在中， ，即：，解得： ②如图，设边的中点为N，连接， 当E点落在上时，，， 由折叠可知，， 四边形是正方形 ③如图，设、中点分别为M、N，作射线， ， 点D到的距离为 由折叠可知， 故E点不可能落在上, 综上所述，故答案为：或3． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键． 变式4．在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 【考法二、四边形翻折问题】 例．在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理等知识．注意分类讨论．由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当在上时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ， 当在上时，是直角三角形，如图1所示：    设， 由翻折的性质得：， ， ， 在中， ， 解得：，即， ； 当在上时，是直角三角形，如图2所示： 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴．    综上，的长为或7． 故选：C． 变式1．如图，已知矩形纸片的两边长分别为，，点是边上的动点，将纸片沿直线折叠，点落到处，设，当点恰好在矩形纸片的对称轴上时，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查翻折变换的知识点．分三种情形分别画出图形解决问题即可． 【详解】 解：由折叠的性质得，，， ①如图1中，当点落在矩形的对称轴上时， 连接， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ; ②如图2中，当点落在矩形的对称轴上时， 在中，， 在中，， ，； ③如图3中，当点在的下方时， 同法可得：， ， 故答案为：或或． 变式2．如图，长方形纸片，，点P在边上，将沿折叠，点C落在E处，，分别交于点O，F，且，则长为 ． 【答案】/ 【分析】折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 设，则：，， ∴， 在，，即：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 变式3．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可． 【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，， ①如图1，当点E在线段CD上时， ∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴在中，； ②如图2，当点E在射线CD上时， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴在中，． 综上所述，AE的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 变式4．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5；(2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 【课后练习】 1．如图，中，，，，将边沿翻折，使点     落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得, ，根据，可得，根据勾股定理可求得，由折叠的性质可得，可得,即可得出结论． 【详解】解：中，， ， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ， ， ，即， ， 即， ， 在中， ， 根据折叠的性质可得：， ， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ， ， 且， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，等面积问题，，根据折叠的性质求出，是解本题的关键． 2．如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵折叠， ∴， 当为直角三角形时，分两种情况， ①当时，过点作，交的延长线于点， 则四边形为长方形， ∴， 设，则：， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； ∴； ②当时，此时点与点重合，如图： ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴， 综上：或； 故答案为：或． 3．如图，在中，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，过F作于点G．先求出，．则，所以，设，则，，在中，，利用勾股定理解列出，解得，即求出． 【详解】解：过F作于点G． ∵， ∴，． ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 5．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与重合，点落在点处．若长方形的长为8，宽为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】设，则，依据勾股定理列方程，即可得到和的长；过作于，依据面积法即可得到的长，进而得出阴影部分的面积． 【详解】解：由长方形与折叠可得，，，，    设，则， 在中，， ， 解得， ，； 如图所示，过作于， ，，，且， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 6．如图，在中，，，，延长至，使得，将沿翻折，使点落点处，连接，求的长 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．连接交于点，由折叠的性质得出，，由勾股定理求出的长，则可由勾股定理求出的长． 【详解】解：连接交于点，    将沿翻折，使点落点处， ，， ，， ，， ， 设，则， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，即， 故答案为：． 7．如图，在中，，是上的一点，连接．将沿折叠，使点落在处，且于点，若，．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，全等三角形的性质与判定；根据折叠的性质得，得出，进而证明，得出，过点作于点，勾股定理求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵将沿折叠，使点落在处， ∴ ∴ 设，，则， ∴ 又∵折叠， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 如图所示，过点作于点， ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 8．如图，等腰△ABC，AB=AC=5，BC=8，点D为BC上一点，且BD=AB，连接AD，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE，则BE的长为 ．    【答案】 【分析】过A作于点F，，，依据三角形外角的性质、等边三角形的等边对等角的性质、翻折的性质，得到用SAS证明≌的条件，依据全等的性质得到，最后用勾股定理求即可. 【详解】解：过A作于点F，    ∵等腰△ABC，AB=AC=5， ∴设，，,, ∴, ∵BD=AB=5， ∴， ∵将△ACD沿AD翻折得到△AED， ∴,AE=AC=5， ∴, ∴在和中 ∴≌（SAS） ∴ ∴在中，，，, ∴, ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、等边三角形的等边对等角的性质、翻折的性质、全等的判定与性质、勾股定理，证明全等转移目标、构造直角三角形是解题的关键. 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据折叠性质和余角定理可知△CEF是等腰直角三角形，△B′FD是直角三角形，运用勾股定理求出DF和B′F的值，再求出∠B′FD是直角，即可得出B′DF的面积． 【详解】解：连接DF，如图： 根据折叠的性质可知，CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB， ∴B′D＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝45°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF＝CE，∠EFC＝45°， ∴∠BFC＝∠B′FC＝135°， ∴∠B′FD＝90°， ∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE， ∴AC•BC＝AB•CE， ∵根据勾股定理求得AB＝5， ∴CE＝， ∴EF＝，ED＝AE＝＝， ∴AD＝2×＝，DF＝EF﹣ED＝， ∴B'F＝BF＝AB﹣AD﹣DF＝， ∵∠B＝∠B′，∠A＝∠CDE＝∠B′DF， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠B′+∠B′DF＝90°， ∴∠B′FD＝180°﹣（∠B′+∠B′DF）＝180°﹣90°＝90°， ∴S△B′DF＝DF•B′F＝×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠性质与勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠性质及勾股定理，运用等面积法求出CE的值． 10．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】当时，过点作于，可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】过点作于， 在中，，，， ∴ ∵， ， 在中， ∴， 当时，如图    由折叠性质可知，， 又 ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即，解得：， 即的长为；综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理与折叠问题两种考法全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、三角形翻折问题】 1 【考法二、四边形翻折问题】 2 【课后练习】 4 【方法归纳】 1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等； 2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解； 3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案 【考法一、三角形翻折问题】 例．如图，纸片中，，点在边上，以为折痕折叠得到与边交于点．若为直角三角形，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．2或5 变式1．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 变式2．如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 变式3．如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 变式4．在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【考法二、四边形翻折问题】 例．在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 变式1．如图，已知矩形纸片的两边长分别为，，点是边上的动点，将纸片沿直线折叠，点落到处，设，当点恰好在矩形纸片的对称轴上时，则的值为 ． 变式2．如图，长方形纸片，，点P在边上，将沿折叠，点C落在E处，，分别交于点O，F，且，则长为 ． 变式3．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 变式4．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【课后练习】 1．如图，中，，，，将边沿翻折，使点     落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 3．如图，在中，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ． 4．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 5．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与重合，点落在点处．若长方形的长为8，宽为4，则阴影部分的面积为 ．    6．如图，在中，，，，延长至，使得，将沿翻折，使点落点处，连接，求的长 ．    7．如图，在中，，是上的一点，连接．将沿折叠，使点落在处，且于点，若，．则线段的长为 ． 8．如图，等腰△ABC，AB=AC=5，BC=8，点D为BC上一点，且BD=AB，连接AD，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE，则BE的长为 ．    9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则的面积为 ． 10．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    11．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$