第09讲 等腰三角形的轴对称性（10大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第09讲 等腰三角形的轴对称性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．探索等腰三角形的轴对称性的过程； 2．探索并证明等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理； 3.会利用基本作图作三角形。 1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？ 几何语言说明：由题意得AB=AC，∠BAD=∠CAD， 在▲ABD和▲ACD中， ∴▲ABD≌▲ACD（SAS） 所以三角形ABD和三角形ACD重合。 所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。 由此可以发现，等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 并且得到下面定理： （1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”） 几何语言：∵AB=AC ∴∠B=∠C （2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一） 几何语言： （1） 已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言： ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ∴AD⊥BC，BD＝CD （2） 已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言： ∵AB＝AC，BD＝CD ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC （3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言： ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD 2. 按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。 作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D； （3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。 3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． 方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C， ∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC． 方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90° ，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC． 因此，可以得到有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 几何语言：∵∠B＝∠C∴AB=AC 4.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？ 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？ 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。 证：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B ∴∠A=∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C =60° 因此，等边三角形的各角都等于60°。 几何语言：∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C =60° 5.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？ 已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC 证：∵∠A=∠C，∠A=∠B ∴AB=BC，BC=CA ∴AB=AC=BC ∴▲ABC是等边三角形 因此，三个角都相等的三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，AB=AC ∴∠B=∠C= =60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 因此，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等边三角形 6.两个斜边的一半 （1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证： 证：延长CB到点D，使得BC=BD，连接AD。 ∵BC=BD,BC+BD=CD ∴ ∵∠B=90°，BC=BD ∴AD垂直平分 ∴AC=AD ∵∠BAC=30°，∠ABC=90° ∴∠C=60° ∵AC=AD ∴▲ACD是等边三角形 ∴CD=AC ∵ ∴ 因此，30°对应的直角边等于斜边的一半。 几何语言：∵∠B=90°，∠A=30°∴ （2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD 证： ∵∠ABC=90° ∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90° ∵BD=CD ∴∠C=∠CBD ∴∠A=∠AB ∴AD=BD ∵BD=CD，AC=AD+CD ∴AC=2BD ∴ 因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：∵∠ABC=90°，D是AC中点 ∴ 考点一：等边对等角 例1．等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-1】如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 【变式1-3】如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 考点二：根据等边对等角证明 例2．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【变式2-3】如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1) ； (2)平分． 考点三：三线合一 例3.如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 【变式3-1】如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-2】如图，在中，平分于点于点，则 ． 【变式3-3】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 考点四：根据三线合一证明 例4．如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 【变式4-1】如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】如图，等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于 ． 【变式4-3】如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 考点五：等角对等边 例5．如图，在中，，，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点G．若，则长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-2】如图，，F为的中点，，则的长为 ． 【变式5-3】如图，在中，的平分线交于点F，过点F作分别交于点D，E．若的周长为20，，求的周长． 考点六：根据等角对等边证明 例6. 如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式6-1】下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 【变式6-2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点．若，，则的长是 ． 【变式6-3】如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）． (1)尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)求证：． 考点七：等边三角形的性质 例7．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 【变式7-3】已知，如图，为等边三角形，，、相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长． 考点八：等边三角形的判定 例8．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的每一个角都等于 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【变式8-1】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 【变式8-2】已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【变式8-3】阅读材料：若，求m，n的值． 解：，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_______， _______； (2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长． (3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 考点九：含30°角的直角三角形 例9. 如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在矩形中，，连接，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．若平分，，则 ． 【变式9-3】如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 考点十：斜中定理 例10. 一直角三角形斜边上的中线长是，则斜边的长（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的中线长为 ． 【变式10-3】综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 1．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 2．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它第三边是（   ） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 3．一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（　　） A．13 cm B．17 cm C．7 cm或13 cm D．不确定 4．如图，已知在中，，，根据图中尺规作图痕迹，（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6．在等腰三角形中，，（如图，一个含30度角的直角三角板的一直角边与边重合，斜边经过的顶点A），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①；②，③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 ． 10．如图，在中，，，则 ． 11．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为 ． 12．如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 13．如图，，是正六边形的两条对角线，则的大小为 ． 14．如图，已知在四边形中，，平分交于点，于点，于点，，，则的面积为 ． 15．如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ． 16．已知正方形，点是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点，当最小时， ． 17．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． 18．如图，在中，，是的平分线，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 20．如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 21．数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 22．【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 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三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？ 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。 证：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B ∴∠A=∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C =60° 因此，等边三角形的各角都等于60°。 几何语言：∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C =60° 5.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？ 已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC 证：∵∠A=∠C，∠A=∠B ∴AB=BC，BC=CA ∴AB=AC=BC ∴▲ABC是等边三角形 因此，三个角都相等的三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，AB=AC ∴∠B=∠C= =60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 因此，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等边三角形 6.两个斜边的一半 （1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证： 证：延长CB到点D，使得BC=BD，连接AD。 ∵BC=BD,BC+BD=CD ∴ ∵∠B=90°，BC=BD ∴AD垂直平分 ∴AC=AD ∵∠BAC=30°，∠ABC=90° ∴∠C=60° ∵AC=AD ∴▲ACD是等边三角形 ∴CD=AC ∵ ∴ 因此，30°对应的直角边等于斜边的一半。 几何语言：∵∠B=90°，∠A=30°∴ （2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD 证： ∵∠ABC=90° ∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90° ∵BD=CD ∴∠C=∠CBD ∴∠A=∠AB ∴AD=BD ∵BD=CD，AC=AD+CD ∴AC=2BD ∴ 因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：∵∠ABC=90°，D是AC中点 ∴ 考点一：等边对等角 例1．等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数， 做题时要注意分情况进行讨论． “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 分两种情况进行讨论，即可求解 ． 【详解】解： 本题可分两种情况： ①当角为底角时， 顶角为； ②角为等腰三角形的顶角； 因此这个等腰三角形的顶角为或． 故选：B． 【变式1-1】如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．根据题意，由垂直平分线的性质和直角三角形的性质，求出，然后求出的度数． 【详解】解：根据题意，垂直平分， ∴点D是的中点，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证； （）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点二：根据等边对等角证明 例2．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 【变式2-1】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质． 根据等腰三角形的性质得到，证明，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式2-2】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．连接，根据三角形内角和定理，得出，再结合角平分线的定义，得到，由折叠的性质可知，，，从而得出，，即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为． 【变式2-3】如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1) ； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意知，，，如图，延长到使，连接，证明，则，，，由，，可得，证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，，则，进而结论得证． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， 如图，延长到使，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形外角的性质，等边对等角．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形外角的性质，等边对等角是解题的关键． 考点三：三线合一 例3.如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，据此作答即可． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 故选：A． 【变式3-1】如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式3-2】如图，在中，平分于点于点，则 ． 【答案】2.6 【分析】本题考查等腰三角形中求线段长，涉及等腰三角形性质、三角形面积等知识，由等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式代值列方程求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，平分， 是的中线，则， ，即， ， ， 故答案为：2.6． 【变式3-3】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理： （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一性质即可证得结论； （2）由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴AD⊥BC； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点四：根据三线合一证明 例4．如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 【答案】D 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，进而可得是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，． 【详解】解：，则 ，则 ，故A结论正确； 根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故C结论正确；D结论错误； ， ，故B结论正确； 故选：D． 【变式4-1】如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：连接，    ∵，点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， 故选：B． 【变式4-2】如图，等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质，则，求出，即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识，过作垂直于于点，由，利用三线合一得到为中点，同理得到为中点，利用等式的性质变换后可得证，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 【详解】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 考点五：等角对等边 例5．如图，在中，，，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点G．若，则长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图——基本作图，等腰三角形的判定和含直角三角形的性质． 根据作法可知，为的平分线，由，，则，，即可得出，然后利用含直角三角形的性质，即可解答．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作法可知，为的平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-1】如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选A． 【变式5-2】如图，，F为的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．先证明和是等腰三角形，再证明，设，则，根据，列方程可得结论． 【详解】解：，， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【变式5-3】如图，在中，的平分线交于点F，过点F作分别交于点D，E．若的周长为20，，求的周长． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出，则，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵在中，的平分线交于点F， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴． 的周长， 由，得的周长为． 考点六：根据等角对等边证明 例6. 如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出，，可得，即．中，根据角所对直角边等于斜边的一半，可求得，由此可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-1】下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵， ∴ ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴ ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点．若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查等角对等边及垂直平分线的性质，根据，得到， 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 故答案为：2． 【变式6-3】如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）． (1)尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作垂线和角平分线以及等腰三角形的判定． （1）根据垂线的作法和角平分线的作法作图即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质得到，再由等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）如图，即为所求的垂线． 即为所求的角平分线． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵AF为的平分线， ∴， ∴， ∴． 考点七：等边三角形的性质 例7．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边得，根据对等角相等，得，结合，得，解答即可． 本题考查了对等角相等，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线性质，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵对顶角相等，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【变式7-1】如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线线有关的内角和计算以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，再根据等边对等角得出，利用三角形内角和可得出，最后利用角的和差关系即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，为角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-2】如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 【答案】/84度 【分析】由等边三角形的性质得，由邻补角得，再由翻折的性质得：，，从而，，再利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，邻补角性质，折叠的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式7-3】已知，如图，为等边三角形，，、相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，结合三角形外角的定义及性质即可得出答案； （3）由含角的直角三角形的性质得出，再由即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点八：等边三角形的判定 例8．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的每一个角都等于 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查逆命题真假判断，涉及不等式的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定等，先根据题设、结论写出每个选项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A选项的逆命题为“若，则”，当时不成立，因此该逆命题是假命题，不合题意； B选项的逆命题为“若三角形每一个角都等于，则这个三角形是等边三角形”，该逆命题是真命题，符合题意； C选项的逆命题为“若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不合题意； D选项的逆命题为“若，则”，该逆命题是假命题，不合题意； 故选B． 【变式8-1】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，不符合题意； B、有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意； C、有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意； D、三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形． 【详解】解：∵中，，，于点， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等边三角形． 故答案为：等边 【变式8-3】阅读材料：若，求m，n的值． 解：，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_______， _______； (2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长． (3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，1； (2)9； (3)三角形为等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查配方法的应用，解题关键是掌握完全平放式的非负性，熟练掌握配方法． (1)(2)(3)都是用完全平方公式进行配方，再利用偶次方的非负性得平方为0的数只有0，从而分别得解. 【详解】（1）解：由：，得： ， ， ， ， ， ，． 故答案为：； 1． （2）解：由得： ， ， ， ，； 已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知， 的周长为9． （3）解： 由， 配方可得， 即， ， ，     三角形为等边三角形. 考点九：含30°角的直角三角形 例9. 如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到闸机的通道宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于，    则中，，， ， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 闸机的通道宽度为， 故选：B． 【变式9-1】如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质证明三角形全等．由题可证，，则，由直角三角形的性质得，，因为，所以． 【详解】解：， ， ， 同理， 又，， ，，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式9-2】如图，在矩形中，，连接，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．若平分，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先证明，再证明是的垂直平分线，然后得出，再证明得出，最后根据直角三角形角的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F， 是的垂直平分线， ，， ，， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故答案为：4． 【变式9-3】如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 考点十：斜中定理 例10. 一直角三角形斜边上的中线长是，则斜边的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是明确直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，直接计算即可． 【详解】∵一直角三角形斜边上的中线长是， ∴斜边的长为． 故选：B． 【变式10-1】如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质可得，然后结合，由求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式10-2】直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形中斜边上的中线．勾股定理求出斜边的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半即可得解． 【详解】解：由勾股定理，得：直角三角形的斜边， ∴斜边上的中线长为； 故答案为：． 【变式10-3】综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【答案】(1)①，② (2)①；②， (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先得出，进而判断出，即可得出结论； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出，再判断出，即可得出结论． （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①，② （2）解：同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）得： ， ∵均为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积＝的面积+的面积 ； 1．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中线与斜边的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 故选：D． 2．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它第三边是（   ） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据等腰三角形的两腰相等，以及三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵当腰长为4cm时，，无法构成三角形，不符合题意； ∴腰长为9cm， ∴第三边为9cm； 故选C． 3．一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（　　） A．13 cm B．17 cm C．7 cm或13 cm D．不确定 【答案】B 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，验证各种情况是否能构成三角形是解题的关键．题中没有指出哪个底哪个是腰，应该分情况进行分析，应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形． 【详解】 解：当3cm是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当7cm是腰时，周长． 故它的周长为17 cm． 故选：B． 4．如图，已知在中，，，根据图中尺规作图痕迹，（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握角平分线定义和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由作图得垂直平分，平分，根据角平分线定义和线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由作图痕迹可知：是的平分线． ， 为线段的垂直平分线， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出即可． 【详解】解：∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∵，平分， ∴， ∴ 故选：C 6．在等腰三角形中，，（如图，一个含30度角的直角三角板的一直角边与边重合，斜边经过的顶点A），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ， ， ， ∴， 故选：B．    7．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①；②，③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据得，得到，结合，可判断①；根据得,无法确定，可判定②错误；根据，得，过点，垂足分别为G，H，结合平分得；结合,得到；结合,得到；继而得到，利用等腰三角形的三线合一性质，可判定③正确； 作平分交于点G，结合，得到，证明得到，结合，等量代换可得 ，可判定④正确． 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， 故①正确； 若， ∴,无法确定， 故②错误； ∵　， ∴， 过点，垂足分别为G，H， ∵平分， ∴； ∴, ∴； ∴, ∴； ∴， ∴， 故③正确； 作平分交于点G，∵， ∴， ∵ ∴，∴， ∵， ∴， ∴④正确． 故选C． 8．如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，先利用证明即可判断①；根据全等三角形的性质得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出，即可判定③，证明，得出，，进而可证明是等边三角形，即可判定④，可求，，则可判断，则可判定②． 【详解】解∶∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴，故④正确， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误， 故选∶C． 9．已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的周长，根据等边三角形的三条边相等求解． 【详解】解：∵等边三角形的三边相等， ∴周长为． 故答案为6． 10．如图，在中，，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据可得，再根据等腰三角形的性质即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质．由等边对等角结合三角形内角和定理求得，由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得：为直线的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定义斜边一半的性质是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 13．如图，，是正六边形的两条对角线，则的大小为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了多边形的内角，根据正六边形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论，熟练掌握正六边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，已知在四边形中，，平分交于点，于点，于点，，，则的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，添加辅助线应用角平分线的性质是解题的关键．过作于，则，即可求出的面积，证明是的中线，由三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于， 而， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 是边上的中线， ． 故答案为：． 15．如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】128 【分析】根据等边三角形的性质得可得，，再根据，可知，进而求出，然后根据等边三角形的性质说明，可知各角之间的关系，进而得出，即可得出规律，再根据规律得出答案. 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∴. ∵ ∴ 又∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵、是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 以此类推：的边长为， ∴的边长为：． 故答案为：128． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等，弄清各边的规律是解题的关键． 16．已知正方形，点是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点，当最小时， ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．以为边作等边三角形，证明，得到，则点在垂直于线段的直线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：以为边作等边三角形，如图，连接，    ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴点在垂直于线段的直线上， 当时，取得最小值，此时， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边对等角，平行线的性质， 根据平行线的性质得到，然后由等边对等角得到，，然后等量代换求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在中，，是的平分线，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线 （1）根据角平分线的性质可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证； （2）由（1）可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （2）取格点，连接，取的中点，连接交一点，线段即为所求； （3）取的中点，连接，取格点，连接，取的中点，连接，作的角平分线，交于点，连接，延长交于点，点即为所求（可以证明，，再利用三角形的外角的性质证明． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点即为所求． 20．如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】（1）由，平分，可得，即，根据，求解即可； （2）由平分，可得，则，，由，，可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质是解题的关键． 21．数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等： （1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到； （2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． （3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：由①可知， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵，, ∴， ∴， ∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①90度；②2；（3）6 【分析】（1）先证明，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）①同（1）证明即可；②过点A作，垂足为M，先证明，再根据等腰直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接，同（1）得，，可得，再证明，，由平行线间距离处处相等得出，再根据，得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）①∵， ∴， 即， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，垂足为M，    ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）连接，    同（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴同底等高，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$