第14讲 实数（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第14讲 实数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解实数的概念，知道无理数是客观存在的； 2．知道实数与数轴上的点一一对应； 3. 会用计算器比较实数的大小，进行简单的实数的运算。 1.（1）如图，试着就算，你能说出 的值吗？ （2）你可以画出长度为的线段吗？ 要去想，所以构造以1cm、3cm为直角边的是直角三角形即可；求一下后面两个数。 （3）可以画出半径为1cm的圆，求出它的周长和面积吗？ 周长为2Πcm； 面积为Πcm²。 因此，想上面含有根号、含有Π的数都是无理数。 有理数和无理数统称为实数。 无理数也可以在数轴上面表示出来。如图A表示的数为 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点一一对应。 2. （1）实数a的相反数是-a； （2）一个正实数的绝对值是是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0； （3）乘积为1的两个实数互为倒数。 3.有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数大小比较的方法，有理数的运算性质、运算律，在实数范围内都仍然适用。在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开立方运算。 4.实数的大小比较：任意两个实数 都可以比较大小，正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数中绝对值大的反而小。 5.比较大小 （1） （2） 平方法： 倒数法： 考点一：实数的概念 例1．实数的倒数是（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】下列命题中是真命题的是（   ） A．实数包括正实数和负实数 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等 D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对 【变式1-2】判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 【变式1-3】把下列实数表示在如图所示的数轴上，并比较它们的大小．（用“<”连接） ，，0，，，． 考点二：实数的分类 例2．下列说法正确的是（    ） A．无理数是无限小数，无限小数是无理数 B．是无理数 C．实数包括正实数和负实数 D．带根号的数都是无理数 【变式2-1】如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数 C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数 【变式2-2】在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ；无理数有 ．（填写序号） 【变式2-3】已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的平方根． 考点三：实数的大小比较 例3. 比大，比小的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】比较大小： 9（填“”，“”或“”）． 【变式3-3】计算： (1) (2) 考点四：无理数的估算 例4．已知，则估计a的值应在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【变式4-1】点在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【变式4-2】已知，则整数n的值是 ． 【变式4-3】运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．    (1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围； (2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 考点五：实数的混合运算 例5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算： ． 【变式5-3】计算： (1) (2) 考点六：程序下的运算 例6. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的值是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 【变式6-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ． 【变式6-3】如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它放进一个如图2的底面正方形边长为，高为的长方体的盒子里． (1)这个魔方底面圆的直径是多少？ (2)它能放进去吗？为什么？ 1．下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D． 2．公元前年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上与表示的点距离最近的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4．我们定义：若一个三角形的两个内角与，满足，则这样的三角形称为“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 7．如果，表示的整数部分，则（　　） A． B． C． D． 8．观察下列等式： ， ， ， … 将以上等式相加得到 ． 用上述方法计算：其结果为（　　　） A． B． C． D． 9．在实数，，，中，最小的无理数是 ． 10．、为两个连续的整数，，则 ． 11．写出比大且比小的整数是 ． 12．用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 13．已知，则的整数部分为 ． 14．已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以为两边的直角三角形的第三边的长度是 ． 15．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 16．把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，2013，，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 整数集合{                                  }； 非负数集合{                                }； 分数集合{                                   }； 无理数集合{                                    }． 17．【阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 18．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题： (1)若m，n为有理数，且，求m，n的值； (2)若m，n为有理数，且，求的立方根； (3)若m，n为有理数，且，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 实数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解实数的概念，知道无理数是客观存在的； 2．知道实数与数轴上的点一一对应； 3. 会用计算器比较实数的大小，进行简单的实数的运算。 1.（1）如图，试着就算，你能说出 的值吗？ （2）你可以画出长度为的线段吗？ 要去想，所以构造以1cm、3cm为直角边的是直角三角形即可；求一下后面两个数。 （3）可以画出半径为1cm的圆，求出它的周长和面积吗？ 周长为2Πcm； 面积为Πcm²。 因此，想上面含有根号、含有Π的数都是无理数。 有理数和无理数统称为实数。 无理数也可以在数轴上面表示出来。如图A表示的数为 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点一一对应。 2. （1）实数a的相反数是-a； （2）一个正实数的绝对值是是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0； （3）乘积为1的两个实数互为倒数。 3.有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数大小比较的方法，有理数的运算性质、运算律，在实数范围内都仍然适用。在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开立方运算。 4.实数的大小比较：任意两个实数 都可以比较大小，正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数中绝对值大的反而小。 5.比较大小 （1） （2） 平方法： 倒数法： 考点一：实数的概念 例1．实数的倒数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义可直接进行求解． 【详解】解：∵ ∴实数的倒数是， 故选：C． 【变式1-1】下列命题中是真命题的是（   ） A．实数包括正实数和负实数 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等 D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是判断命题的真假、实数的定义、数轴上的点与实数的关系、全等三角形的性质与判定，解题关键是能够根据实数的定义、数轴上的点与实数的关系、全等三角形的性质与判定判断命题真假．根据实数的定义可得A选项错误，根据数轴上的点与实数的关系可得B选项错误，根据全等三角形的判定可得C选项错误，根据全等三角形的性质可得D选项正确． 【详解】A选项，实数包括正实数、零和负实数，故原命题错误，是假命题，不符合题意，A选项错误； B选项，数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数和无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意，B选项错误； C选项，两边及其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，C选项错误； D选项，若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角，故原命题正确，是真命题，符合题意，D选项正确． 故选：D． 【变式1-2】判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正确 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可 【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误． (2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确． (3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误． (4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误． (5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误． (6)( 错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误． (7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误． (8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以     实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 【变式1-3】把下列实数表示在如图所示的数轴上，并比较它们的大小．（用“<”连接） ，，0，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了实数与数轴，立方根，实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．首先求出，，然后根据数轴的特点，将各个点表示在数轴上，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， 用“”连接为：． 考点二：实数的分类 例2．下列说法正确的是（    ） A．无理数是无限小数，无限小数是无理数 B．是无理数 C．实数包括正实数和负实数 D．带根号的数都是无理数 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类以及无理数的定义，根据实数的分类以及无理数的定义一一判断即可． 【详解】解：A．无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．是无理数，正确，故该选项符合题意； C．实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，故该选项不符合题意； D．带根号的数不一定都是无理数，例如，，2是有理数，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数 C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根、实数的分类，先根据正方形面积公式求得边长m、n，再根据实数的分类判断即可． 【详解】解：由题意，，， ∴，， ∴m为有理数，n为无理数， 故选：A． 【变式2-2】在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ；无理数有 ．（填写序号） 【答案】 ⑥⑧ ①⑤⑦ 【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案． 本题考查实数的分类及定义，无理数是指无限不循环小数，大于等于0的整数为非负整数；必须熟练掌握． 【详解】解：， 非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． 【变式2-3】已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）， ， 由（1）得，， . 的平方根是， 的平方根是． 考点三：实数的大小比较 例3. 比大，比小的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，分别估算出和的取值范围即可． 【详解】解：，， 比大，比小的整数是2． 故选：B． 【变式3-1】如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，，继而得到， 解答即可． 本题考查了绝对值，实数大小比较，熟练掌握两点间距离越小，两个数越靠近是解题的关键． 【详解】根据题意，得到， 因为 所以 所以在之间， 所以 所以数轴上表示数m与的距离小于表示数m与的距离， 即数m与  最接近， 故选A． 【变式3-2】比较大小： 9（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出两个实数的平方是关键．先求两个数的平方，进而即可比较大小． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2)6 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减即可； （2）先算乘方、绝对值、算术平方根和去括号，再计算加减即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 考点四：无理数的估算 例4．已知，则估计a的值应在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．先估算出的范围，再估算出的范围即可求解． 【详解】解：，即， ， a的值应在之间， 故选：C． 【变式4-1】点在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴的一一对应，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算，先确定的范围，再根据数轴与实数的一一对应关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由数轴可知，只有点的取值范围在1和2之间， 故选：C． 【变式4-2】已知，则整数n的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出的大小即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故； 故答案为：7． 【变式4-3】运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．    (1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围； (2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据进行了一次运算，列出不等式，解之即可； （2）根据运行了两次，可得第一次没有停止，第二次停止，分别列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：由题意可列不等式为， 解得：； （2）当时， 第一次没有停止，则可列式为：， 解得：， 则第二次输入的值为， 第二次停止了，输出结果，则可列式为， 解得：， 故的取值范围为． 【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，通过给出的操作过程来列一元一次不等式并求出对应的解． 考点五：实数的混合运算 例5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根以及立方根；根据实数的性质以及实数的加减，算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，根据实数的运算法则，进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式5-2】计算： ． 【答案】1 【分析】此题主要考查实数的混合运算， 计算负整数指数幂，零次幂，以及平方运算，最后再算加减法即可． 【详解】解： 故答案为：1． 【变式5-3】计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，整式的加法，乘法运算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂分别计算，再进行加减运算； （2）利用完全平方公式展开，单项式乘以多项式计算，最后再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点六：程序下的运算 例6. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与流程图有关的实数运算、求一个数的算术平方根、无理数的概念．先将输入，求出算术平方根，若结果是无理数则输出，若结果是有理数，则将有理数输入，直到求出的算术平方根是无理数为止． 【详解】解：输入的的值为时，； ∵是有理数， ∴将输入，输出的是无理数， 故输出． 故选：B． 【变式6-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】本题以程序计算考查实数的运算，将代入计算，再判断即可． 【详解】解：将代入计算，第一次：， 进行第二次计算， 第二次：， ∴输出结果， 故选：B． 【变式6-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的分类及运算．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：25的算术平方根是5，5是有理数， 再取5的平方根，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为25，则最后输出的y值是． 故答案为：． 【变式6-3】如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它放进一个如图2的底面正方形边长为，高为的长方体的盒子里． (1)这个魔方底面圆的直径是多少？ (2)它能放进去吗？为什么？ 【答案】(1)这个魔方底面圆的直径为 (2)能放进去，理由见解析 【分析】本题考查了圆的计算和圆柱体的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据圆的面积公式求解即可； （2）分别比较圆的直径和长方体底面边长，圆柱的高和长方体的高，即可判断， 【详解】（1）设这个魔方底面圆的半径为， 根据半径与面积的关系得， ， ， ∴直径为， 答：这个魔方底面圆的直径为； （2）能放进去．理由如下： ∵ ∴， ∴， 又∵， 即魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体的高，所以能放进去． 1．下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据实数的大小比较方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为． 故选：A． 2．公元前年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，判断每个选项是否符合无限不循环小数的特征即可解答．本题考查了无理数的定义，理解无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数， ∴项不符合题意； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数， ∴项符合题意； ∵是分数，属于有理数，不是无理数， ∴项不符合题意； ∵，属于有理数，不是无理数， ∴是有理数， ∴项不符合题意； 故选． 3．如图，在数轴上与表示的点距离最近的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】此题考查了无理数大小的估计，实数与数轴，解题的关键正确估算出无理数的大小． 估算出无理数的大小，然后结合数轴即可求解． 【详解】解：， ， 点与表示的点距离最近，符合题意． 故选：C． 4．我们定义：若一个三角形的两个内角与，满足，则这样的三角形称为“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义和三角形内角和定理理解新定义是解题的关键．通过和三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解∶ 是“奇妙互余三角形”，， ， 故选∶B． 5．已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，设第三边为x，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴x可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 6．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算发展进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 7．如果，表示的整数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，即，由，可得，则答案可得． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴ ， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了立方和公式，关键是进行合理的变形，难度较大． 8．观察下列等式： ， ， ， … 将以上等式相加得到 ． 用上述方法计算：其结果为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由上述规律可知， ，，，同理 ，然后将各式相加后即可求解． 【详解】由题意可知： =． 故选：A． 【点睛】本题考查的是实数的计算规律，此题为积化和差题型，有一定的难度，弄明白了计算规律就容易求解．能够理解题意，看懂运算规律，并能运用规律求解是前提，解决此类题型的关键是会裂项相消． 9．在实数，，，中，最小的无理数是 ． 【答案】 【分析】根据无理数的定义及实数大小比较的法则即可解答．本题考查了无理数的定义，实数大小比较的法则，理解无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是有理数， ，， ∴， ∵与是有理数，与是无理数， ∴最小的无理数是， 故答案为． 10．、为两个连续的整数，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算，结合，、为两个连续的整数，可得，，问题即可作答． 【详解】， ， ， ∵、为两个连续的整数， ，， ， 故答案为：． 11．写出比大且比小的整数是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了估算无理数大小，直接利用，接近的整数是2，进而得出答案，正确得出无理数接近的有理数是解题关键． 【详解】解：设这个数为， ，为整数，且， ． 故答案为：2． 12．用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 13．已知，则的整数部分为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查非负数的性质和无理数的估算，先根据非负数的性质得出的值，再求出的整数部分即可． 【详解】解：∵，且， ∵ 解得， ∴， ∵ ∴ ∴的整数部分为2， 故答案为：2． 14．已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以为两边的直角三角形的第三边的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查无理数的整数部分、勾股定理等知识，由题中条件，分别得到、，分类讨论，利用勾股定理求出以为两边的直角三角形的第三边的长度即可，熟记无理数估算及勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：是的整数部分，， ， ，， ，即， 其中是整数，，， ， 当为直角三角形的两直角边时，第三边长为； 当为直角三角形的直角边、为直角三角形的斜边时，第三边长为； 综上所述，以为两边的直角三角形的第三边的长度是或， 故答案为：或． 15．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，． 【分析】根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】解：∵， ∴中 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，． 【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键． 16．把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，2013，，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 整数集合{                                  }； 非负数集合{                                }； 分数集合{                                   }； 无理数集合{                                    }． 【答案】，0，2013，； 0，，，2 013，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；，，，； ，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数，非负数，分数，无理数的定义是解题的关键；根据整数，非负数，分数，无理数的定义解题即可； 【详解】解：整数集合{，0，2013，  }； 非负数集合{ 0，，，2 013，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）  }； 分数集合{，，， }； 无理数集合{ ，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）}． 17．【阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，利用平方根解方程 （1）因为得，结合即可得出整数的值； （2）先求出，得，，可得，同理得，代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴，即 而，且是整数， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则或 18．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题： (1)若m，n为有理数，且，求m，n的值； (2)若m，n为有理数，且，求的立方根； (3)若m，n为有理数，且，则______． 【答案】(1) (2)0 (3)3或5 【分析】本题考查了实数的运算，立方根，绝对值等知识．根据题意确定关于的等量关系是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由题意得，，计算求解，然后根据代值求解即可； （3）由题意得，，计算求解，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵，m，n为有理数， ∴， 解得，； （2）解：∵，m，n为有理数， ∴， 解得，， ∵， ∴的立方根为0； （3）解：∵，m，n为有理数， ∴， 解得，， 当时，； 当时，； 故答案为：3或5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$