第11讲 勾股定理的逆定理及简单应用（8大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第11讲 勾股定理的逆定理及简单应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握直角三角形判断条件； 2．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理与演绎推理； 3. 能运用勾股定理及其勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题。 1.上节课我们学习了勾股定理，回顾一下勾股定理的内容。 2.如果一个三角形的两条边的平方和等于第三步的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 如图，在▲ABC中a²+b²=c²，▲ABC是否为直角三角形？ 是。作Rt三角形A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b ∵∠A′C′B′=90° ∴A′B′²=a²+b² ∵AB²=a²+b² ∴A′B′²=AB² ∴A′B′=AB 在▲ABC和▲A′B′C′中 ∴▲ABC≌▲A′B′C′（SSS ∴∠C=∠C ∴▲ABC是直角三角形 因此，如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，这个称为勾股定理的 。 3. 根据三边长度，判断下面的三角形形状。 （1）3，4，3；   （2）3，4，5； （3）3，4，6；   （4）5，12，13． 锐角三角形： 直角三角形： 钝角三角形： 满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为 . 4.根据勾股定理填写表格。 a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n 所以在求勾股定理的时候，还可以用比例解。 5.若△ABC的两边长为3和4，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（　C　） A，5；　　 B．7；　　 C．5或7；　　 D．8． 6.勾股定理的简单应用 一株荷叶高出水面米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 解：设米，则米，米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴(米)，(米)，答：荷叶的高度为5米，水面的深度为4米． 方法： 。 考点一：判断直角三角形 例1．在中，，，的对边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1，1，1 B．2，3，4 C．5，6，7 D．5，12，13 【变式1-2】若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 【变式1-3】如图，在四边形中，，，，，对角线．求四边形的面积． 考点二：利用勾股定理逆定理求解 例2．在中，已知，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【变式2-2】如图，，，，，，该图形的面积等于 ． 【变式2-3】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 考点三：梯子滑落问题 例3.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 【变式3-2】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m． 【变式3-3】如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？ 考点四：旗杆高度问题 例4．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【变式4-1】如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺． 【变式4-3】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 考点五：大树折断问题 例5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（   ） A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺 【变式5-2】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【变式5-3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 考点六：杯中筷子问题 例6. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【变式6-1】如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．    【变式6-3】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 考点七：台阶地毯问题 例7．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 【变式7-1】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ． 【变式7-3】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 考点八：最短路径问题 例8．如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（        ）米，踏之何忍” A．5 B．6 C．4 D．7 【变式8-2】在中，三条边长分别是a、b、c，且，则的形状是 ． 【变式8-3】综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 1．以下列各组数为边长的三角形，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 3．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（   ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 4．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A．48 B．54 C．24 D．60 6．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 8．如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（    ） ①的周长为4；②；③；④    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 9．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ． 10．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 11．一块木板如图所示，已知，，，，，求此木板的面积 ． 12．如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 13．如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 14．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远望”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远望”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口小时后分别位于点处，且相距．在的中点处恰好有一座小岛，另一艘游轮从港口出发沿方向以每小时的速度去往小岛，求游轮到小岛所需的时间． 15．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为．求此时梯子的顶端A距地面的高度 16．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)根据题意，______m，______m，______m； (2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． 17．定义：在中，若，，，，，满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 勾股定理的逆定理及简单应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握直角三角形判断条件； 2．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理与演绎推理； 3. 能运用勾股定理及其勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题。 1.上节课我们学习了勾股定理，回顾一下勾股定理的内容。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2.如果一个三角形的两条边的平方和等于第三步的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 如图，在▲ABC中a²+b²=c²，▲ABC是否为直角三角形？ 是。作Rt三角形A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b ∵∠A′C′B′=90° ∴A′B′²=a²+b² ∵AB²=a²+b² ∴A′B′²=AB² ∴A′B′=AB 在▲ABC和▲A′B′C′中 ∴▲ABC≌▲A′B′C′（SSS ∴∠C=∠C ∴▲ABC是直角三角形 因此，如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，这个称为勾股定理的逆定理。 3. 根据三边长度，判断下面的三角形形状。 （1）3，4，3；   锐角三角形 （2）3，4，5； 直角三角形 （3）3，4，6；   钝角三角形 （4）5，12，13． 直角三角形 锐角三角形：a²+b²＞c² 直角三角形：a²+b²=c² 钝角三角形：a²+b²＜c² 满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数. 4.根据勾股定理填写表格。 a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n 所以在求勾股定理的时候，还可以用比例解。 5.若△ABC的两边长为3和4，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（　C　） A，5；　　 B．7；　　 C．5或7；　　 D．8． 6.勾股定理的简单应用 一株荷叶高出水面米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 解：设米，则米，米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴(米)，(米)，答：荷叶的高度为5米，水面的深度为4米． 方法：解设x勾股定理。 考点一：判断直角三角形 例1．在中，，，的对边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，，的对边分别为，，，若， 则为直角三角形，， ， ， 故选：B． 【变式1-1】下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1，1，1 B．2，3，4 C．5，6，7 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，故边长为1，1，1的三条线段不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，故边长为2，3，4的三条线段不可以构成直角三角形，不符合题意； C、，故边长为5，6，7的三条线段不可以构成直角三角形，不符合题意； D、，故边长为5，12，13的三条线段可以构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17， 设三边分别为，，， 而， ∴三角形构成直角三角形， 故答案为：直角 【变式1-3】如图，在四边形中，，，，，对角线．求四边形的面积． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．在中，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于的面积与的面积之和即可得． 【详解】解：， 是直角三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， 则四边形的面积为： ， ． 考点二：利用勾股定理逆定理求解 例2．在中，已知，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟悉掌握此定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据面积公式运算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故选：C． 【变式2-1】如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 【变式2-2】如图，，，，，，该图形的面积等于 ． 【答案】96 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 考点三：梯子滑落问题 例3.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选B． 【变式3-1】如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，勾股定理求出的长，利用，计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 由勾股定理，得：米，米， ∴、两点之间的距离为米； 故选B． 【变式3-2】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用．在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得：（米）， （米）， 在中，（米）， （米）， 故答案为：2． 【变式3-3】如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？ 【答案】梯子底部外移0.8米． 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在中，根据已知条件运用勾股定理可将的长求出，又知的长可得的长，在中再次运用勾股定理可将求出，的长减去的长即为底部外移的距离． 【详解】解：在中，，， 米， 又， ， 在中，米， 则米． 故：梯子底部外移0.8米． 考点四：旗杆高度问题 例4．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 【变式4-1】如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为m，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则， ∴， 在直角中， 又∵， 解得：， 故选：B． 【变式4-2】我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，则，根据勾股定理得到，求出的值即可． 【详解】解：设这个秋千的绳索，    则， ， ， ∵，， ， ， ∴这个秋千的绳索有尺． 故答案为：． 【变式4-3】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）由题意得，米，则米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，， ∴米或米 （负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 考点五：大树折断问题 例5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用． 根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ， ∴这棵树在折断之前的高度． 故选：A． 【变式5-1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（   ） A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图， 设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺， 故选：D． 【变式5-2】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长； 当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长，高为， 由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度， 筷子露在收纳盒外的长度最短； 筷子露在盒外的部分的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．在中利用勾股定理建立方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， 即， 解得． 考点六：杯中筷子问题 例6. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中． ∴，， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∵， ∴． 答：竹竿为10尺． 故选：A 【变式6-1】如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是构建直角三角形． 吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴露出杯口外的长度为：， 故选：C． 【变式6-2】如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．    【答案】 【分析】根据勾股定理得，水平的直角边为，地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，即可得地毯的长为，根据地毯的宽为2米，即可得地毯的面积为，即可地． 【详解】解：根据勾股定理得，水平的直角边为：， 地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 即地毯的长为， ∵地毯的宽为2米， ∴地毯的面积为：， ∴幼儿园购买防撞地毯至少需要：（元）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． 【变式6-3】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 考点七：台阶地毯问题 例7．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米）， 故可得地毯长度（米）， 故选：A． 【变式7-1】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选C． 【变式7-2】如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由题可知，盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， ∵细木棒长， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：， 故答案为：4． 【变式7-3】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【答案】最短路程是150cm． 【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90， 由勾股定理得：AB＝＝＝150cm， 答：最短路程是150cm． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决． 考点八：最短路径问题 例8．如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在圆柱的侧面展开图中，，，设， ∵点移动的最短距离为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴圆柱的底面周长为：． 故选：C． 【变式8-1】如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（        ）米，踏之何忍” A．5 B．6 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而求出米，即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴少走了6米， 故选：B． 【变式8-2】在中，三条边长分别是a、b、c，且，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为直角三角形. 【变式8-3】综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 1．以下列各组数为边长的三角形，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，牢记勾股定理内容是解题的关键． 根据勾股定理进行分析判断即可得到正确选项． 【详解】解：根据三角形勾股定理知 A、，不能组成直角三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形． 故选：D． 2．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【详解】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 3．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（   ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米， ∴(米)． 故选：A． 4．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 5．如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A．48 B．54 C．24 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形面积公式，连接，由勾股定理得，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据这个图形的面积，计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，，，， ， ，，， ， 为直角三角形， 这个图形的面积， 故选：C． 6．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即， 故选：A． 7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度． 【详解】解：如图，由题意可得： AD2=0.72+2.42=6.25， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC， ∴AB2+1.52=6.25， ∴AB=±2， ∵AB＞0， ∴AB=2米， ∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）． 故选：D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 8．如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（    ） ①的周长为4；②；③；④    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先说明四边形是正方形，再将绕点C逆时针旋转得到，在上取一点F，使，根据旋转的性质及证明≌，然后根据全等三角形的性质判断①②；再证明≌，可得，，，然后说明≌，得出，，可知是直角三角形，进而说明③；最后根据全等三角形的面积相等判断④即可． 【详解】∵，， ∴四边形是正方形， ∴，． 将绕点C逆时针旋转得到，在上取一点F，使．    根据旋转的性质可知，，． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴≌， ∴， ∴的周长． 所以①②正确； ∵，，， ∴≌， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即． 所以③正确； ∵≌，≌， ∴， ∴． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ． 【答案】 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 10．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处， 折断部分长为， 折断之前的高度为（米）， 故答案为：8． 11．一块木板如图所示，已知，，，，，求此木板的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故答案为：． 12．如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 13．如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离， ∴， ∴ ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 故答案为：． 14．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远望”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远望”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口小时后分别位于点处，且相距．在的中点处恰好有一座小岛，另一艘游轮从港口出发沿方向以每小时的速度去往小岛，求游轮到小岛所需的时间． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理,直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由题意先证明得到是直角三角形，再根据点是的中点算出时间即可． 【详解】解：， 又 ， ， 是直角三角形，且， 点是的中点， ， ， 答：游轮到小岛需要． 15．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为．求此时梯子的顶端A距地面的高度 【答案】2.4米 【分析】此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴（米）， 答：此时梯顶A距地面的高度是2.4米． 16．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)根据题意，______m，______m，______m； (2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键． （1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则； （2）设秋千的长度为，则 ，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）由题意得：，，， ，，， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：，，； （2）， ， 设秋千的长度为， 则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， 即秋千的长度是． 17．定义：在中，若，，，，，满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：如图：以在上找一点使得，再作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$