第19讲 图形的位似与用相似三角形解决问题（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第19讲 图形的位似与用相似三角形解决问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解位似图形、位似中心、位似比的概念； 2．掌握位似图形的性质，会画位似图形。 3.学会用相似三角形解决实际问题。 1.如图，光源把一幅画投影到了墙面上，你发现了什么？ 2.如图，连接OA、OB、OC，分别在线段OA、OB、OC 的反向延长线上取点A′、B′、C′，使得 ，画出▲A′B′C′。 3.结合生活与实践发现，两个多边形的顶点A与A′， B与B′，C与C′，所在的直线都经过同一点O， 并且=，像这样的两个多边形叫做 位似多边形，点O为位似中心。 小试牛刀：如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）． （3）△ABC与△A2B2C2的位似比是　1：2　． 解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； （3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2． 想一想：△ABC与△A2B2C2相似吗？ 用三边成比例可证。 因此，两个位似多边形一定相似，并且它们的对应边互相平行（或者在同一条直线上）；利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小。 总结：位似多边形的性质： （1） 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； （2）位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上； （3）位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上； （4） 位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。 4.认识投影 ①平行投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.　　　　 （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例 ②中心投影：若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例。 考点一:位似图形的识别 例1．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 【变式1-1】如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ） A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：、、的中点分别为、、， ∴，，，，，， ∴， 与是位似图形，位似中心为点，A选项不符合题意； 与是相似图形，B选项不符合题意； 与的周长比是，C选项不符合题意； 与的面积比是，D选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 【变式1-3】如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 【答案】(1) (2)见解析， (3)与是位似图形，位似中心，位似比为 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）先确定点到，，的坐标，再画出图形，然后运用两点间距离公式求解即可； （3）先根据题意画出，再根据位似、位似中心、位似比的概念解答即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：，， 故如图所示：      由题意得：，， ． （3）解：把、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标 与是位似图形，位似中心． 位似比为：． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、位似作图、位似中心、位似的定义等知识点，掌握位似的相关概念是解答本题的关键． 考点二：判断位似中心 例2．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】连接，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：D． 【变式2-1】如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可． 【详解】根据题意，得位似中心为点D， 故选A． 【变式2-2】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 【变式2-3】如图，与是位似图形，且位似比是．若，在图中画出位似中心，并求的长． 【答案】画图见解答；． 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键．分别连接，，，交点即为位似中心；由位似三角形的性质可得． 【详解】解：如图，点即为所求 由题意得，． 考点三：求位似比 例3.如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据与是位似图形，得出，，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比， 故选：D． 【变式3-1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心位似图形的性质．熟练掌握中心位似图形的性质是解题的关键． 由和是以点为位似中心的位似图形，可知，则，可求，然后作答即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 解得，， ∴应将放大为原图形的2倍， 故选：B． 【变式3-2】如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 【详解】解：与位似， ，， ， ， 与的面积之比为， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【答案】， 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 考点四：求位似图形的对应坐标 例4．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进行讨论． 【详解】解：与的位似比是， 当点在第三象限时，， 当点在第一象限时，， 故点的坐标为或， 故选：C． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出点的横坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵， ∴与位似比为， 点的坐标是，点E在第一象限， 点E的坐标是，即， ∴点的横坐标是10． 故选：D． 【变式4-2】如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，再证，然后根据相似的性质求出和即可； 本题主要考查了位似变换、坐标与图形性质，理解位似的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，即：, ∵点B的坐标为， ∴， ∵与是以点O为位似中心的图形，且相似比为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,即, ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析；，， 【分析】本题主要考查了位似作图，轴对称作图，平移作图，根据题意作出对应点的位置，是解题的关键． （1）先作出点、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （3）先根据位似作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可；最后根据图形写出点、、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，即为所求作的三角形；，，． 考点五：在网格中画位似图形 例5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义，画出位似中心，即可得出结果． 【详解】解：∵与是位似图形， 连接并延长，交于点，则点即为位似中心，如图所示： 由图可知：； 故选B． 【点睛】本题考查坐标系下求位似中心的坐标．熟练掌握位似图形的定义，确定位似中心的位置，是解题的关键． 【变式5-2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是 ． 【答案】图见解析，点的坐标是(-4,-2) 【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可． 【详解】解：如图所示：就是所要求画的， 点B的对应点的坐标是(-4,-2)， 故答案为：(-4,-2)． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【变式5-3】如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； (3)内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，旋转的性质； （1）根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据位似的性质，找到，顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）解：如图所示， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 当，时，在第四象限，在第一象限， ∴ 当时，在第一象限，在第二象限， ∴， 综上所述， 考点六：相似三角形的应用 例6.如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 【详解】解：设像到小孔O的距离为 由题意得, ∴，, ∴ ∴， 解得, 故选C． 【变式6-1】如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（    ）处才能观测到大树的顶端．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴将平面镜放置在离王刚处才能观测到大树的顶端． 故选：B． 【变式6-2】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 【变式6-3】在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 【答案】路灯离地面的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故选C． 2．彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【详解】解：解：设彭老师举起的手臂超出头顶是，根据同一时刻物高与影长成比例，得， 解得：． 故选：A． 3．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（    ） A．86 B．84 C．80 D．78 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，中，两个顶点在轴的上方，点 的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，若与的位似比是，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，过点作轴于点，轴于点，根据相似三角形的性质得到，利用相似比即可求解， 正确作出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】过点作轴于点，轴于点， 则， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∵点的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标是， 故选：． 5．如图，四边形与四边形位似，位似中心是点O，，则四边形与四边形的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似的概念、相似多边形的性质，根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质“面积比等于相似比的平方”解答． 【详解】解：四边形与四边形位似，位似中心是点O，， ， 则， 故选：D． 6．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 7．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ） A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米 【答案】C 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高． 【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米， ∵同一时刻物高与影长成正比例， ∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4， ∴AE=11.5米， ∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米， ∴树的高度是11.8米， 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键. 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 【答案】A 【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系， ∴△ACB∽△CED， ∵相似比为1：3， ∴，即 ， 解得，DE＝6， ∵△CED为等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝6， ∵BC∥DE， ∴△OCB∽△OED， ∴ ，即， 解得OC＝3， ∴OE＝OC+CE＝3+6＝9， ∴点D的坐标为（9，6）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键． 9．如图，在正方形网格图中，以为位似中心，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是点 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，先求出相似比，根据勾股定理求出的值，再利用位似变换的性质解答即可． 【详解】解：令正方形网格中每个小格的边长为 ， 与其位似图形的相似比为， 点的对应点是点 故答案为：． 10．如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物体与影长成正比例是解题的关键． 【详解】解：设树高是x米，则， 解得：． 故答案为：． 11．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设这座方城每面城墙的长为里， 由题意得，，，，里，里， ， ， ，即， ， ∴这座方城每面城墙的长为8里， 故答案为：8． 12．如图，与，点为位似中心，位似比为2：3．若的周长和面积都是4，则的周长是 ，面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵和是位似图形，位似比为， ∴和的相似比为， ∴的周长的周长，的面积的面积， 故答案为：，． 13．《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，由位似图形的性质可知四边形是正方形，得到，即得是四边形的外接圆直径，又由正方形的面积为，可得，利用勾股定理可得，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正方形与四边形是位似图形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是四边形的外接圆直径， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 14．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 15．西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 【答案】鼓楼的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设，先证明得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由光的反射定律可知， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴鼓楼的高度为． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为． 【分析】本题考查作图—平移变换和作图—位似变换． （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可； （3）根据点的位置写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：由图得，点的坐标为． 17．已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）． (1)若关于轴的轴对称图形为，则点的坐标是 　　； (2)以点为位似中心，在网格内画出；使与位似，且位似比为，则点的坐标是 　　； (3)的面积是 　　平方单位． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了作图位似变换、点的坐标以及作图轴对称变换，坐标与图形．解答本题的关键是掌握平移变换与位似变换的特点． （1）根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，进行解答即可； （2）利用位似的性质，进行解答即可； （3）如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所求； 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由位似的性质作图，如图2，为所求作的图形． ∴点的坐标为：， 故答案为：； （3）解：如图2，由题意知， ， 故答案为：． 18．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 【答案】28米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件推出，，得到，，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，， ，， ，， ，， 解得． 凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 图形的位似与用相似三角形解决问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解位似图形、位似中心、位似比的概念； 2．掌握位似图形的性质，会画位似图形。 3.学会用相似三角形解决实际问题。 1.如图，光源把一幅画投影到了墙面上，你发现了什么？ 2.如图，连接OA、OB、OC，分别在线段OA、OB、OC 的反向延长线上取点A′、B′、C′，使得 ，画出▲A′B′C′。 3.结合生活与实践发现，两个多边形的顶点A与A′， B与B′，C与C′，所在的直线都经过同一点O， 并且=，像这样的两个多边形叫做 ，点O为 。 小试牛刀：如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）． （3）△ABC与△A2B2C2的位似比是　　 ． 解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； （3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2． 想一想：△ABC与△A2B2C2相似吗？ 。 因此，两个位似多边形一定 ，并且它们的对应边 （或者在 ）；利用位似可以把一个图形按所给相似比 或 。 总结：位似多边形的性质： （1） 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 比； （2）位似多边形上对应点和位似中心在 ； （3）位似多边形上的对应线段 或在 ； （4） 位似多边形是特殊的 图形，因此位似图形具有 图形的一切性质。 4.认识投影 ①平行投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的 .只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为 .由此我们可得出这样两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.　　　　 （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 在同一时刻，不同物体的物高与影长成 ②中心投影：若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为 .这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长不成 。 考点一:位似图形的识别 例1．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ） A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 【变式1-2】如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【变式1-3】如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 考点二：判断位似中心 例2．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【变式2-1】如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式2-2】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【变式2-3】如图，与是位似图形，且位似比是．若，在图中画出位似中心，并求的长． 考点三：求位似比 例3.如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 【变式3-3】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 考点四：求位似图形的对应坐标 例4．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-2】如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 考点五：在网格中画位似图形 例5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是 ． 【变式5-3】如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； (3)内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 考点六：相似三角形的应用 例6.如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式6-1】如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（    ）处才能观测到大树的顶端．    A． B． C． D． 【变式6-2】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【变式6-3】在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（    ） A．86 B．84 C．80 D．78 4．如图，中，两个顶点在轴的上方，点 的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，若与的位似比是，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形与四边形位似，位似中心是点O，，则四边形与四边形的面积比为（　　） A． B． C． D． 6．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ） A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 9．如图，在正方形网格图中，以为位似中心，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是点 ． ​ 10．如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ． 11．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里． 12．如图，与，点为位似中心，位似比为2：3．若的周长和面积都是4，则的周长是 ，面积是 ． 13．《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 14．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 15．西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 17．已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）． (1)若关于轴的轴对称图形为，则点的坐标是 　　； (2)以点为位似中心，在网格内画出；使与位似，且位似比为，则点的坐标是 　　； (3)的面积是 　　平方单位． 18．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$