专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类（71题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类（71题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式的恒成立问题 (1) 判别式法 (2) 分离参数法 （二）一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 解题策略 1、解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　 2、解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 3、三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 4、简单的分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 答案　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 5、根据一元二次不等式解集求参数 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 6、分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式． 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表：　 分式不等式 整式同解不等式 ＞0 与或同解；与y1y2＞0同解 ＜0 与或同解；与y1y2＜0同解 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 7、一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 8、解不等式应用题的步骤 考点一 一元二次不等式的解法 1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合，，则 ． 2.（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)． 4．（2024秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1） （2） （3） （4） 5.（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 6.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）解不等式： (1)； (2). 7．（2024·上海·高一专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 8．（2024秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于的不等式解集是 ． 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 9.（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．{x|x>a} C．或 D． 10.（2023·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 11．（2024秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式. 12．（2024秋·高一校考课时练习）解关于x的不等式: . 13．（2024秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，解关于的不等式：． 14．（2024秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知， ，求关于的不等式的解集. （二）对判别式的讨论 15．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式． 16.（2023·高一课时练习）解关于的不等式 ． 17．（2024·全国·高一假期作业）解关于x的不等式. （三）对两根大小的讨论 18.（2023·全国·高一专题练习）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 19．（2024·全国·高一假期作业）若，解不等式． 20.（2023·全国·高三专题练习）解不等式. 21．（2024·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式 22.（2024秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式． 23．（2024秋·高一校考单元测试）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若，解关于的不等式.. 24．（2024·全国·高三对口高考）解关于x的不等式： (1) (2) 考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 25．（2024秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 26．（2024秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（    ） A． B．7 C． D． 27．（2024秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 28．（2024秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则 （    ） A． B． C． D． 29.（2024秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 30.（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为__________ 31．【多选】（2024秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 32．（2024秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 33．【多选】（2024秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集可以为的形式 C．不等式的解集恰好为，那么或 D．不等式的解集恰好为，那么 34.（2024秋·陕西渭南·高二统考期末）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（ ） A．和 B． C． D．和 35．（2024秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 36．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 考点四 简单的分式不等式的解法 38．（2024·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式的解集是 39．（2024秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是 ． 40．（2024秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式的解集为 ． 41.（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为________. 42．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，则 ． 43.（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则______，______. 44.（2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（2024秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （一）一元二次不等式的恒成立问题 (1)判别式法 46.（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 47.（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是________. 48．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 49．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 50．（2024秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 51．（2024秋·高一单元测试）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围; (2)解关于的不等式. (2)分离参数法 52.（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 53.（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________. 54.（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． （二）一元二次不等式的有解问题 55．（22-23高一上·江苏常州·期中）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是 . 56.（2024·辽宁葫芦岛·一模）写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件 （用m的值或范围作答）． 57．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 58．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 考点六 一元二次方程的实根分布问题 59.（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60.（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）已知 (1)求证是关于的方程有解的一个充分条件； (2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 61.（2024秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为___________. 62.（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考期中）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____． 63.（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 考点七 一元二次不等式的实际应用 64．（2024秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 65．（2024秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 66.（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 67．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 . 68．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 69．（2024秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m) 70.（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？ 71.（2023·高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求的值； (2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类（71题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式的恒成立问题 (1) 判别式法 (2) 分离参数法 （二）一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 解题策略 1、解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　 2、解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 3、三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 4、简单的分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 答案　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 5、根据一元二次不等式解集求参数 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 6、分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式． 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表：　 分式不等式 整式同解不等式 ＞0 与或同解；与y1y2＞0同解 ＜0 与或同解；与y1y2＜0同解 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 7、一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 8、解不等式应用题的步骤 考点一 一元二次不等式的解法 1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合N，再利用交集的定义求解作答. 【详解】解不等式，得，即，而， 所以 故答案为： 2.（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，解得， 故选：A 3．（2024秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)无解 (3) 【分析】根据十字相乘法、配方法，可得答案. 【详解】（1），，，. （2），，，无解. （3），，，解得. 4．（2024秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案； （2）根据配方法将不等式转化为，进而分析可得答案； （3）根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案； （4）根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案. 【详解】（1） 原不等式变形可得 则该不等式的解集为； （2） 因为恒成立， 所以该不等式的解集为； （3） 原不等式变形可得 则该不等式的解集为； （4） 原不等式变形可得 则该不等式的解集为. 5.（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2).(3)(4) 【详解】（1），即，配方可得，解得 （2），即，解得； （3），即，而，从而不等式无解，即解集为； （4）且同时成立. 由解得 由，即，解得. 于是 6.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得，即， ， ， 即不等式的解集为； （2）由得， 即，不可能成立， 即不等式的解集为. 7．（2024·上海·高一专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 【答案】B 【分析】直接根据图象求解即可. 【详解】由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}. 故选B. 8．（2024秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于的不等式解集是 ． 【答案】 【分析】分和分别解一元二次不等式即可求解. 【详解】当时，不等式化为，解得，即； 当时，不等式化为，解得，即. 综上所述，不等式的解集为． 故答案为：． 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 9.（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．{x|x>a} C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以等价于， 又因为当时，，所以不等式的解集为：或． 故选：A． 10.（2023·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】不等式化为， ，，故不等式的解集为或. 故选：A. 11．（2024秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式. 【答案】当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】需要分类讨论，先讨论，和，时，相应方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类． 【详解】当，原不等式等价于，解得． 当时，原不等式 1）当时，原不等式，此时，原不等式解集为 2）当时，原不等式 ①当，即时，原不等式解集为 ②当，即时，易得原不等式解集为 ③当，即时，易得原不等式解集为 综上所述得：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【点睛】思路点睛：本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论，分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小． 12．（2024秋·高一校考课时练习）解关于x的不等式: . 【答案】答案见解析 【分析】对，，进行分类讨论进而解方程即可. 【详解】①当时，不等式化为，解得， 此时不等式的解集为; ②当时，原不等式化为， 解得不等式的解集为:； ③当时，原不等式化为: ， 解得不等式的解集为:. 综上所述，当时，解集为; 当时，解集为; 当时，解集为 13．（2024秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解. 【详解】解：由可得. （1）当时，原不等式即为，解得； （2）当时，解方程可得或. ①当时，，解原不等式可得或 ②当时，则，解原不等式可得； ③当时，原不等式即为，解得； ④当时，，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 14．（2024秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知， ，求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】讨论，、、且三种大情况，解不等式得到答案. 【详解】①当时，不等式的解为. ②当时，令解得； 当时，，解得； 当时，，不等式的解集为R； 当且时，由基本不等式得， 解得或. 综上：当时，不等式解集为； 当时， 不等式解集为； 当时， 不等式的解集为R； 当且时，不等式的解集为或. （二）对判别式的讨论 15．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可. 【详解】由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. 16.（2023·高一课时练习）解关于的不等式 ． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【详解】方程中， ①当即时，不等式的解集是， ②当，即时，不等式的解集是， ③当即时， 由解得：， 时，不等式的解集是或， 综上，时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是或， 17．（2024·全国·高一假期作业）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论判别式，确定一元二次不等式对应方程解的情况，即可求得答案. 【详解】不等式对应方程的判别式， （1）当，即或时， 由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； （2）当，即时，不等式的解集为且； （3）当，即时，不等式的解集为R， 故或时，不等式的解集是或}； 时，不等式的解集为且； 时，不等式的解集为R. （三）对两根大小的讨论 18.（2023·全国·高一专题练习）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，所以. 原不等式可化为所以，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 19．（2024·全国·高一假期作业）若，解不等式． 【答案】 【分析】根据题意，，转化不等式，求解即可． 【详解】解：∵，∴， 原不等式可化为， 解得． 故原不等式的解集为． 20.（2023·全国·高三专题练习）解不等式. 【答案】答案见解析 【详解】解：对于不等式，可化为， 所以方程有两根、， 令，解得， ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，，原不等式的解集为； 当或时， ，原不等式的解集为； 综上可得：当当或时解集为，当或时解集为， 当或时解集为. 21．（2024·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为. 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当 时，解集为或. 22.（2024秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2)见解析 【详解】（1）当时，，，或， 不等式解集为：或； （2）不等式可化为． ①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得； ③当时，原不等式化为，解得． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 23．（2024秋·高一校考单元测试）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若，解关于的不等式.. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）时，将不等式因式分解，结合二次图像得到解集； （2）可化为 ,.分三种情况：，，时，分别得到解集. 【详解】（1）当时, 可得 , , 的解集为 . （2）不等式可化为 ,   , ①当时，有. 解得： , ②当时，有,   解得：. ③当时，有. 解得：. 综上：①当时：不等式的解集为.     ②当时：不等式的解集为. ③当时：不等式的解集为. 24．（2024·全国·高三对口高考）解关于x的不等式： (1) (2) 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析. 【分析】（1）分解因式并含参讨论解不等式即可； （2）将分式不等式化为整式不等式，含参讨论即可. 【详解】（1）， 若，，解不等式得； 若，则不等式可化为： ①若，则，解不等式得或； ②若，则，解不等式得； ③若，则无解，即； ④若，则，解不等式得. 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （2）由， 若，则，即； 若，原不等式可化为： 若，则，解不等式得：或； 若，则，解不等式得：； 若，则，显然无解，即； 若，则，解不等式得：； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 25．（2024秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题. 26．（2024秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】先将题目转化为和为方程的根，且，再结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 则和为方程的根，且， 即，解得，， 所以. 故选：A. 27．（2024秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 28．（2024秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，是方程的两根，根据韦达定理便可求解． 【详解】关于的不等式的解集是， ，是方程的两根， ， 解得， ， 故选：B． 29.（2024秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知，的两个实数根是和，且， 则，得，， 所以，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故选：A 30.（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为__________ 【答案】 【详解】由不等式的解集为， 可知是的两根，且， 故，则， 故即， 即，解得或， 故不等式的解集为， 故答案为： 31．【多选】（2024秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据不等式解集为或，可判断a的正负，确定是的两根，从而求出，由此一一判断每个选项，可得答案. 【详解】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 故选：AD 32．（2024秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】由的两根为，得出，再由一元二次不等式的解法得出答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以的两根为，即，解得. 所以不等式可化为，其解集为或. 故选：A 33．【多选】（2024秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集可以为的形式 C．不等式的解集恰好为，那么或 D．不等式的解集恰好为，那么 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解法判断A，作函数以及和的图象，结合条件及图象判断B；由条件先确定的范围，再根据不等式的解法求出的值，即可判断C，D. 【详解】对于选项A：由，可得，方程的判别式，又，所以，所以不等式的解集为，所以不等式的解集为，故A正确； 对于选项B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点， 由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误； 对于选项C：由不等式的解集恰好为，可知，即， 所以和是方程的两根，从而有，解得或，又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误； 对于选项D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确． 故选：AD． 34.（2024秋·陕西渭南·高二统考期末）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（ ） A．和 B． C． D．和 【答案】A 【解析】若不等式的解集为， 则方程的两个根为且， ，解得， 则函数， 令，解得或， 故函数的图象与轴的交点为和.故选：A. 35．（2024秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)， (2)当时，解集为或，当时，解集为， 当时，解集为或． 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理解方程组即可； （2）当时，，即，分类讨论、和三种情况下，即可求出一元二次不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以，3是的两根， 所以，解得； （2）当时，，即， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或 综上可得，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或． 36．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 37．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可. 【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数， 当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. 考点四 简单的分式不等式的解法 38．（2024·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式的解集是 【答案】 【分析】根据分式不等式运算求解. 【详解】因为，等价于， 等价于，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 39．（2024秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，求出答案. 【详解】等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 40．（2024秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 41.（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为________. 【答案】 【详解】原不等式可化为， 即， 即，即， 解得， ∴原不等式的解集为， 故答案为： 42．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：原不等式等价于，化简得， 所以，又等价于，解得： 所以， 故答案为：． 43.（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则______，______. 【答案】 或 或 【详解】由 得 , 整理得 , 解得 或 , 即 或 因为或 或 所以或; 或. 故答案为：或;或. 44.（2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得， 解得； 由，得，得 因为当时，一定可以推出， 而当时，不能推出。 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 45．（2024秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）变形后利用公式进行求解；（2）将分式不等式化为一元二次不等式，求出解集. 【详解】（1）变形得到，解得或， 故解集为或； （2）变形为，故， 解得， 故不等式的解集为. 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （一）一元二次不等式的恒成立问题 (1)判别式法 46.（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，解得， 综上可得，. 故选：A. 47.（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】∵不等式的解集为， ∴恒成立. ①当，即时，不等式化为， 解得：，不是对任意恒成立，舍去； ②当，即时，对任意， 要使， 只需且， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 48．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）函数类型不定，需对的系数分类讨论，结合图象即得答案. （2）对应函数类型不定，需对的系数分类讨论，对应方程有根大小不定，需分类讨论，结合图象即得答案. 【详解】（1）由已知得，在R上恒成立. ①当时，显然不满足题意. ②当时，只需满足，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）不等式，即为， 即，可化为. ①当，即时，，解集为； ②当，即时，，解集为或; ③当，即时， i 当，即时，解集为； ii 当，即时，解集为； iii 当，即时，解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 49．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答. (2)分类讨论解一元二次不等式即可作答. 【详解】（1），恒成立等价于，， 当时，，对一切实数不恒成立，则， 此时必有， 即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）依题意， ，可化为， 当时，可得， 当时，可得，又， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 50．（2024秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对进行分类讨论来分析恒成立问题. （2）解不等式时要对进行分类讨论. 【详解】（1）不等式. 当时，，即不等式仅对成立，不满足题意，舍. 当时，要使对一切实数恒成立. 则解得. 综上，实数的取值范围为. （2）当时，解得. 当时，. ①若，的解为； ②若，当即时，解得. 当时，，的解为或. 当时，，的解为或. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 51．（2024秋·高一单元测试）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围; (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意等价于对于一切实数x恒成立，由可得答案； （2）转化为不等式，分、、讨论解不等式可得答案. 【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2）不等式， 即， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. (2)分离参数法 52.（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 53.（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【详解】当时，变形为， 构造函数，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 则时，， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 54.（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 【答案】－4 【详解】∵当时，恒成立， ∴恒成立， 又当时，，当且仅当x＝2时取等号． ∴， ∴，故a的最小值为－4. 故答案为：. （二）一元二次不等式的有解问题 55．（22-23高一上·江苏常州·期中）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是 . 【答案】-1 【分析】转化为在上有解，即，配方后得到，从而求出，实数可取的最小整数值. 【详解】命题“，”为真命题， 则在上有解， 只需 ，故当时，取得最小值， ， 所以，故实数可取的最小整数值为-1. 故答案为：-1 56.（2024·辽宁葫芦岛·一模）写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件 （用m的值或范围作答）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出命题“，”成立的充要条件为，再按照充分性必要性判断即可. 【详解】当时，易知，又，， 显然，故是命题“，”成立的充分不必要条件. 故答案为：（答案不唯一）. 57．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，在有解，则，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】原不等式等价于在有解，则， 又因为函数在上单调递增，则，所以． 故答案为：. 58．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】 （1）根据给定条件，列出不等式并求解即得. （2）由不等式分离参数，构造函数并求出最小值即可得解. 【详解】（1）函数，由，得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）当时，， 又，当且仅当时取等号，依题意，， 所以实数的取值范围是. 考点六 一元二次方程的实根分布问题 59.（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A 60.（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）已知 (1)求证是关于的方程有解的一个充分条件； (2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：当时，， 则，即：，解得：， 所以是关于x的方程有解的一个充分条件. （2）当时，因为方程有一个正根和一个负根， 所以，解得： 反之，当时，，且， 所以有一个正根和一个负根，满足条件． 所以，当时，关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件为. 61.（2024秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为___________. 【答案】或 【详解】首先，设方程的两根为，则， 所以，，又，解得或． 故答案为：或． 62.（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考期中）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由题意，方程的两根都大于， 令， 可得，即，解得． 故答案为：. 63.（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 【答案】. 【详解】方程   方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案为：. 考点七 一元二次不等式的实际应用 64．（2024秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【答案】 【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元， 则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值． 【详解】设售价为元，总利润为元， 则， 当时，最大，最大的利润元； 即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元． 故答案为: . 65．（2024秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 【答案】240 【分析】根据题意建立销售价格与销售利润之间的函数关系，求其最大值即可. 【详解】设销售利润为，销售价格为，根据题意可知： 根据题意可得：， 又该函数在单调递增，在单调递减， 故当时，函数取得最大值，则应该将售价定为元. 故答案为：. 66.（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】结合题意易知，， 即，解得， 因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是， 故选：C. 67．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 . 【答案】摩托车数量在51到59辆 【分析】根据题意可得，解不等式，且取不等式解集中的正整数即可 【详解】由题意得，化简得， 得，解得， 因为取正整数， 所以该工厂在这周内生成的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标. 故答案为：摩托车数量在51到59辆 68．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为， 要保证税金收入每年不少于万元，可得且， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 69．（2024秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m) 【答案】 【分析】由每件衬衫的售价是元，可知每天的销售量为件，那么可以得到每天出售衬衫的净收入，令其大于等于，构建不等式解不等即可. 【详解】假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件， 每天出售衬衫的净收入， 令, ， ， 解得, 故答案为：. 70.（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？ 【答案】（1），；（2）． 【详解】（1）由题意得：，， 整理得：， （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须， 即，． 解得，所以投入成本增加的比例应在范围内． 71.（2023·高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求的值； (2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)汛期的第9天会有危险，理由见解析 【详解】（1）由题意得： ， 即 （2）由（1）得 设第天发生危险，由题意得 ，即，得． 所以汛期的第9天会有危险 $$