专题1.2 与三角形有关角的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题1.2 与三角形有关角的综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、三角形的内角及内角和定理 1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 二、三角形的外角性质 1.三角形的外角和为360°； 2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． · 典例分析 【典例1】在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 【思路点拨】 本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系． （1）（2）均先根据三角形内角和定理求出和，再根据求出，从而求出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理求出和，，再根据，从而求出答案即可； （4）先根据三角形内角和定理求出，再根据五边形内角和公式求出，从而得到答案即可； （5）分三种情况讨论：①在线段的延长线上，②不在线段的延长线上，③当点P在延长线上，分别画出图形进行解答即可． 【解题过程】 解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （4），， ， 五边形的内角和为， ， ， 即； （5）由题意可知点的位置可能两种情况， ①在线段的延长线上，如（3），，之间的数量关系为：； ②不在线段的延长线上，有两种情况 第一种如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 第二种如图所示： ∵， ． ③当点P在延长线上时，如图：， ， ， ， ； 若点运动到的外部，且满足与点A分别居于直线的两侧时，，，之间的数量关系为：；；． · 学霸必刷 1．（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    5．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 6．（2023上·吉林·八年级阶段练习）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度． 7．（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）综合与探究    （1）如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． （3）如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 8．（2023上·全国·八年级期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    9．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； （3）如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 10．（2023下·湖北·七年级统考期末）在中，BD平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． （1）如图，点在线段上运动． ①若，则的度数是 　 　；的度数是 　 　， ②探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）若点在线段上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中．    （1）的角平分线相交于点，求的度数； （2）的三等分线分别相交于点，求的度数； （3）的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示）， （，为整数，结果用含和的式子表示） 12．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点，则______； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 13．（2024上·广东肇庆·八年级校考期末）【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 14．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q，延长线段，交于点E． （1）若，求的度数； （2）探究与之间的数量关系，并证明； （3）在中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 15．（2023上·全国·八年级专题练习）在中，是角平分线．．    （1）如图（1），是高，，，求的度数； （2）如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； （3）如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 16．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）李强将一个含有角的三角板，，）放置在互相平行的直线和所在的平面内，请探究一下问题： （1）将三角板如图放置，交于点，交于点，分别交、于点、 ①写出与的数量关系 ；                   ②写出与的数量关系 ； （2）如图，为上一点，连点，若，试探究与之间的关系，并说明理由. （3）旋转三角板至如图所示位置，为上一点，连，若 ，则= .    17．（2023上·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”． 理解概念： （1）如图①，在中，，平分．求证：为“微妙三角形”； 概念应用： （2）若为“微妙三角形”，且．试判断的形状，并说明理由； （3）如图②，在中，若，平分，且是的“微妙分割线”，请直接写出的度数． 18．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    （1）【问题再现】 如图（1），若，点A、B分别在上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D．则 ° （2）【问题推广】 ①如图（2），若，（1）中的其余条件不变，则 °（用含的代数式表示） ②如图（2），，点A、B分别在上运动（不与点O重合），点E是上一动点，是的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若，则是的角平分线吗？请说明理由； （3）【拓展提升】 如图（3），若，，试探索和的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由． 19．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的2倍．    （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ． （2）如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． （3）如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，求的度数． 20．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．    （1）【问题解决】如图②，在中，，，若的三分线交于点D，则________． （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． （3）【延伸推广】在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，并且．直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 与三角形有关角的综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、三角形的内角及内角和定理 1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 二、三角形的外角性质 1.三角形的外角和为360°； 2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． · 典例分析 【典例1】在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 【思路点拨】 本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系． （1）（2）均先根据三角形内角和定理求出和，再根据求出，从而求出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理求出和，，再根据，从而求出答案即可； （4）先根据三角形内角和定理求出，再根据五边形内角和公式求出，从而得到答案即可； （5）分三种情况讨论：①在线段的延长线上，②不在线段的延长线上，③当点P在延长线上，分别画出图形进行解答即可． 【解题过程】 解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （4），， ， 五边形的内角和为， ， ， 即； （5）由题意可知点的位置可能两种情况， ①在线段的延长线上，如（3），，之间的数量关系为：； ②不在线段的延长线上，有两种情况 第一种如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 第二种如图所示： ∵， ． ③当点P在延长线上时，如图：， ， ， ， ； 若点运动到的外部，且满足与点A分别居于直线的两侧时，，，之间的数量关系为：；；． · 学霸必刷 1．（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【思路点拨】 延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答． 【解题过程】 解：如图，延长交于点，    设的度数为，的度数为， 平分，平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 将代入可得， 整理得， 故选：D． 2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可． 【解题过程】 解：∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵平分， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，③正确； ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴，⑤正确； ∵ ∴ ∵， ∴即，④正确； 正确的个数为5 故选：D 3．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出． 【解题过程】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故①正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故②正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴． 故③正确； ∵，， ∴，． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故④正确； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选D． 4．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    【思路点拨】 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【解题过程】 解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：． 5．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 【思路点拨】 对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果； 对于②，通过举反例“当，时，．”计算可得②的结论不成立； 对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果； 对于④，根据是的角平分线，，可得，再利用三角形的外角性质，可逐步推得结论成立． 【解题过程】 解：对于①， 是的高线， ， ， ， ， ， ①正确； 对于②， 举反例，当，时，． 理由如下： 当，时， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ②错误； 对于③， 是的外角， ， 是的外角， ， 而由①知， ， ， ③正确； 对于④， 设与交于点，与交于点， 是的角平分线， ， ， ， 又，， ， ④正确． 故答案为：①③④． 6．（2023上·吉林·八年级阶段练习）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度． 【思路点拨】 本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【解题过程】 解：（1）∵是三角形的外角， ∴， ∵是三角形的外角， ∴． 故答案为：，． （2）∵，， ∴， 故答案为：；． （3）∵，， ∴； （4）如图，连接并延长，    根据三角形外角性质可得： ， 同理可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）综合与探究    （1）如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． （3）如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【思路点拨】 （1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【解题过程】 （1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 8．（2023上·全国·八年级期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【思路点拨】 （1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【解题过程】 解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 9．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； （3）如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键； （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：如图1， ，， ． （2）解：如图2， 和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． （3）由（1）得：， ， ， 设与的交点为点，则， 两式相减可得：， ， ， ， ， 即． 10．（2023下·湖北·七年级统考期末）在中，BD平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． （1）如图，点在线段上运动． ①若，则的度数是 　 　；的度数是 　 　， ②探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）若点在线段上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答； （2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答． 【解题过程】 （1）解：①， ∴在中，， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； ②是是一个外角， ， ， ， ， ， ∵BD平分平分， ，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 是的平分线， ， ， ， 平分， ，     ． 11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中．    （1）的角平分线相交于点，求的度数； （2）的三等分线分别相交于点，求的度数； （3）的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示）， （，为整数，结果用含和的式子表示） 【思路点拨】 （1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠PBC+∠PCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； 【解题过程】 （1）解：在中，， ， 和的角平分线交于点， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，， ， 和的三等分线分别对应交于点，， ， ， 和的三等分线分别对应交于点，， ， ， （3）在中，， 和的等分线分别对应交于点，，， ， 故答案为：，． 12．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点，则______； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 【思路点拨】 探究：（1）由四边形内角和定理求出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的性质得出，通过等量代换即可求解； （2）同（1）可得，，通过等量代换即可求解； （3）根据，可得，结合角平分线的定义可得，进而证明，； 挑战：画出图形，参照“探究”中的方法，即可求解． 【解题过程】 解：（1） ， ， 和的平分线交于点， ， ， ， 故答案为：25； （2）由（1）得，， ， 故答案为：； （3）若，则，证明如下： ， ， 平分，平分， ， ， ， ； 挑战：如图4，，证明如下： 平分，平分， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 13．（2024上·广东肇庆·八年级校考期末）【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 问题：利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； 探究：（）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得， ，代入即可求解； （）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解题过程】 解：问题：若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； 若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）． 理由：由三角形的外角性质得，，， ∵是与外角的平分线和的交点， ∴， ， ∴ ， ∴； （）． 理由：∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ， 在中， ， ， ∵， ∴． 14．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q，延长线段，交于点E． （1）若，求的度数； （2）探究与之间的数量关系，并证明； （3）在中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【思路点拨】 （1）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，，根据，得出，同理得出，根据四边形内角和求出即可； （3）先证明， 根据，得出，分四种情况：当，，，时，分别求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 即， 同理得：， ∴； （3）解：如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： 若，则， ∴； 若，则， ∴， ∴； 若，则， ∴； 若，则， ∴； 综上所述，的度数是或或或． 15．（2023上·全国·八年级专题练习）在中，是角平分线．．    （1）如图（1），是高，，，求的度数； （2）如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； （3）如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 【思路点拨】 （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【解题过程】 （1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ， 故答案为：． 16．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）李强将一个含有角的三角板，，）放置在互相平行的直线和所在的平面内，请探究一下问题： （1）将三角板如图放置，交于点，交于点，分别交、于点、 ①写出与的数量关系 ；                   ②写出与的数量关系 ； （2）如图，为上一点，连点，若，试探究与之间的关系，并说明理由. （3）旋转三角板至如图所示位置，为上一点，连，若 ，则= .    【思路点拨】 （1）根据三角形的外角的性质得出，进而即可求解；②根据；，即可求解； （2）设，，，得出 （3）根据平行线的基本性质，角度的关系和已知条件即可求解． 【解题过程】 （1）①； ； ； ； ； ； ； ； ②；； ； （2）设，，；    ； ； ； ； ； ， 与之间的关系为： ； （3）设，，，；    ； ； ， ， ； ； ； ； ； ； ． 17．（2023上·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”． 理解概念： （1）如图①，在中，，平分．求证：为“微妙三角形”； 概念应用： （2）若为“微妙三角形”，且．试判断的形状，并说明理由； （3）如图②，在中，若，平分，且是的“微妙分割线”，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，从而推出，最后由“微妙三角形”的定义即可得出答案； （2）由三角形内角和定理可得，由微妙三角形”的定义可得或，从而推出或，分别进行计算即可得到答案； （3）分情况讨论：当为“微妙三角形”或当为“微妙三角形”，根据“微妙三角形”的定义进行计算即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：在中，∵， ∴， 平分， ∴，即， ∴为“微妙三角形”； （2）解：是直角三角形， 理由：在中，∵， ∴， ∵为“微妙三角形”， ∴或， ∴或， 当时，，是直角三角形， 当时，，是直角三角形， 综上所述，是直角三角形； （3）解： 平分， ， 是的“微妙分割线”， 为“微妙三角形”或为“微妙三角形”， 当为“微妙三角形”时，则或， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：， ； 当为“微妙三角形”时，则或或， 当时， ， ， 由①②得：， ； 当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或或． 18．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    （1）【问题再现】 如图（1），若，点A、B分别在上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D．则 ° （2）【问题推广】 ①如图（2），若，（1）中的其余条件不变，则 °（用含的代数式表示） ②如图（2），，点A、B分别在上运动（不与点O重合），点E是上一动点，是的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若，则是的角平分线吗？请说明理由； （3）【拓展提升】 如图（3），若，，试探索和的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可； （2）①利用三角形外角的性质可得，在根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出，即可求解； （3）利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可． 【解题过程】 （1）解：由三角形外角的性质可得， 由题意可得：， ∵平分，是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： （2）①由三角形外角的性质可得， 由题意可得：， ∵平分，是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②是，理由如下： 由三角形外角的性质可得， 由题意可得：， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴是的角平分线； （3），理由如下： 由三角形外角的性质可得， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 由三角形内角和定理可得： ， 即． 19．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的2倍．    （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ． （2）如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． （3）如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，求的度数． 【思路点拨】 （1）由“优雅三角形”的定义可得另两个角之和为，即可求解； （2）①当“优雅角”为时，可求另一个角为，可求，即可求解；②当另两个角中有“优雅角”时，另两个角分别为：，，即可求解； （3）解：可证，，①当，时，，，，即可求解；②当，时，，，即可求解；③当，时，可求 ，即可求解；④当，时，可求，，即可求解；⑤当，，可求，，⑥当，时，，，即可求解． 【解题过程】 （1）解：由题意得 一个“优雅三角形”的一个内角为， 另两个角之和为：， “优雅角”为锐角， “优雅角”为，另一个角为． （2）解： 交于点B， ， ，是“优雅三角形”， ①当“优雅角”为时， 另一个角为， ， ； ②当另两个角中有“优雅角”时， 另两个角之和为， 根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：，， 当时，， 当，． 综上所述：的度数为或或． （3）解：， ， ， ， 平分交于点E， ， ， 是“优雅三角形”， ①当，时， ， ， ， ， 解得， 故； ②当，时， ， ， ，不成立， 故此情况不存在； ③当，时， ， ， ， ， 解得， ； ④当，时， ， ， ， ， 解得， ； ⑤当，时， ， ， ， 解得：， ； ⑥当，， ， ， ，不成立， 综上所述，∠C的度数为：，． 20．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．    （1）【问题解决】如图②，在中，，，若的三分线交于点D，则________． （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． （3）【延伸推广】在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，并且．直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 【思路点拨】 （1）分两种情况讨论，结合三角形外角的性质，分别求解即可； （2）根据题意，求得，即可求解； （3）根据“三分线”的定义，分四种情况，分别画图求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴ 当是“邻三分线”时，， ； 当是“邻三分线”时，， ； 故答案为：或； （2）∵、分别是邻三分线和邻三分线 ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴； （3）分4种情况进行画图计算： 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，    ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，    ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，    ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，且    ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 综上，或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$