专题1.1 与三角形有关线段的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题1.1 与三角形有关线段的综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 二、三角形的角平分线、中线和高 1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 典例分析 【典例1】【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【思路点拨】 （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【解题过程】 （1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 2．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（　　）    A． B． C． D． 4．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边和上，，，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 5．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 6．（2023下·七年级课时练习）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 7．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）若△ABC中AB＝AC，且面积为定值，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3，C到AB的距离CH＝7时，P到AB的距离为 ． 8．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    9．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 ． 10．（2023下·江苏苏州·七年级统考期中）如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为 ．    11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则 ． 12．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是 ．    13．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为 ．    14．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为 ．    15．（2023上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长．    16．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在四边形ABCD中，、、、分别在边、、、上，且，，，．    （1）连接，，若三角形的面积为9平方厘米，则三角形的面积是三角形______，三角形的面积是______． （2）如果阴影部分面积为45平方厘米，则四边形的面积是多少? 17．（2023上·广东广州·八年级广州大学附属中学校考开学考试）在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 18．（2024上·北京西城·七年级北京四中校考阶段练习）设的面积为． （1）如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） （2）如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） （3）如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 19．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点　　； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，，则　　； ②请写出与，之间的数量关系　　，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积　　．（用含的代数式表示） 20．（2023下·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知的面积是60，请完成下列问题：    （1）如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“<”“=”） （2）如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，，则，由题意得：，，可列方程组为：，解得______，则可得四边形的面积为______． （3）如图3，，，则四边形的面积为______． （4）如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 与三角形有关线段的综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 二、三角形的角平分线、中线和高 1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 典例分析 【典例1】【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【思路点拨】 （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【解题过程】 （1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 【思路点拨】 如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答． 【解题过程】 解：如图：连接AF ∵BE=3，AE=6， ∴AB=9， ∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等， ∴，即 同理可得：，即 ∴． 故选：A． 2．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【解题过程】 解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B． 3．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【思路点拨】 连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，，进而得到，推出，即可得解． 【解题过程】 解：连接，    ∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：； 故选C． 4．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边和上，，，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【思路点拨】 连接，设，则，然后再根据三角形的等分线的性质表示出、、、，进而表示出、、，再根据列出关于x的方程并求解，最后将x的值代入计算即可． 【解题过程】 解：如图：连接， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 5．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【思路点拨】 连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【解题过程】 解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A． 6．（2023下·七年级课时练习）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 【思路点拨】 根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【解题过程】 解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x； 因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x， 因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x， 因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长， S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高， ∴6＞高＞3， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故答案为：5． 7．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）若△ABC中AB＝AC，且面积为定值，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3，C到AB的距离CH＝7时，P到AB的距离为 ． 【思路点拨】 分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解． 【解题过程】 解：如图①， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，S△ABC＝AB•CH． 又∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PE+AC•PF＝AB•CH． ∵AB＝AC， ∴PE+PF＝CH， ∴PE＝7﹣3＝4； 如图②，PE＝PF+CH．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，S△ABC＝AB•CH， ∵S△ABP＝S△ACP+S△ABC， ∴AB•PE＝AC•PF+AB•CH， 又∵AB＝AC， ∴PE＝PF+CH， ∴PE＝7+3＝10； 故答案为10或4． 8．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    【思路点拨】 连接，根据面积法求得的长，即可通过三角形面积公式求得的长，再根据，可得，再利用，即可解答． 【解题过程】 解：如图，连接，    ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 9．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解． 【解题过程】 解：如图，连接， 是的中点， ，， ， 即， 是边上靠近的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 10．（2023下·江苏苏州·七年级统考期中）如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为 ．    【思路点拨】 如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【解题过程】 解：如图：连接，过点C作于点H，    ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：5． 11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则 ． 【思路点拨】 根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答． 【解题过程】 解： 为的中线， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， ， 根据，列方程， 解得， ． 故答案为：84． 12．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是 ．    【思路点拨】 连接，．由题意中的线段的比和，可推出，，从而可求出，．结合中点的性质即得出，从而可求出，进而得出，最后即得出，最后即可求出． 【解题过程】 解：如图，连接，．    ∵，， ∴，． 又∵， ∴，． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为 ．    【思路点拨】 如图: 连接，设，，根据“等底同高的三角形面积相等”可得、、、、，进而列出二元一次方程组求解可得；同理：连接，设，，可得，最后根据即可解答． 【解题过程】 解： 如图: 连接，设，，    E、F分别是边上的三等分点，的面积为90， ∴，，， ∵D是边的中点， ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：，即； 如图: 连接，设，，    ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：； ∴, . ． 故答案为． 14．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为 ．    【思路点拨】 利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【解题过程】 解：在图①中，连接，    ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：60. 15．（2023上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长．    【思路点拨】 先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系． 【解题过程】 解：设，则， 边上的中线把的周长分成60和40两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， ，． 16．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在四边形ABCD中，、、、分别在边、、、上，且，，，．    （1）连接，，若三角形的面积为9平方厘米，则三角形的面积是三角形______，三角形的面积是______． （2）如果阴影部分面积为45平方厘米，则四边形的面积是多少? 【思路点拨】 （1）由图，，； （2）由图，，，，．可推得，进而求得． 【解题过程】 （1）解：如图，∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1），，， ∴． 同理，，，． ∴ ． ∴． ∴． 17．（2023上·广东广州·八年级广州大学附属中学校考开学考试）在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 【思路点拨】 （1）分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证； （2）连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证； （3）作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解． 【解题过程】 解：（1）证明： （2）如图②，连接PB， ， （3）如图③，即为图像， 连接PB，作交BC的延长线于E点， ， 18．（2024上·北京西城·七年级北京四中校考阶段练习）设的面积为． （1）如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） （2）如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） （3）如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 【思路点拨】 此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键． （1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可； （2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可； （3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可． 【解题过程】 （1）如图, 连接， , ，， ， 同理可得出：， ， 故答案为: ； （2）如图，连接， ， 根据等高两三角形的面积比等于底之比， ， ， ， 同理可得出：， ∴； 故答案为: ； （3）如图，过点作于点， ， ， ，即， 同理 ， 设 ，， ，即； ，， ， 又 ， ， 故答案为: ． 19．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点　　； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，，则　　； ②请写出与，之间的数量关系　　，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积　　．（用含的代数式表示） 【思路点拨】 （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 20．（2023下·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知的面积是60，请完成下列问题：    （1）如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“<”“=”） （2）如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，，则，由题意得：，，可列方程组为：，解得______，则可得四边形的面积为______． （3）如图3，，，则四边形的面积为______． （4）如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为______． 【思路点拨】 （1）过点A作于点H，根据中线的定义得出，再根据三角形的面积公式得出，即可得出结论； （2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据，即可求解； （3）连接，根据题意得出，，则，，设，，则，，列出方程组求解， 最后根据即可求解； （4）连接，根据题意得出，，用和（3）一样的方法即可求解． 【解题过程】 （1）解：过点A作于点H， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：=； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∴， 故答案为：，20； （3）解：连接， ∵，， ∴，， ∵的面积是60， ∴，， 设，，则，， ，解得：， ∴； 故答案为：11； （4）解：连接， ∵D，F是的三等分点，E，G是的三等分点， ∴，， ∴，， ∵的面积是60， ∴，， 设，，则，， ，解得：， ∴； 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$