专题12.3 整式的乘除（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（华东师大版）

专题12.3 整式的乘除（满分100） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 4．（山东省淄博市2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 5．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 6．（23-24九年级上·湖北·周测）若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 7．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，，都是正整数，其中，且，设，则（    ） A．3 B．69 C．3或69 D．2或46 8．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 9．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 10．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）亮亮在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算： ． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）若x， y是自然数且满足． ，则 ． 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知非0数满足，那么 ． 14．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知，为自然数，且，若，则 ， ． 15．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（23-24八年级上·全国·课时练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．（8分）（22-23七年级上·江西景德镇·期末）分解因式： （1）； （2）； （3）计算：； （4）． 18．（6分）（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）先化简，再求值： （1），其中； （2）的值，其中． 19．（6分）（23-24七年级上·广东广州·期中）求解下列问题： （1）试确定和，使能被整除． （2）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求． （3）已知，求的值． 20．（6分）（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 21．（7分）（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 22．（7分）（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 23．（7分）（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    （1）如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． （3）若x满足，则的值为______； （4）小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； （5）如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.3 整式的乘除（满分100） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是把看作一个整体，熟练掌握完全平方公式． 先把变形为，把看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于的方程，解方程即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， 整理的：， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 【思路点拨】 本题主要考查了多项式乘以多项式．根据题意可知，再根据多项式乘以多项式的计算法则去括号得到，则，由此求解即可． 【解题过程】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式，先根据题意得到，进而推出，再根据偶次方的非负性得到，则当时，代数式有最小值10，据此可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值10， 故选：C． 4．（山东省淄博市2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【思路点拨】 本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【解题过程】 解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 5．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【思路点拨】 本题考查了找规律-数字类，整式的混合运算，根据题意找出规律，当时代入规律求解，再找出2的次方末尾数字规律即可得到答案． 【解题过程】 解：由题意可得，， 当时，， ， ，，，，， 尾数是4个一循环， ， 尾数为：， 故选：C． 6．（23-24九年级上·湖北·周测）若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【思路点拨】 本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于的最高次项是，而的最高次项是，因此可设 ，将按照多项式乘法法则乘开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出的值即可． 熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键． 【解题过程】 解：设， ， ， 解得，，，， ， 故选：A． 7．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，，都是正整数，其中，且，设，则（    ） A．3 B．69 C．3或69 D．2或46 【思路点拨】 本题考查整式化简求值，因式分解的应用． 先化简，再根据得，求得或，从而求得或，再代入计算即可． 【解题过程】 解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵ ∴或， ∴当时，原式， 当时，原式， ∴或69． 故选：C． 8．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 【思路点拨】 本题考查因式分解的应用．将式子转化为，根据a、b、c为整数，以及，假设，则有两种情况，或，进而得到当时，的值最小，求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵a、b、c为整数， ∴均为整数， 假设， ∵， ∴有两种情况， ①，此时：； ②，此时：； ∴的最小值为； 故选B． 9．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 【思路点拨】 先由题意得到，，然后解方程组得到，当时，，则此时，即可判断I；得，即可判断②；根据1的任何次方为1，的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ． 【解题过程】 解：由题意得，，， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴当时，，则此时，故结论I正确； 得， ∴，故结论Ⅱ正确； 当时，，此时满足； 当时，则，此时， ∴，，此时满足； 当时，则， 此时， ∴，此时满足， 综上所述，若，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误， 故选B． 10．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 【思路点拨】 本题考查了整式的加减与乘法，求出，可得当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【解题过程】 解：∵，， ∴， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 即， ∴， ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 故选：C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）亮亮在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算： ． 【思路点拨】 本题考查平方差公式（两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差），解题的关键是将转化为，然后利用平方差公式进行计算即可． 【解题过程】 解： ． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）若x， y是自然数且满足． ，则 ． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵x， y是自然数， ∴，或，． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 故答案为：5或3． 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知非0数满足，那么 ． 【思路点拨】 本题主要考查完全平方公式进行化简求值．先将变形为，求得，，，进而解决此题． 【解题过程】 解：， ． ． ． ． ． ． ，，， ，，． ，，． ． 故答案为：． 14．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知，为自然数，且，若，则 ， ． 【思路点拨】 化简原式可得：，设，则，再根据可求，． 【解题过程】 解：， ， ， ． 设，则， ，为自然数， ，， ，或 ，， 不合题意，舍去或，， ． 故答案为：，． 15．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 【思路点拨】 由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可． 【解题过程】 解：由题意知，卡片数字为，，，，，，…… ∵三张卡片上的数字乘积为， ∴使三数之和最大的三个数为，，， ∴， ∴使三数之和最小的三个数为，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（23-24八年级上·全国·课时练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 （1）原式利用完全平方公式与平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． （2）根据平方差公式直接计算即可得到答案； （3）先把原式变形，然后根据平方差公式展开，最后根据完全平方公式展开计算即可； （4）先把原式变形，然后根据完全平方公式展开计算即可； 【解题过程】 （1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 17．（8分）（22-23七年级上·江西景德镇·期末）分解因式： （1）； （2）； （3）计算：； （4）． 【思路点拨】 （1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得； （2）利用分组分解法进行因式分解即可得； （3）先利用公式法分解和，从而可得的值，再代入计算即可得； （4）先利用十字相乘法分解，再利用提公因式法进行因式分解即可得． 【解题过程】 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， ， ， ； （4）原式 ． 18．（6分）（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）先化简，再求值： （1），其中； （2）的值，其中． 【思路点拨】 （1）利用平方差公式及整式的乘法先化简，然后代入求解即可； （2）先根据完全平方公式、平方差公式和合并同类项法则化简，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出和的值，最后根据完全平方公式变形求值即可． 【解题过程】 （1）解： ， 当时， 原式 ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴原式 ． 19．（6分）（23-24七年级上·广东广州·期中）求解下列问题： （1）试确定和，使能被整除． （2）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求． （3）已知，求的值． 【思路点拨】 （1）由整除知可设商式为，与 相乘得出一个多项式，与原多项式形成恒等式即可得解； （2）可设两个一次式分别为和，利用多项式的乘法展开形成一个多项式，与原多项式形成恒等式即可得解； （3）由得出和的值，再由得出的表达式，从而求出它的值． 【解题过程】 （1）∵能被， ∴可设商式为 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴时，能被 整除； （2）∵关于的二次式可分解为两个一次因式的乘积， 又∵ ∴可设两个一次式分别为和， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴a的值为6； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴的值为． 20．（6分）（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 【思路点拨】 （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【解题过程】 （1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 21．（7分）（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【解题过程】 （1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 22．（7分）（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 【思路点拨】 本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【解题过程】 （1）①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； （2）设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 23．（7分）（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    （1）如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． （3）若x满足，则的值为______； （4）小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； （5）如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式； （2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果； （3）根据（2）中的方法可得到结果； （4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可； （5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果． 【解题过程】 （1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即， 两种方法可得出：； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：设，， ∵x满足， ∴， ∵， ∴， ∴的值为； （4）解：， A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， 根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片， 则； （5）解：由图知，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， 设，， 则，， 由，得， ∴， ∴， 即， ∴阴影部分的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$