第08讲 角平分线性质（4个知识点+6个考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第08讲 角平分线性质（4个知识点+6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 会作一个角的平分线，能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点。 2. 掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题 3. 通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实。 知识点1.作已知角的平分线（重点） 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【例1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理． 【变式1-1】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 【变式1-2】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数． 【变式1-3】（2023八年级·福建福州·期末）求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等． 要求：根据给出的和（，），在此图形上用尺规作出和的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．    知识点2.角的平分线的性质（重点） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【例2】如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 【变式2-1】（2023八年级·重庆潼南·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ．    【变式2-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，中，，平分，，，求的面积．    【变式2-3】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，平分，过点作于点，并延长交的延长线于点，且．求证：．    知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点） (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【例3】求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在的直线）距离相等． 要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程． 【变式3-1】证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． (1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证． (2)并写出证明过程． 【变式3-2】小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证： 已知：如图，，点D在射线上， ， 求证： ．    (1)补全图形，已知和求证； (2)按小颖的想法写出证明过程． (3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明． 【变式3-3】（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3．角平分线”部分内容． 【联想证明】在学完角平分线的性质定理后， ①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：________． ②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明． 已知：如图，点是内部一点，________． 求证：________． 证明：    知识点4.角的平分线的判定（重点） 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【例4】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 【变式4-1】如图，，是的中点，平分，求证：平分．    【变式4-2】（2023八年级·贵州安顺·期末）如图，，，，点是的中点，求证：平分． 【变式4-3】（2023八年级·辽宁盘锦·期末）如图，，，，、交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求的度数．（用含α的式子表示） 考点1：利用角平分线的性质证明线段相等 1．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，D是平分线上的一点，若，求证： 2．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，平分，． 探究：如图2，平分，．，求证：． 3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）四边形中，，平分，于，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题： (1)如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：． 5．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 考点2：角平分线的性质与三角形面积的综合运用 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图．射线是的平分线，是射线上一点，于点，点是射线上一点，若，且的面积是6，则长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 8.（2023八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：角平分线性质和判定的综合 9.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 11．（2023八年级·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 考点4：添加辅助线解决角平分线的问题 12.如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 13．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，和的平分线相交于点，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 14．（2023秋•黄冈期末）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 考点5：利用角平分线的判定求角的度数　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15.在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 16.（2023八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17.（2023八年级·山东聊城·期末）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 考点6：三角形内角平分线的应用 18.（2023八年级·黑龙江大庆·期末）中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是 . 19.（2023·甘肃武威·八年级期末）如图，的三边 、、的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则 ． 20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•邹平市期末）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2023秋•廉江市期末）如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2023秋•东丰县期末）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是　　 A．3 B．2.4 C．4 D．5 4．（2023秋•肥东县期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是　　 A．3 B．4 C．6 D．5 5．（2023秋•南宁期末）如图，在中，，是的平分线，若，，则点到的距离是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023秋•廉江市期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数　　 ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023秋•博兴县期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023秋•公安县期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是　　 A．12 B．8 C．24 D．11 9．（2023秋•定陶区期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 A． B． C． D． 10．（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•伊犁州期末）如图中，，平分，，，则的面积是 　　． 12．（2023秋•庆阳期末）如图，在中，，是的一条角平分线，若，则点到的距离为 　　． 13．（2023秋•高邮市期末）如图，中，，，，与的角平分线交于点，则点到的距离为 　　． 14．（2023秋•北京期末）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点，当，的面积为3时，的长为 　　． 15．（2023秋•平泉市期末）如图，已知点是角平分线上的一点，，，，如果点是上一个动点． （1）若时，与的位置关系 　　； （2）最小值为 　　． 16．（2023秋•福田区校级期末）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为 　　． 三．解答题（共9小题） 17．（2023秋•广安期末）如图，于，于，和交于，且，求证：平分． 18．（2023秋•湖北期末）如图，在中，是的平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长． 19．（2023秋•盘山县期末）如图，中，，的平分线交于点，，，，求的面积． 20．（2023秋•盐池县期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，．求证：是的角平分线． 21．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 22．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23．（2023秋•大同期末）已知：如图，是的平分线，是上的一点，，，垂足分别为、，点是上的另一点，连接，．求证：． 24．（2023秋•龙山区期末）已知：在中，平分，平分． （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，连接，作，，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 角平分线性质（4个知识点+6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 会作一个角的平分线，能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点。 2. 掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题 3. 通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实。 知识点1.作已知角的平分线（重点） 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【例1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理． 【答案】见解析. 【分析】利用基本作图（作已知角的角平分线）作出OC，同时得到OC′，然后根据“SSS“判断△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根据等角的补角相等得到∠AOC′=∠BOC′． 【详解】解：如图，射线或为所作． 通过证明得到， 然后根据等角的补角相等得到． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【变式1-1】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：连接CN、DN． 由作图可知，CM=DM，CN=DN, 在△MCN和△MDN中， ， ∴△MCN≌△MDN（SSS）， ∴∠CMN=∠DMN， ∵∠AOB=∠CMN=∠DMN， ∴∠CMD=2∠AOB=40°， 故选：D 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-2】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数． 解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数． 解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°. 方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键． 【变式1-3】（2023八年级·福建福州·期末）求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等． 要求：根据给出的和（，），在此图形上用尺规作出和的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．    【答案】画图和已知、求证和证明见解析 【分析】首先根据题意做出和的角平分线，然后证明出，得到，进而证明出即可． 【详解】如图所示，和分别是和的角平分线，    已知：在和中，，，和分别是和的角平分线，且． 求证： 证明：∵，， ∴ ∴ ∵和分别是和的角平分线， ∴ ∴ 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 知识点2.角的平分线的性质（重点） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【例2】如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB； (2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵ ∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等． 【变式2-1】（2023八年级·重庆潼南·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ．    【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高． 过点E作于F，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵是边上的高， ∴． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：6．    【变式2-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，中，，平分，，，求的面积．    【答案】5 【详解】解：作如图， ∵平分，，， ∴， ．    【变式2-3】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，平分，过点作于点，并延长交的延长线于点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．根据角平分线的性质可得，然后利用全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】证明：， ， 平分，， ，， 在和中， ， ， ． 知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点） (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【例3】求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在的直线）距离相等． 要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程． 【详解】解；已知：如图，的外角平分线与外角平分线相交于点P． 求证：； 证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵的外角平分线与相交于点P， ∴，， ∴． 即点P到三边、、所在直线的距离相等 ∴三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等． 【变式3-1】证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． (1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证． (2)并写出证明过程． 【答案】(1)，，垂足分别为、； (2)证明见解析 【详解】（1）解：已知：如图，，点在上，，垂足分别为、； 求证：． （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3-2】小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证： 已知：如图，，点D在射线上， ， 求证： ．    (1)补全图形，已知和求证； (2)按小颖的想法写出证明过程． (3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明． 【详解】（1）补全图形如图所示．    已知：如图，，点D在射线上，，垂足分别为E，F． 求证：． （2）∵， ． ∴． 在和中， ∴． ∴． （3）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 它是真命题．   已知：如图，点P为内一点，，垂足分别为D，E，且． 求证：平分． 证明：∵，垂足分别为D，E． ∴． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应角相等）． ∴平分．    【变式3-3】（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3．角平分线”部分内容． 【联想证明】在学完角平分线的性质定理后， ①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：________． ②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明． 已知：如图，点是内部一点，________． 求证：________． 证明：    【详解】解：①角平分线性质定理的逆命题为：在角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上； ②已知：如图，点是内部一点，点P到距离等于点P到距离． 求证：点P在角平分线上． 证明：过点P作， ∵点P到距离等于点P到距离， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即点P在角平分线上．    知识点4.角的平分线的判定（重点） 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【例4】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【变式4-1】如图，，是的中点，平分，求证：平分．    【详解】证明：如图：过点作，垂足为， 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又， ， ，， 平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 【变式4-2】（2023八年级·贵州安顺·期末）如图，，，，点是的中点，求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形性质和判断，以及角平分线的判定，连接、，根据“”证得和根据“”证得，利用全等三角形性质，即可解题． 【详解】证明：如图，连接、， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分． 【变式4-3】（2023八年级·辽宁盘锦·期末）如图，，，，、交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）过点作于，于，可证明，可证得，利用角平分线的判定可证明结论； （3）由（1）可得，再利用三角形内角及外角的性质可求得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， ， 于，于， 平分； （3）解：， ， ， ， ， 由（2）得平分， ， 即． 考点1：利用角平分线的性质证明线段相等 1．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，D是平分线上的一点，若，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查交角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点D分别作的垂线，交于，交于，证明，即可． 【详解】证明：过点D分别作的垂线，交于，交于， 则， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，平分，． 探究：如图2，平分，．，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，过点D作于E，交的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，通过导角证明，进而得出，即可证明． 【详解】证明：如图，过点D作于E，交的延长线于F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）四边形中，，平分，于，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；，角平分线的性质，证明线段相等往往通过三角形全等来证明，还要运用相等的线段进行转移，这是很重要的方法，注意掌握． （1）根据角平分线的性质可得到，根据余角的性质可得到，已知，从而利用即可判定． （2）根据判定得，最后证得即可． 【详解】（1）平分，， ， 在与中， ∴； （2）在与中， ， ，， ． 4．（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题： (1)如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可； （2）过点作于点，作于点，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作的平分线交于点； （2）证明：如图，过点作于点，作于点， 则， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 5．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析，②，证明见解析； (2)结论成立，证明见解析 (3)②的结论不成立，结论为：，证明见解析 【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明，证明，可得，从而可得结论； （2）证明，再证明，可得．证明，可得，从而可得结论； （3）证明，，可得，证明，可得．再证明，可得，结合，而，从而可得结论． 【详解】（1）证明：①∵平分，， ∴，． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （2）∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （3）②的结论不成立，结论为：，理由如下： ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键． 考点2：角平分线的性质与三角形面积的综合运用 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 7．如图．射线是的平分线，是射线上一点，于点，点是射线上一点，若，且的面积是6，则长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作于点，根据三角形的面积公式，求出，再利用角平分线的性质定理，即可得到长． 【详解】解：如图，过点作于点， 的面积是6， ， ， ， 点是的平分线上一点，且，， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角形面积公式，角平分线的性质定理，解题关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 8.（2023八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质推出即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断． 【详解】解：①如图，过点作于点， ∵的平分线交于点P，，，， ，， ， ∴，， ∴平分，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ， ，故②正确；    ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确． 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 考点3：角平分线性质和判定的综合 9.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D. 方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等． 10．（2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】/118度 【分析】根据到三边的距离相等得到点是角平分线的交点，即可得到，再利用三角形内角和进行角度计算即可． 【详解】， ， 点到三边的距离相等， 点是角平分线的交点， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的判定以及角平分线性质的运用；得到点是三角形角平分线的交点是解题关键． 11．（2023八年级·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1） ， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 考点4：添加辅助线解决角平分线的问题 12.如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明． 证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题． 13．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，和的平分线相交于点，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得，，，根据角之间的关系得，即可得； （2）过点作，，垂足分别为，根据角平分线的性质得，，根据即可得． 【详解】（1）解：∵分别平分，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为．    平分， ， 同理得． ． 又， 平分． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 14．（2023秋•黄冈期末）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可； （2）首先过点作于．作于，连接，根据角平分线的性质，可得，又由在中，，，求得，又由，利用，即可证得，由全等三角形的对应边相等，即可证得； （3）过点作于．作于，连接，根据角平分线的性质，可得，由，即可求得，，继而求得，利用，即可证得，由全等三角形的对应边相等，即可证得． 【解答】解：（1）、分别是、的平分线， ，， ，， ； （2）相等， 理由：如图①，过点作于．作于，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）成立． 理由：如图②，过点作于．作于，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 又，， ， 在和中， ， ． 【点评】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 考点5：利用角平分线的判定求角的度数　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15.在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故选A. 方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 16.（2023八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点E，作于点F，根据可证，从而可知是的平分线，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，作于点E，作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴ ∴， ∴是的平分线． ∴． 故选C． 17.（2023八年级·山东聊城·期末）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【详解】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 考点6：三角形内角平分线的应用 18.（2023八年级·黑龙江大庆·期末）中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是 . 【答案】2 【分析】根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF，根据三角形面积公式求出R即可． 【详解】解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC， ∵O为∠A、∠B的平分线的交点， ∴OD＝OF，OE＝OF， ∴OD＝OE＝OF， 设OD＝OE＝OF＝R， ∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO， 则×6×8＝×6R＋×8R＋×10R， 解得R＝2， 即OD＝OE＝OF＝2， ∴点O到三边的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键 19.（2023·甘肃武威·八年级期末）如图，的三边 、、的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点O作，，分别垂直于，，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而可得到三个三角形面积的比值． 【详解】如图，过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E．    ∵平分， ∴． 同理， ∴． ∵的三边的长分别为40，50，60， ∴ ， 故答案为：． 20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 解：(1)可选择的地点有4处，如图： P1、P2、P3、P4，共4处． (2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•邹平市期末）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点、、、中的哪一点在的平分线上． 【解答】解：从图上可以看出点在的平分线上，其它三点不在的平分线上． 所以点到两边的距离相等．故选． 【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出平分线上的点是解答问题的关键． 2．（2023秋•廉江市期末）如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解． 【解答】解：过点作于点，如图， 点在的平分线上，，， ， 在中， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．（2023秋•东丰县期末）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是　　 A．3 B．2.4 C．4 D．5 【分析】由垂线段最短可知当时，最短，根据角平分线的性质即可得出结论． 【解答】解：当时，的值最小， 平分， 当时， ， ， 的最小值是3， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 4．（2023秋•肥东县期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是　　 A．3 B．4 C．6 D．5 【分析】过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：过点作于， 是的角平分线，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 5．（2023秋•南宁期末）如图，在中，，是的平分线，若，，则点到的距离是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】过点作于点，求出，再由角平分线的性质得，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点作于点， ，， ， 是的角平分线，， ， 即点到的距离是2， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2023秋•廉江市期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数　　 ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解答】解：①过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ，②正确； ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知， ，， ，故④正确， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7．（2023秋•博兴县期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过点作于点，由角平分线的性质可得出，故①正确；连接，由可知点在的平分线上，故②正确；由平行线的性质可知，再由可知，由定理可知，故，所以，由图可知，故③错误；根据是的平分线可知，再由可知，，故可得出，据此得出结论． 【解答】解：过点作于点， 平分，平分，于点，于点， ，， ，故①正确； 连接， ， 点在的平分线上，故②正确； ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，由图可知，故③错误； 是的平分线， ， ， ，， ， ，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8．（2023秋•公安县期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是　　 A．12 B．8 C．24 D．11 【分析】过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【解答】解：过作于，如图所示： ， ， 平分，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度． 9．（2023秋•定陶区期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 A． B． C． D． 【分析】直接利用三角形的角平分线的性质和结合三角形面积求法得出答案． 【解答】解：点为与的平分线的交点， 点在的角平分线上， 点到的三边的距离相等， 过作，连接， ， 又，，为直角三角形， ， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键． 10．（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 【分析】过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【解答】解：过点作于点， 根据题意得，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查角分线的尺规作图和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•伊犁州期末）如图中，，平分，，，则的面积是 　14　． 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点作于， ，平分， ， 的面积． 故答案为：14． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 12．（2023秋•庆阳期末）如图，在中，，是的一条角平分线，若，则点到的距离为 　6　． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点到的距离长为等于的长，进行解答即可． 【解答】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单． 13．（2023秋•高邮市期末）如图，中，，，，与的角平分线交于点，则点到的距离为 　2　． 【分析】连接，过作于，于，于，由角平分线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，即可求出，于是得到点到的距离是2． 【解答】解：连接，过作于，于，于， 、分别平分和， ， ，，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到的距离是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到． 14．（2023秋•北京期末）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点，当，的面积为3时，的长为 　1　． 【分析】过点作于，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到． 【解答】解：如图所示，过点作于， ，的面积为3， ， ， 是边上的高线，的平分线交于点， ， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 15．（2023秋•平泉市期末）如图，已知点是角平分线上的一点，，，，如果点是上一个动点． （1）若时，与的位置关系 　　； （2）最小值为 　　． 【分析】（1）根据角平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定进行解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果． 【解答】解：（1）平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作， 是角平分线上的一点，， ， ，， ， 平分，，， ， 点是上一个动点， 的最小值为到距离，即的长， 的最小值． 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． 16．（2023秋•福田区校级期末）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为 　6　． 【分析】过点作于点，于点，于点，如图，先根据角平分线的性质可得，再利用勾股定理计算出，利用三角形面积公式计算出，由于，所以，从而可求出，然后利用得到，所以． 【解答】解：过点作于点，于点，于点，如图， 平分，平分，与交于点， ，， ， ，，， ，， ， ， 即， 解得， 点的直线平分面积， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判定与性质． 三．解答题（共9小题） 17．（2023秋•广安期末）如图，于，于，和交于，且，求证：平分． 【分析】先根据定理得出，故可得出，由此可得出结论． 【解答】证明：于，于， ． 在与中， ， ， ， 平分． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 18．（2023秋•湖北期末）如图，在中，是的平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长． 【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解方程即可． 【解答】解：是的平分线，，， ， ， ， 即， 解得， 即的长为． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 19．（2023秋•盘山县期末）如图，中，，的平分线交于点，，，，求的面积． 【分析】过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可． 【解答】解：过作于， ， ， 平分， ， ， 故的面积为：24． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 20．（2023秋•盐池县期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，．求证：是的角平分线． 【分析】首先可证明再根据三角形角平分线的逆定理求得是角平分线即可． 【解答】证明：，， 和是直角三角形． ， ， ， ，，， ， ， 是的角平分线． 【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到是正确解答本题的关键． 21．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【分析】（1）过点作于点，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【解答】证明：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ． （2），， ， 再和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 22．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据，是的中点，根据角平分线的性质即可得出结论． （2）根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：连接， 是的中点，， 平分， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握． 23．（2023秋•大同期末）已知：如图，是的平分线，是上的一点，，，垂足分别为、，点是上的另一点，连接，．求证：． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“边角边”证明和全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：是的平分线，，， ， 在和中，， ， ， 是的平分线， ， 在和中，， ， ． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于二次证明三角形全等． 24．（2023秋•龙山区期末）已知：在中，平分，平分． （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，连接，作，，，求的面积． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形内角和计算的度数； （2）作于，于，如图2，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算的面积． 【解答】解：（1）平分， ， 平分， ， ； （2）作于，于，如图2， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$