专题09 有理数的除法（新知讲练+高频易错点+七大模块讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题09 有理数的除法 （新知讲练+高频易错点+七大模块讲练+培优精练） 知识技能目标 掌握有理数除法的概念：学生应明确有理数除法的定义，理解除法运算中除数不能为0的规则。 熟练掌握有理数除法的法则：学生应能够熟练运用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的除法法则进行有理数的除法运算。 理解有理数除法的符号法则：学生应掌握“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的符号法则，确保在运算过程中能够正确判断结果的符号。 熟练进行有理数的混合运算：学生应能够将有理数的除法运算与加、减、乘等运算结合，进行有理数的混合运算，并能够灵活运用运算律简化运算过程 能力目标 培养抽象思维能力：通过有理数除法的学习，学生能够将实际问题抽象为数学问题，用数学方法解决问题，培养抽象思维能力。 培养逻辑推理能力：在有理数除法的学习中，学生需要理解并掌握除法运算的规律和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够根据有理数除法的法则熟练地进行有理数的除法运算，提高运算速度和准确性。 某周每天上午8时的气温记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -3℃ -2℃ -3℃ 0℃ -2℃ -1℃ -3℃ 这周每天上午8时的平均气温为多少？ 即 （-14）÷7 你怎样计算上述结果？有几种方法？ 对于这一算式小丽和小明有两种算法： 因为 （-2）×7= -14 所以 （-14）÷7= -2 除法是乘法的逆运算 除以一个数等于乘这个数的倒数 请你比较他们的算法是否都正确？你能根据他们的算法总结出有理数除法的规律吗？ 有理数除法法则： 　除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数. 有理数的除法有与乘法类似的法则： 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识点01：有理数除法的定义 有理数除法定义为求一个数被另一个数（不为零）除的商。例如，对于有理数a和b（b≠0），a除以b的商表示为a÷b或。 知识点02：有理数除法的运算法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a÷b = a × （其中b≠0）。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。例如，如果a和b同号（同为正或同为负），则a÷b的结果为正；如果a和b异号（一个为正，一个为负），则a÷b的结果为负。在运算过程中，我们只关注绝对值的大小，然后确定结果的符号。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。即0÷b = 0（其中b≠0）。 知识点03：有理数除法的运算顺序 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 在有理数的加减乘除混合运算中，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 知识点04：应用实例 通过实际问题和例子，学生可以更好地理解有理数除法的应用。例如，在解决速度、时间和距离的关系时，常常需要用到有理数除法。 知识点05：高频常考易错点 易错点01：对除法法则的理解不清 混淆乘除运算：部分学生可能会将除法和乘法混淆，忘记“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的法则。例如，在计算-2除以-3时，可能会错误地将其视为乘法运算，得到结果6，而不是正确的结果2/3。 忽视符号法则：在有理数除法中，符号的处理非常重要。学生可能会忽视“两数相除，同号得正，异号得负”的法则，导致结果符号判断错误。 易错点02：运算顺序的误解 先加减后乘除：学生可能会按照从左到右的顺序进行运算，忽视“先乘除后加减”的运算顺序。例如，在计算-2+3÷(-1)时，他们可能会先计算-2+3得到1，然后再除以-1，得到-1，而正确的答案应该是-5。 忽视括号的作用：在包含括号的表达式中，学生可能会忽视括号的作用，导致运算顺序错误。例如，在计算(-2)÷(-3)×4时，他们可能会先计算-2÷-3得到0.667，然后再乘以4得到2.667，而正确的答案应该是。 易错点03：其他易错点 对0的除法特性理解不足：学生可能会忘记任何数（除0外）除以0都是无意义的，这可能导致在解题过程中出现错误。 计算过程中的粗心大意：在进行除法运算时，学生可能会因为粗心大意而出现计算错误，如抄错数字、忘记进位或借位等。 【典例精讲】（2023秋•海陵区校级月考）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣5 C．5 D．125 【思路分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【详细规范解答】解：原式＝5×5×5＝125． 故选：D． 【考点评析】本题考查有理数的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． 【变式演练01】（2022秋•灌南县校级月考）下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③（）÷（﹣1）；④（﹣4）（﹣2）＝16．其中正确的个数（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路分析】根据有理数的乘法和除法法则分别进行计算即可． 【详细规范解答】解：①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6，故原题计算错误； ②（﹣36）÷（﹣9）＝4，故原题计算错误； ③（）÷（﹣1），故原题计算正确； ④（﹣4）（﹣2）＝16，故原题计算正确， 正确的计算有2个， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是注意结果符号的判断． 【变式演练02】（2023秋•吴江区月考）给出下列等式： ①（﹣1）×（﹣2）×（﹣4）＝8； ②（﹣49）÷（﹣7）＝﹣7； ③（）÷（﹣1）； ④（﹣4）（﹣2）＝4． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路分析】运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别． 【详细规范解答】解：∵（﹣1）×（﹣2）×（﹣4）＝﹣8， （﹣49）÷（﹣7）＝7； （）÷（﹣1）； （﹣4）（﹣2）＝16， ∴算式①，②，④不符合题意， 算式③符合题意， 故选：D． 【考点评析】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 【典例精讲】（2022秋•玄武区期中）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则1；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路分析】分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘法运算，绝对值的性质分别分析得出答案． 【详细规范解答】解：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故①不符合题意； ②若a、b互为倒数，则ab＝1，故②不符合题意； ③若|a|＝a，则a一定为正数或0，故③不符合题意； ④若a+b＝0，则a、b互为相反数，故④符合题意． 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了相反数、倒数的定义、有理数的加法，绝对值的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键． 【变式演练01】（2021秋•常州期中）若三个非零有理数a，b，c满足1，则　﹣1　． 【思路分析】由1知，a、b、c中有一个为负数，故能求的值． 【详细规范解答】解：∵1 ∴a、b、c中有一个为负数，另外两个为正数， ∴1 故答案为﹣1． 【考点评析】本题主要考查有理数除法的知识点，比较简单． 【变式演练02】（2023秋•鼓楼区校级月考）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数．其中正确的有 　④　（请填序号）． 【思路分析】根据有理数的加除法法则，相反数的定义，绝对值性质，倒数性质进行逐项判断即可． 【详细规范解答】解：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故该项不正确； ②0没有倒数，0不能作分母，故该项不正确； ③|a|＝a，则a≥0，故该项不正确； ④若a+b＝0，则a、b互为相反数，故该项正确． 故正确的只有④． 故答案为：④． 【考点评析】本题考查有理数的加除法，相反数，绝对值，倒数．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典例精讲】（2023秋•宿城区期中）已知有理数a，b在数轴上如图所示，则下列式子错误的是（　　） A．a+b＜0 B． C．|a|＞|b| D．﹣a＜b 【思路分析】直接利用数轴、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详细规范解答】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， 则a+b＜0，故选项A正确，不合题意； 0，故选项B正确，不合题意； |a|＞|b|，故选项C正确，不合题意； ﹣a＞b，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了数轴、绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 【变式演练】（2023秋•如东县期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 【思路分析】先根据数轴分析出b＜﹣1＜0＜a＜1，再根据选项进行逐项判断即可． 【详细规范解答】解：由数轴可知， b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，故C项正确； 又可知a+b＜0，0，故A与D正确； a是正数，b是负数，则a﹣2b＞0，故选项B错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查有理数的除法、数轴、绝对值和有理数的加法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【典例精讲】（2021秋•句容市月考）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【思路分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果． 【详细规范解答】解：根据题意得：[（）2×（﹣6）]÷（） ＝[（﹣6）]×（﹣42） ＝﹣21+14﹣30+112 ＝75， 则原式． 【考点评析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式演练】（2015秋•连云港校级月考）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【思路分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（）÷（）的结果，再算出原式结果即可． 【详细规范解答】解：原式的倒数是： （）÷（） ＝（）×（﹣42） ＝﹣（42424242） ＝﹣（7﹣9+28﹣12） ＝﹣14， 故原式． 【考点评析】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 【典例精讲】（2022秋•亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由； （2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由． 【思路分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，取绝对值最大且同号的2张卡片； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，则取绝对值相差越大且异号的两数相除即可得到答案． 【详细规范解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，可抽取﹣7和﹣3，﹣7×（﹣3）＝21； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，可抽取﹣7和1，﹣7÷1＝﹣7． 【考点评析】本题考查有理数的乘、除法运算，同时考查数学运算素质，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【变式演练】（2019秋•邳州市期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　﹣3　、　﹣5　，和的最小值为　﹣8　． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　﹣5　、　4　，差的最大值为　9　． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　﹣3　、　﹣5　，乘积的最大值为　15　． （4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　﹣5　、　3　，商的最小值为　　． 【思路分析】（1）选出最小的两个数，再求和即可； （2）选出最大与最小的数，再求差即可； （3）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都得0，取绝对值尽量大且同号的相乘即可得答案； （4）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则取绝对值相距尽量大且异号的两数相除即可得答案． 【详细规范解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，应该取﹣3和﹣5，（﹣3）+（﹣5）＝﹣8，即和的最小值为﹣8； 故答案为：﹣3；﹣5；﹣8； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，应该取﹣5和4，4﹣（﹣5）＝9，即差的最大值是9； 故答案为：﹣5；4；9； （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，应该取﹣3和﹣5，（﹣3）×（﹣5）＝15，即乘积的最大值为15． 故答案为：﹣3；﹣5；15； （4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，应该取﹣5和3，．即商的最小值为． 故答案为：﹣5；3；． 【考点评析】本题考查了有理数的乘除法及加减法运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【典例精讲】（2023秋•鼓楼区校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下： M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1… M（），M（），M（），… 利用以上规律计算： （1）M（28）×M（）； （2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（）]． 【思路分析】（1）根据M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…，可得M（n）＝n﹣3，根据M（），M（），M（），…，可得M（）＝﹣（）2，再根据有理数的乘法，可得答案； （2）根据M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…，可得M（n）＝n﹣3，根据M（），M（），M（），…，可得M（）＝﹣（）2，再根据有理数的除法，可得答案． 【详细规范解答】解：（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（）2]＝25×（）＝﹣1； （2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（）2]} ＝﹣136 ＝﹣1． 【考点评析】本题考查了有理数的除法，利用M（n）＝n﹣3，M（）＝﹣（）2得出有理数的乘除法是解题关键． 【变式演练】（2023秋•天宁区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：[（1+5）﹣（2+10）]÷10，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是[（1+3）﹣（2+6）]÷6，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是（1+7）÷7，且||＜||，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【思路分析】先求出各数的正因数，再根据题目中求“完美指标“的方法计算各数的”完美指标”，即可得出答案． 【详细规范解答】18的正因数有1，2，3，6，9，18， 正奇因数有1，3，9，正偶因数有2，6，18， 18的“完美指标”是[（1+3+9）﹣（2+6+18）]÷18； 19的正因数有1，19， 正奇因数有1，19，无正偶因数， 19的“完美指标”是（1+19）÷19； 20的正因数有1，2，4，5，10，20， 正奇因数有1，5，正偶因数有2，4，10，20， 20的“完美指标”是[（1+5）﹣（2+4+10+20）]÷20； 21的正因数有1，3，7，21， 正奇因数有1，3，7，21，无正偶因数， 21的“完美指标”是（1+3+7+21）÷21； 因为||||， 所以18是18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题目中给出的计算方法进行计算是解决本题的关键． 【典例精讲】（2020秋•灌云县月考）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　． 【思路分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【详细规范解答】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 【考点评析】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重． 【变式演练】（2020秋•宿迁月考）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2020属于　A　类（填A，B或C）； （2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　B　类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　B　类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　①④　（填序号）． ①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类． 【思路分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解； （2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解； （3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断． 【详细规范解答】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类； 故答案为：A； （2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得 （15×1+16×2+17×0）＝47， 47÷3＝15…2， ∴余数为2，属于B类； 故答案为：①B；②B； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n， ∵最后的结果属于C类， ∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确； ②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误； ③若m＝1，n＝1，③错误； ④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确； 综上，①④正确． 故答案为：①④． 【考点评析】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答． 1．（2023秋•丹徒区月考）现有以下五个结论： ①整数和分数统称为有理数； ②绝对值等于其本身的有理数是0和1； ③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示； ④若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1； ⑤几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路分析】根据有理数的乘法、除法法则及相反数和有理数的概念求解可得． 【详细规范解答】解：①整数和分数统称为有理数，此结论正确； ②绝对值等于其本身的有理数只有0和正数，故原结论错误； ③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，此结论正确； ④若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1，此结论正确； ⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误． ∴正确的有①③④共3个． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法、除法法则及相反数和有理数的概念． 2．（2021秋•如东县月考）下面是小明同学完成的作业，他做对的题数是（　　） 判断（正确的打√，错误的打×） ①的相反数上．（×） ②﹣1的倒数是1．（×） ③绝对值等于它本身的数只有1．（√） ④（　　）﹣7＝﹣3，则括号内的数上是4．（×） ⑤（﹣3）÷（）＝1．（√） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路分析】①利用相反数的定义判断即可； ②利用倒数的定义判断即可； ③利用绝对值的代数意义判断即可； ④利用减法的意义判断即可； ⑤利用除法法则计算得到结果，即可作出判断． 【详细规范解答】解：①的相反数是，符合题意； ②﹣1的倒数是﹣1，符合题意； ③绝对值等于本身的数是正数和0，不符合题意； ④﹣3+7＝4，即4﹣7＝﹣3，不符合题意； ⑤原式＝﹣3×（﹣3）＝9，不符合题意． 故选：B． 【考点评析】此题考查了有理数的除法，相反数、绝对值、倒数，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则及各自的性质是解本题的关键． 3．（2023秋•赣榆区校级月考）计算：（）×3÷3×（）＝　　． 【思路分析】先把除法运算转化为乘法运算，然后按照有理数的乘法法则计算即可． 【详细规范解答】解：（）×3÷3×（） ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法则是解题的关键． 4．（2022秋•苏州期中）5G通信技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大容量、更低时延的特性．目前，5G的平均下载速率约是4G的12倍，用4G下载电影《长津湖之水门桥》大约需要8分钟，如果用5G下载这部电影大约需要 　40　秒． 【思路分析】先把8分钟化为480秒，再根据题意列式计算即可． 【详细规范解答】解：8分钟＝480秒， ∵5G的平均下载速率约是4G的12倍， ∴用4G下载电影《长津湖之水门桥》大约需要8分钟，用5G下载这部电影大约需要40（秒）． 故答案为：40． 【考点评析】本题考查的是有理数的除法，熟知有理数的除法法则是解答此题的关键． 5．（2023秋•鼓楼区校级月考）若两个不相等的数互为相反数，则两数之商为　﹣1　． 【思路分析】根据互为相反数的两个数的和为0计算即可． 【详细规范解答】解：若两个不相等的数互为相反数，则两数之商为﹣1． 故答案为：﹣1 【考点评析】本题主要考查了相反数的定义以及有理数的除法，熟知互为相反数的两个数的和为0是解答本题的关键． 6．（2018秋•如皋市期中）已知|x|＝5，y2＝1，且0，则x﹣y＝　±4　． 【思路分析】直接利用绝对值以及平方根的定义得出符合题意的x，y的值，进而得出答案． 【详细规范解答】解：∵|x|＝5，y2＝1， ∴x＝±5，y＝±1， ∵0， ∴x＝5时，y＝1， x＝﹣5时，y＝﹣1， 则x﹣y＝±4． 故答案为：±4． 【考点评析】此题主要考查了绝对值以及平方根的定义，正确得出x，y的值是解题关键． 7.（2022秋•睢宁县校级月考）计算（﹣1）÷（﹣5）×（）的结果是　　． 【思路分析】原式利用有理数的乘除法则计算即可得到结果． 【详细规范解答】解：原式＝﹣1， 故答案为： 【考点评析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2022春•江阴市月考）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为 　18　升． 【思路分析】根据题意列出算式，再按照法则计算即可． 【详细规范解答】解：根据题意得： 3×10÷（50÷30） ＝30 ＝30 ＝18（升）， 答：可以换得的粝米为18升． 故答案为：18． 【考点评析】本题考查有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题关键． 9．（2022秋•锡山区校级月考）如果abc＞0，则　﹣1或3　． 【思路分析】abc＞0，可知a、b、c中二负一正或都是正，再分四种情况讨论即可解答． 【详细规范解答】解：∵abc＞0， ∴a、b、c中二负一正，或都是正， 当a、b为负数，c为正数时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1； 当a、c为负数，b为正数时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1； 当b、c为负数，a为正数时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1； 当a、b、c都是正数时，原式＝1+1+1＝3． 故答案为：﹣1或3． 【考点评析】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是判断a、b、c的符号，再分类讨论．此题难度不大，易于掌握． 10．（2023秋•工业园区校级月考）已知：|x|＝2，|y|＝3，且0，求2x﹣y的值． 【思路分析】先根据绝对值的性质分析出x与y的值，再进行计算即可． 【详细规范解答】解：∵|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3， ∵0， ∴x与y异号， ∴x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝3， 则2x﹣y＝7或﹣7． 【考点评析】本题考查有理数的除法和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 11．（2021秋•洪泽区校级月考）计算： （1）﹣3÷（）÷（）； （2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）； （3）（）×（）÷0.25； （4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）． 【思路分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详细规范解答】解：（1）原式＝﹣3×（）×（） ； （2）原式＝（﹣12）×（）×（） ； （3）原式＝（）×（）×4 ； （4）原式＝（）×（）×（） ． 【考点评析】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 12．（2021秋•姜堰区月考）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y异号，求x÷y的值． 【思路分析】根据绝对值的意义求得x和y的值，然后再根据x，y异号确定x和y的取值，最后代入计算即可． 【详细规范解答】解：∵|x﹣1|＝2，|y+1|＝3， ∴x﹣1＝±2，y+1＝±3， 解得：x＝3或﹣1，y＝2或﹣4， 又∵x，y异号， ∴x＝3，y＝﹣4或x＝﹣1，y＝2， 当x＝3，y＝﹣4时，x÷y， 当x＝﹣1，y＝2时，x÷y， 综上，x÷y的值为或． 【考点评析】本题考查绝对值的意义，有理数的除法运算，理解绝对值的定义，掌握有理数除法运算法则是解题关键． 13．（2022秋•崇川区校级期中）阅读计算：5÷（22）×6 解：原式＝5÷（）×6① ＝5÷（﹣25）② ③ （1）上面解题过程中有两处出现了错误，请写出错误步骤的序号 　①②　； （2）请写出这个计算题的正确解题步骤． 【思路分析】（1）根据有理数的减法和乘除法可以知道错误步骤的序号； （2）根据有理数的减法和乘除法可以解答本题． 【详细规范解答】解：（1）由题目中的式子，可知， 错误的步骤是：①②， 故答案为：①②； （2）解：原式＝5÷（）×6 ＝5×（）×6 ． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 14．（2022秋•江都区校级月考）阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300． 解法三：原式的倒数为（）÷50＝（） 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　一　是错误的．在正确的解法中，你认为解法　三　最简捷．然后，请你解答下列问题： 计算：（）÷（）． 【思路分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷； 利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【详细规范解答】解：上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷； 故答案为：一；三； 原式的倒数为（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14， 则原式． 【考点评析】此题考查了有理数的除法，弄清题意是解本题的关键． 15．（2023秋•锡山区校级月考）阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【思路分析】（1）我认为解法一是错误的； （2）选择解法三求出值即可． 【详细规范解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14， 则原式． 【考点评析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 有理数的除法 （新知讲练+高频易错点+七大模块讲练+培优精练） 知识技能目标 掌握有理数除法的概念：学生应明确有理数除法的定义，理解除法运算中除数不能为0的规则。 熟练掌握有理数除法的法则：学生应能够熟练运用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的除法法则进行有理数的除法运算。 理解有理数除法的符号法则：学生应掌握“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的符号法则，确保在运算过程中能够正确判断结果的符号。 熟练进行有理数的混合运算：学生应能够将有理数的除法运算与加、减、乘等运算结合，进行有理数的混合运算，并能够灵活运用运算律简化运算过程 能力目标 培养抽象思维能力：通过有理数除法的学习，学生能够将实际问题抽象为数学问题，用数学方法解决问题，培养抽象思维能力。 培养逻辑推理能力：在有理数除法的学习中，学生需要理解并掌握除法运算的规律和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够根据有理数除法的法则熟练地进行有理数的除法运算，提高运算速度和准确性。 某周每天上午8时的气温记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -3℃ -2℃ -3℃ 0℃ -2℃ -1℃ -3℃ 这周每天上午8时的平均气温为多少？ 即 （-14）÷7 你怎样计算上述结果？有几种方法？ 对于这一算式小丽和小明有两种算法： 因为 （-2）×7= -14 所以 （-14）÷7= -2 除法是乘法的逆运算 除以一个数等于乘这个数的倒数 请你比较他们的算法是否都正确？你能根据他们的算法总结出有理数除法的规律吗？ 有理数除法法则： 　除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数. 有理数的除法有与乘法类似的法则： 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识点01：有理数除法的定义 有理数除法定义为求一个数被另一个数（不为零）除的商。例如，对于有理数a和b（b≠0），a除以b的商表示为a÷b或。 知识点02：有理数除法的运算法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a÷b = a × （其中b≠0）。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。例如，如果a和b同号（同为正或同为负），则a÷b的结果为正；如果a和b异号（一个为正，一个为负），则a÷b的结果为负。在运算过程中，我们只关注绝对值的大小，然后确定结果的符号。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。即0÷b = 0（其中b≠0）。 知识点03：有理数除法的运算顺序 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 在有理数的加减乘除混合运算中，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 知识点04：应用实例 通过实际问题和例子，学生可以更好地理解有理数除法的应用。例如，在解决速度、时间和距离的关系时，常常需要用到有理数除法。 知识点05：高频常考易错点 易错点01：对除法法则的理解不清 混淆乘除运算：部分学生可能会将除法和乘法混淆，忘记“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的法则。例如，在计算-2除以-3时，可能会错误地将其视为乘法运算，得到结果6，而不是正确的结果2/3。 忽视符号法则：在有理数除法中，符号的处理非常重要。学生可能会忽视“两数相除，同号得正，异号得负”的法则，导致结果符号判断错误。 易错点02：运算顺序的误解 先加减后乘除：学生可能会按照从左到右的顺序进行运算，忽视“先乘除后加减”的运算顺序。例如，在计算-2+3÷(-1)时，他们可能会先计算-2+3得到1，然后再除以-1，得到-1，而正确的答案应该是-5。 忽视括号的作用：在包含括号的表达式中，学生可能会忽视括号的作用，导致运算顺序错误。例如，在计算(-2)÷(-3)×4时，他们可能会先计算-2÷-3得到0.667，然后再乘以4得到2.667，而正确的答案应该是。 易错点03：其他易错点 对0的除法特性理解不足：学生可能会忘记任何数（除0外）除以0都是无意义的，这可能导致在解题过程中出现错误。 计算过程中的粗心大意：在进行除法运算时，学生可能会因为粗心大意而出现计算错误，如抄错数字、忘记进位或借位等。 【典例精讲】（2023秋•海陵区校级月考）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣5 C．5 D．125 【变式演练01】（2022秋•灌南县校级月考）下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③（）÷（﹣1）；④（﹣4）（﹣2）＝16．其中正确的个数（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式演练02】（2023秋•吴江区月考）给出下列等式： ①（﹣1）×（﹣2）×（﹣4）＝8； ②（﹣49）÷（﹣7）＝﹣7； ③（）÷（﹣1）； ④（﹣4）（﹣2）＝4． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例精讲】（2022秋•玄武区期中）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则1；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式演练01】（2021秋•常州期中）若三个非零有理数a，b，c满足1，则　 ． 【变式演练02】（2023秋•鼓楼区校级月考）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数．其中正确的有 　 　（请填序号）． 【典例精讲】（2023秋•宿城区期中）已知有理数a，b在数轴上如图所示，则下列式子错误的是（　　） A．a+b＜0 B． C．|a|＞|b| D．﹣a＜b 【变式演练】（2023秋•如东县期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 【典例精讲】（2021秋•句容市月考）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【变式演练】（2015秋•连云港校级月考）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【典例精讲】（2022秋•亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由； （2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由． 【变式演练】（2019秋•邳州市期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　 　、　 ，和的最小值为　 ． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　 　、　 　，差的最大值为　 　． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　 　、　 ，乘积的最大值为 　． （4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是　 　、　 　，商的最小值为　 ． 【典例精讲】（2023秋•鼓楼区校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下： M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1… M（），M（），M（），… 利用以上规律计算： （1）M（28）×M（）； （2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（）]． 【变式演练】（2023秋•天宁区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：[（1+5）﹣（2+10）]÷10，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是[（1+3）﹣（2+6）]÷6，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是（1+7）÷7，且||＜||，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【典例精讲】（2020秋•灌云县月考）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 ． 【变式演练】（2020秋•宿迁月考）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2020属于　A　类（填A，B或C）； （2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）． ①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类． 1．（2023秋•丹徒区月考）现有以下五个结论： ①整数和分数统称为有理数； ②绝对值等于其本身的有理数是0和1； ③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示； ④若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1； ⑤几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2021秋•如东县月考）下面是小明同学完成的作业，他做对的题数是（　　） 判断（正确的打√，错误的打×） ①的相反数上．（×） ②﹣1的倒数是1．（×） ③绝对值等于它本身的数只有1．（√） ④（　　）﹣7＝﹣3，则括号内的数上是4．（×） ⑤（﹣3）÷（）＝1．（√） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•赣榆区校级月考）计算：（）×3÷3×（）＝　 ． 4．（2022秋•苏州期中）5G通信技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大容量、更低时延的特性．目前，5G的平均下载速率约是4G的12倍，用4G下载电影《长津湖之水门桥》大约需要8分钟，如果用5G下载这部电影大约需要 　 秒． 5．（2023秋•鼓楼区校级月考）若两个不相等的数互为相反数，则两数之商为　 　． 6．（2018秋•如皋市期中）已知|x|＝5，y2＝1，且0，则x﹣y＝　 　． 7.（2022秋•睢宁县校级月考）计算（﹣1）÷（﹣5）×（）的结果是　　． 8．（2022春•江阴市月考）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为 　　升． 9．（2022秋•锡山区校级月考）如果abc＞0，则　　． 10．（2023秋•工业园区校级月考）已知：|x|＝2，|y|＝3，且0，求2x﹣y的值． 11．（2021秋•洪泽区校级月考）计算： （1）﹣3÷（）÷（）； （2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）； （3） （）×（）÷0.25； （4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）． 12．（2021秋•姜堰区月考）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y异号，求x÷y的值． 13．（2022秋•崇川区校级期中）阅读计算：5÷（22）×6 解：原式＝5÷（）×6① ＝5÷（﹣25）② ③ （1）上面解题过程中有两处出现了错误，请写出错误步骤的序号 　； （2）请写出这个计算题的正确解题步骤． 14．（2022秋•江都区校级月考）阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300． 解法三：原式的倒数为（）÷50＝（） 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的．在正确的解法中，你认为解法　三　最简捷．然后，请你解答下列问题： 计算：（）÷（）． 15．（2023秋•锡山区校级月考）阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　 　是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$