专题1.3 正方形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.3 正方形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 二、正方形的性质 1．正方形的四条边都相等，四个角都是直角； 2．正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 3．正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质； 4．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 三、正方形的判定 1．先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 2．先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角； 3．还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． · 典例分析 【典例1】问题背景：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，， （1）求证：； （2）迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点、，若，，，求的长； （3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明． 【思路点拨】 （1）先判断出，得出，，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，设，则，，再根据勾股定理得出，求出，即可得出结论； （3）先判断出四边形是正方形，设，得出，再设，则，利用勾股定理得出，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：延长到点使，连接， 正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作交于，交于，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，； （3）， 证明：如图3，分别取，的中点，，连接并延长交于，连接， ，， ， 四边形是正方形， ， 设， ， 矩形是正方形， ， 由（1）知，， ， 设， ， 在中，， ， ， ， ， ． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为．则等于（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、根据面积等式列方程求线段的长度、运用转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所所需要的辅助线是解题的关键，设交于点I，交于点D，作于点G，于点H，求出，再根据勾股定理求得，由求得，再根据勾股定理列方程求得，即可求得，则，再证明，则，然后证明，则，，所以，最后求得； 【解题过程】 解：如图，设交于点I，交于点D，作于点G，于点H， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴B、C、P三点在同一条直线上，A、C、M三点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设射线交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点E在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形中，E是对角线上一点，且满足．连接，并延长交于点F，连接，过B点作于点G，延长交于点H．在下列结论中：①垂直平分；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 先根据正方形的性质和得到，进而判断垂直平分，故①正确，然后判断出再判断得出，再判断出从而得到②正确，根据三角形的外角求出，得出④正确；结合②④可得即可得③正确；连接，判断出得出⑤错误． 【解题过程】 解∶是正方形的对角线， ， ， ， ， 是线段的垂直平分线，， 故①正确； 在中， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故②正确； ， ， ， 故④正确； ， ， ， 故③正确； 如图，连接， 是垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 不垂直， ， ， ，故⑤错误， 正确的是①②③④， 故选：C． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 【思路点拨】 由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得不可能为135°，故②错误；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故④正确，即可求解． 【解题过程】 解：连接，过点P作交于H，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确； 假设， ∵ ∴， 则点P与点C重合， 此时不存在，故②错误； 取的中点N，连接，如图所示： ∵点N是的中点，点E是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是线段上一点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴此时， ∴有最小值为，故③正确； ∵， ∴， 当点P是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时， ∴为等腰三角形时，的值为或；故④正确； 综上分析可知，①③④正确， 故选：B． 4．（22-23八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，E是正方形外一点，连接、、，交于点F，若，．下列结论：①；②：③四边形的面积是：④点B到直线的距离为；⑤．其中结论正确的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 可证（），可判断①；可得，从而可证，可判断②；，可求，由即可求解，可判断③；过点作延长线于点，可证是等腰直角三角形，由，可判断④；可求，由即可求解，可判断⑤． 【解题过程】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中 ， （）， 故结论①正确； 如图，    由①得：， ， ， ， ， ， 故结论②正确； ， ， ， ， ； 故结论③错误； 如图，    过点作延长线于点， 由①得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点到直线的距离为， 故结论④错误； ， ， 故结论⑤正确； 结论正确的是①②⑤，个数是3个． 故选：B． 5．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ． 【思路点拨】 以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为，然后再求出，即可得出当最小时，的周长． 【解题过程】 解：以C为一边在正方形内作等边，连接， 过点作于点，过点作于点， 四边形为正方形，且边长为， ，， 点为的中点， ， 和均为等边三角形，， ，，，， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，为最小， 即为最小，最小值为， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理的， ， 的周长为：． 即当最小时，的周长为． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形，点是射线上的动点，过点作，交直线于点，连接，取中点，连接并延长交直线于点，若，，则的长为 ．    【思路点拨】 当点在线段上时，作于，由正方形的性质可得，，，证明是等腰直角三角形，，，证明得出，证明是等腰直角三角形得出，，最后由勾股定理，计算即可得出答案；当点在射线上时，同样的方法即可求解． 【解题过程】 解：点在线段上时，如图，作于，    四边形是正方形，， ，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点在射线上时，如图，作于，    四边形是正方形，， ，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 7．（2024·山东临沂·二模）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的是 （填序号）．    【思路点拨】 过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误． 【解题过程】 解：过作，过作于，如图所示，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴平分，故③正确；   ∴，故②正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故④错误． 故答案为：①②③． 8．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点(不与点A点重合）将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点落在G处，交于，连结、，下列结论： ①；②当P为中点时，三边之比为；③；④周长等于8．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【思路点拨】 过点F作于点M，易得，由折叠可知，于是利用同角的余角相等可得，以此可通过证明，即可判断①；由折叠可知，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角相等即可判断③；过点B作于点N，易通过证明，得到，，以此再通过证明，得到，则，即可判断④． 【解题过程】 解：如图，过点F作于点M， 四边形为正方形， ，， ， 四边形为矩形，，， 由折叠可知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； 由折叠可知，， 设，则， 为中点， ， 在中，， ， 解得 ， ，， ， 即三边之比为，故②正确； 由折叠可知，， ， ，， ， ，故③正确； 如图，过点B作于点N， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 9．（2024·浙江杭州·模拟预测）正方形中，P是对角线所在直线上一点．若P在对角线上(如图1)，连接，过点P作交于点Q．若，，则的长为 ； 若P在的延长线上(如图2)，连接，过点P作交延长线于点E，连接，若，的面积是20，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查正 方形的性质和判定，熟练运用正方形的性质和勾股定理以及正确的添加辅助线是解题的关键，（1）过点作，由正方形的性质可得，根据，可得，继而可证是等腰三角形，由勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形和四边形是矩形，继而得到，继而求出，从而得到；（2）过点作，根据正方形的性质可得是的角平分线，由角平分线的性质可得，根据三角形的判定定理可证，继而可得，再由正方形的性质求出，设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据列方程求出，最后根据勾股定理进行计算． 【解题过程】 解：过点作， ∵正方形中，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证：四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 过点作，如图， ∵正方形中，是对角线，点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∴， ∴， 设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，四边形是正方形，． （1）如图1，点在边上（不与端点重合），点在对角线上，且，连接，点是的中点，连接． ①若，求的长； ②求证：； （2）如图2，点分别为边上的点，且，请直接写出的最小值． 【思路点拨】 （1）①本题利用正方形的性质，可用勾股定理求解，并结合点是的中点以及，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求解． ②先过点向做垂线，继而利用正方形性质求证，然后假设未知数利用勾股定理求解以及，最后将结果进行对比证明此题． （2）延长到G，使，连接、，构造，得，进而可得，由此可知，求出长即可． 【解题过程】 （1）①∵四边形为正方形， ∴， 在中， ∵ ，， ∴． ∵，点G是A的中点， ∴ ． ②证明：过点作于点，如下图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ． ∵为正方形对角线， ∴． ∵， ∴． 设，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，点G是的中点， ∴． ∵， ∴ ． ∴ ，， ∴． （2）延长到G，使，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即当、F、G三点共线时，取最小值，最小值为， 在中，， 即最小值为． 11．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．    （1）如图，当点在正方形内部时，补全图形，判断与的关系，并写出证明过程； （2）当点，，在一条直线上时，若，，求的长． 【思路点拨】 （1）根据题意补全图形，先判断出，进而得出，即可得出，最后判断出即可得出结论； （2）分两种情况，当点在线段的延长线上时和当点在线段上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论． 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，关键是判断出和构造直角三角形． 【解题过程】 （1）解：，，理由如下： 依题意补全图形，如图①，    延长分别交，于点，， 在正方形中，，， ∵绕点顺时针旋转得到， ，， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴， ∴． （2）解：当点在线段的延长线上时，如图②所示，    过点作，交的延长线于点， ∵是正方形的对角线， ∴， ，， ， ， 在中，由勾股定理，得， 由（1），同理可得， ， 当点在线段上时，如图③所示，    过点作于点， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在，由勾股定理，得， 由（1）同理可得， ∴， ∴的长为或． 12．（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． （1）______（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形； ②试说明，若，求的值． 【思路点拨】 （1）由两个平角的和为减去，剩下，再由角平分线求出，利用三角形的内角和即可求解； （2）①作于G，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； ②延长至H，使，利用证明，可得，再证明，则有，进而可得，设，根据，再代入化简即可求解． 【解题过程】 （1）解： 平分，平分 故答案为：； （2）①证明：作于G，如图所示 ， ， 四边形是矩形， 平分，平分 在和中， ， 同理可证明：， ， 四边形是正方形； 解：②延长至H，使，如图所示： 在和中， ， 由（1）可知， 又 ， 即， 在和中， ， ， 设， ， ， 即， 化简得： ， ． 13．（22-23八年级下·浙江台州·期末）    如图1，在正方形中，点E是线段上任意一点（不含端点），点F在射线上，且，连接，过点D作交于点H，连接． （1）①若，求的度数； ②试判断的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数； （2）若，当时，求的长度； （3）如图2，当时，求证：． 【思路点拨】 （1）①由四边形是正方形，得，，而，有，，故，可知，即得     ②设，同①方法可得； （2）过C作交于T，交于K，根据，，可得四边形是矩形，有，，和是等腰直角三角形，故，设，在中，，可解得 （3）过C作，过D作于M，连接，证明，得，可知四边形是正方形，有，，而是等腰直角三角形，知，故，而，即得四边形是平行四边形，． 【解题过程】 （1）解：①∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 的度数是；     ②的度数不变化，的度数是；理由如下： 设， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过C作交于T，交于K，如图： 由（1）知， ， ， ， ，， ∴四边形是矩形， ，， 和是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 设，则， 在中，，而， ， 解得（负值已舍去）， ； （3）证明：过C作，过D作于M，连接，如图：      ， ， ，， ， ， ， ∴四边形是正方形， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 14．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，．    （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，作平分交于E． ①的度数是___； ②探究，，之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】 （1）可证，可求，即可求解； （2）①设，，由即可求解；②连接，过点C作交于点F，可求，可证，从而可得，，可证，，即可求证． 【解题过程】 （1）解：， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：①设， ， ， ， 平分， ， ； 故答案为：； ②，理由如下： 如图，连接，过点C作交于点F，    ， ， ， ，， ， 在和中 ， （）， ，， ， ， ， ， ，， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，正方形中，点E、F分别是边、上的点，，    （1）请你直接写出、、之间的数量关系：___________． （2）如图2，在四边形中，，与互补，点E、F分别是边、上的点，，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由； （3）在（1）的条件下，若E、F分别在直线和直线上，若，，则___________． 【思路点拨】 （1）如图1，先证，得出，再证明，即可证明结论； （2）如图2，先证，得出，再证明即可证明结论； （3）分点E在线段上延长线上两种情况，分别运用全等三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：，理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在△ABE和△ADG中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：当点E在线段上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图，当点E在线段的延长线上时，在上截取，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 综上所述：的长为或． 16．（2023·辽宁营口·一模）如图1，在正方形的边的延长线上取点，以为边作正方形，连接，取的中点，连接，．    （1）请说明线段，的关系，不必说理； （2）如图2，把正方形绕点顺时针旋转，当点在上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由； （3）在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若，，请直接写出的长． 【思路点拨】 （1）作出辅助线，根据题意可证，再证得是等腰直角三角形，即可得出结论． （2）作出辅助线，根据题意可证，再证得是等腰直角三角形，即可得出结论． （3）作出辅助线，分两种情况讨论，即在左右两侧的情况，即可求解． 【解题过程】 （1）结论：，． 理由：如图中，延长交于．    四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，． （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，延长，交于点，    ， ，， 是的中点， ， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， 而， ，． （3）连接，过点作于点，延长至，使，连接，， 当在右侧时，如图，    ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ，，， ， ， 在中，； 当在左侧时，如图，    同法可得，， ， 在中，， 综上，的长为或． 17．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知正方形中，等腰直角绕着点旋转．   　　  　　　   （1）如图1，若点落在边上，交于，直接写出的数量关系； （2）如图2，连，取中点，连，试探究与的关系： （3）若点落在直线上，且，连接，直接写出______． 【思路点拨】 （1）将绕点顺时针旋转到，使与重合，则，从而得到，，，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，然后证明出，得到，即可证明出； （2）延长至，使，连接，通过证明得到，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，根据多边形的内角和得到，通过证明，得到，从而推出为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）过点作交的延长线于，过点作交于点，设，则，，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，由等腰直角三角形的性质可得，通过证明，得到，从而得到，，通过证明四边形是矩形，可得，从而得到，由勾股定理可得，最后进行计算即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：将绕点顺时针旋转到，使与重合，    ， ，，， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又 ，， ， ， ， ； （2）解：如图，延长至，使，连接，   ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 多边形为五边形， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角斜边上的中点， ； （3）解：如图，过点作交的延长线于，过点作交于点，   ， ， 设，则， ， 四边形为正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 18．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）在正方形中，E为直线上一点．    （1）如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接，若，求度数； （2）如图2，E在边上，连接，点H在边上且，过点H作，垂足为Q，延长交于点G，连接．求证：； （3）如图3，E在边上运动，连接，取中点M．点N在边上运动，连接，将沿着翻折到同一平面内得到．当点M与点重合时，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）作，，证明四边形是矩形，推出，证明，推出，据此可求得； （2）作交于点I，证明，推出，作交的延长点，作于点M，证明四边形为正方形，推出，再证明，据此即可证明结论成立； （3）过M作，证明，推出， ，设，，则正方形的边长为，证明是等边三角形，推出，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，计算得出，，即可求解. 【解题过程】 （1）解：作，，垂足分别为G，H，    ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正方形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作交于点I，      ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作交的延长点，作于点M， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过M作，      ∵正方形， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点M是中点，∴， ∴， ∴，， 设，，则正方形的边长为， 由折叠知，， ∴， 取的中点O，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠知， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，， ∴. 19．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）正方形中，点在边、上运动（不与正方形顶点重合），作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，当点在边上时， ①若，则图中与线段相等的线段是________． ②过点作，垂足为，连接，求的度数． ③求证：在②的条件下，． （2）当点在边上，点在边延长线上时，仍过点作于点，再过点作于点，连接，若，求的值． 【思路点拨】 （1）①通过证明，即可得到； ②当点在上时，过点作交于点，延长交于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而得到；当点在上时，过点作交于点，延长交点的延长线于点，同理可证明，推出是等腰直角三角形，则，； ③延长到，使，过作于，交于点，则，推出是等腰直角三角形，则，证明，可得，推出，结合即可证明； （2）延长、，交于点，可推出是等腰直角三角形，则，可证明，得到，，推出是等腰直角三角形，设，则，可得，即可求解． 【解题过程】 （1）解：①四边形是正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②当点在上时，如图1，过点作交于点，延长交于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当点在上时，如图2，过点作交于点，延长交点的延长线于点， 四边形是矩形， 同理，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，的度数为或； ③延长到，使， ， 过作于，交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 是等腰直角三角形， ， 又 ，， ， ， ， ， ，， 且，即， 即； （2）如下图，延长、，交于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 设， ， ，， ， ， ． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）问题提出： （1）如图1，在正方形中，为边上一点（不与点，重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 问题探究： （2）在（1）的基础上，解答下列问题： ①如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接并延长，交边于点，求的度数； ②如图③，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．若正方形的边长为4，的中点为，求的最小值． 【思路点拨】 （1）过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论； （2）①连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论； ②连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明得出，证明得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果． 【解题过程】 解：（1）线段、、之间的数量关系为：；理由如下： 四边形是正方形， ，，， 过点作分别交、于点、，如图所示： 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）①连接，过点作，分别交、于点、，如图所示： 四边形是正方形， 四边形为矩形， ，，， 是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形，，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即； ②连接交于点，如图所示： 则的直角顶点在上运动， 设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为， ，， ， 当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 点在上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折性质得：， 在和中， ， ， ，， 是正方形的对角线， ， 易得， ， ， ，故， 点在线段上运动； 过点作，垂足为， 点为的中点， ，则的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 正方形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 二、正方形的性质 1．正方形的四条边都相等，四个角都是直角； 2．正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 3．正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质； 4．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 三、正方形的判定 1．先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 2．先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角； 3．还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． · 典例分析 【典例1】问题背景：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，， （1）求证：； （2）迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点、，若，，，求的长； （3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明． 【思路点拨】 （1）先判断出，得出，，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，设，则，，再根据勾股定理得出，求出，即可得出结论； （3）先判断出四边形是正方形，设，得出，再设，则，利用勾股定理得出，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：延长到点使，连接， 正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作交于，交于，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，； （3）， 证明：如图3，分别取，的中点，，连接并延长交于，连接， ，， ， 四边形是正方形， ， 设， ， 矩形是正方形， ， 由（1）知，， ， 设， ， 在中，， ， ， ， ， ． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为．则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形中，E是对角线上一点，且满足．连接，并延长交于点F，连接，过B点作于点G，延长交于点H．在下列结论中：①垂直平分；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 4．（22-23八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，E是正方形外一点，连接、、，交于点F，若，．下列结论：①；②：③四边形的面积是：④点B到直线的距离为；⑤．其中结论正确的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ． 6．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形，点是射线上的动点，过点作，交直线于点，连接，取中点，连接并延长交直线于点，若，，则的长为 ．    7．（2024·山东临沂·二模）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的是 （填序号）．    8．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点(不与点A点重合）将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点落在G处，交于，连结、，下列结论： ①；②当P为中点时，三边之比为；③；④周长等于8．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 9．（2024·浙江杭州·模拟预测）正方形中，P是对角线所在直线上一点．若P在对角线上（如图1），连接，过点P作交于点Q．若，，则的长为 ； 若P在的延长线上（如图2），连接，过点P作交延长线于点E，连接，若，的面积是20，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，四边形是正方形，． （1）如图1，点在边上（不与端点重合），点在对角线上，且，连接，点是的中点，连接． ①若，求的长； ②求证：； （2）如图2，点分别为边上的点，且，请直接写出的最小值． 11．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．    （1）如图，当点在正方形内部时，补全图形，判断与的关系，并写出证明过程； （2）当点，，在一条直线上时，若，，求的长． 12．（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． （1）______（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形； ②试说明，若，求的值． 13．（22-23八年级下·浙江台州·期末）    如图1，在正方形中，点E是线段上任意一点（不含端点），点F在射线上，且，连接，过点D作交于点H，连接． （1）①若，求的度数； ②试判断的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数； （2）若，当时，求的长度； （3）如图2，当时，求证：． 14．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，．    （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，作平分交于E． ①的度数是___； ②探究，，之间的数量关系，并证明． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，正方形中，点E、F分别是边、上的点，，    （1）请你直接写出、、之间的数量关系：___________． （2）如图2，在四边形中，，与互补，点E、F分别是边、上的点，，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由； （3）在（1）的条件下，若E、F分别在直线和直线上，若，，则___________． 16．（2023·辽宁营口·一模）如图1，在正方形的边的延长线上取点，以为边作正方形，连接，取的中点，连接，．    （1）请说明线段，的关系，不必说理； （2）如图2，把正方形绕点顺时针旋转，当点在上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由； （3）在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若，，请直接写出的长． 17．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知正方形中，等腰直角绕着点旋转．   　　  　　　   （1）如图1，若点落在边上，交于，直接写出的数量关系； （2）如图2，连，取中点，连，试探究与的关系： （3）若点落在直线上，且，连接，直接写出______． 18．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）在正方形中，E为直线上一点．    （1）如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接，若，求度数； （2）如图2，E在边上，连接，点H在边上且，过点H作，垂足为Q，延长交于点G，连接．求证：； （3）如图3，E在边上运动，连接，取中点M．点N在边上运动，连接，将沿着翻折到同一平面内得到．当点M与点重合时，直接写出的值． 19．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）正方形中，点在边、上运动（不与正方形顶点重合），作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，当点在边上时， ①若，则图中与线段相等的线段是________． ②过点作，垂足为，连接，求的度数． ③求证：在②的条件下，． （2）当点在边上，点在边延长线上时，仍过点作于点，再过点作于点，连接，若，求的值． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）问题提出： （1）如图1，在正方形中，为边上一点（不与点，重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 问题探究： （2）在（1）的基础上，解答下列问题： ①如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接并延长，交边于点，求的度数； ②如图③，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．若正方形的边长为4，的中点为，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$