专题1.2 矩形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.2 矩形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、矩形的性质 1．平行四边形的性质矩形都具有； 2．角：矩形的四个角都是直角； 3．边：邻边垂直； 4．对角线：矩形的对角线相等； 5．矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 二、矩形的判定方法 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2．有三个角是直角的四边形是矩形； 3．对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）． · 典例分析 【典例1】在矩形中，是边上一点．    （1）若，平分，且，求的面积； （2）若是中点且，于点，求证：； （3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系． 【思路点拨】 （1）利用角平分线的性质，构造≌，同时得到含角的特殊，可求出，进而求出，再求面积． （2）将分割为、两段，过点作的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明． （3）从，两个条件可发现，联想到可以构造手拉手模型，再通过“”字全等模型找到了与的数量关系，进而找到了与的数量关系． 【解题过程】 解：（1）在矩形中，，． 过作于，如图．    ，，， ≌． ． ，， ．即． ，， ， ． ． ． ． （2）过作于，过作延长线于，如图．    ， ，， ． 又， ≌． ，． ，，， 四边形是矩形． ，． ，，， ≌． ． ． 在中，． ． （3）作关于的对称，连接，，如图．    ， ，． ． ， ． ， ． ． 又，， ． ，． ，，， ． ，． ∴． ∴． ，， ． ． 为等边三角形， ， ． · 学霸必刷 1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 2．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为．若知道与的周长和，则一定能求出（    ）    A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．四边形的周长 4．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是 ． 6．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为 ． 7．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形 中，，， 为 边上一动点，作 ，且 ．连接 ，．当 时，的面积为 ．    8．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝ ．    9．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时， ．    10．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，已知E、F分别是矩形的边、上的点，连接，将矩形沿对折，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，恰好经过的中点．若，则折痕的长度为 ． 11．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，，，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F，与交于点M．给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填写正确的序号）．    12．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．    （1）的面积________； （2）当t为何值时，？ （3）当为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）． 13．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，点在对角线上，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的． 14．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知如图，矩形中，，P为BC上一个动点，，点B关于直线的对称点是点E． （1）当时，若直线恰好经过点D，求此时的长； （2）若足够长，当点E到直线的距离不超过3时，求m的取值范围． 15．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，顶点分别在上．    （1）求证：； （2）若是斜边的中点． ①如图2，连接，请写出线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图，连接，若，则的长等于 16．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接． （1）如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若点G使得，求四边形的面积； （3）如图3，连接，若点G使得，求的长． 17．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在矩形中，E是延长线上一点，连接． （1）如图1，F、G分别为、的中点，连接、、． ①求证：； ②探究并猜想线段和的数量关系为______，并证明你的结论； （2）如图2，若，过点C作于点H，若，，求线段的长度． 18．（2023·贵州铜仁·三模）阅读材料：如图，在矩形中，点O是的中点，点E是边上动点，将沿翻折得，连接并延长交边于点M，连接． 【发现问题】 （1）如图①，判断的形状是________三角形． 【探究发现】 （2）如图②，当E、F、C三点在一条直线上时，求证：M为边中点 【拓展迁移】 （3）如图③，延长交射线于点N，当，，时，求的长． 19．（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点；    （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点是的中点时，求线段的长： （3）如图3、在矩形中，，分别是、上的一点，，将沿翻折得，连接，若是以为腰的等腰三角形，则求此时的值． 20．（22-23八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，已知，． （1）如图1，点是轴上一点，将沿着折叠，使点落在上的处，求点的坐标； （2）如图2．四边形是矩形，是边上一点（不与点、重合），将沿直线翻折，使点落在点处，当以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图3，在上一点坐标为，连接，点与点关于直线对称，在（2）的条件下，当，，三点共线时，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 矩形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、矩形的性质 1．平行四边形的性质矩形都具有； 2．角：矩形的四个角都是直角； 3．边：邻边垂直； 4．对角线：矩形的对角线相等； 5．矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 二、矩形的判定方法 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2．有三个角是直角的四边形是矩形； 3．对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）． · 典例分析 【典例1】在矩形中，是边上一点．    （1）若，平分，且，求的面积； （2）若是中点且，于点，求证：； （3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系． 【思路点拨】 （1）利用角平分线的性质，构造≌，同时得到含角的特殊，可求出，进而求出，再求面积． （2）将分割为、两段，过点作的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明． （3）从，两个条件可发现，联想到可以构造手拉手模型，再通过“”字全等模型找到了与的数量关系，进而找到了与的数量关系． 【解题过程】 解：（1）在矩形中，，． 过作于，如图．    ，，， ≌． ． ，， ．即． ，， ， ． ． ． ． （2）过作于，过作延长线于，如图．    ， ，， ． 又， ≌． ，． ，，， 四边形是矩形． ，． ，，， ≌． ． ． 在中，． ． （3）作关于的对称，连接，，如图．    ， ，． ． ， ． ， ． ． 又，， ． ，． ，，， ． ，． ∴． ∴． ，， ． ． 为等边三角形， ， ． · 学霸必刷 1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【思路点拨】 过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【解题过程】 解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 2．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 【思路点拨】 连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果． 【解题过程】 解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， 四边形、四边形是矩形， 设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，， ，，，， ， 矩形和矩形的周长已知， 和为定值， 为定值， 为定值， ， 当已知时，四边形的面积即为定值， 故选：A． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为．若知道与的周长和，则一定能求出（    ）    A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．四边形的周长 【思路点拨】 连接，过A作，延长交于一点G，根据，，建立面积式子即可得，又因为，即得，四边形是矩形，得，接着证明，得，即可得解． 【解题过程】 解：连接，过A作，延长交于一点G，如图所示：    ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 则， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，   即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， 则，   ∵， ∴， ∵已知与的周长和， 即已知， 因为的周长， 所以则一定能求出的周长， 故选：B． 4．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 由矩形的性质可得，，得出，由等腰三角形的性质得出，故①正确；由得，由线段垂直平分线的性质可得②正确；由，，得不可能是等边三角形，得，故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；由全等三角形的性质及长方形的性质可得为等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质可得，可判定⑤正确． 【解题过程】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， 在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直且平分，故②正确； 平分， ， ， ， 又， 不可能是等边三角形， ， 错误；故③错误； ，， ， ， ， ，故④错误； ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确． 故选：C． 5．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是 ． 【思路点拨】 根据题意，并结合矩形的性质可得： ，，而，整理可得：，再表示出的面积，观察规律可得：，从而可求解． 【解题过程】 解：∵四边形是矩形， 点是边的中点， ， ∵是的中点， ∴， ∴， 整理得：， 同理可得：， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为 ． 【思路点拨】 先根据已知条件证四边形是矩形，得出，．再延长交于点G，证明，得出，再证明，设，根据勾股定理得出：，列方程求出DF的长度，进而求出． 【解题过程】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； 如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， 根据勾股定理得：， 即， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.8． 7．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形 中，，， 为 边上一动点，作 ，且 ．连接 ，．当 时，的面积为 ．    【思路点拨】 如图，过D作于H，过E作于M，连接，证明四边形是矩形得到，证明四边形是矩形，的，利用面积法可得的长，根据勾股定理可得的长，证明，得，最后根据三角形面积公式可得结论． 【解题过程】 解：如图，过D作于H，过E作于M，连接，    ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 即， 由勾股定理得： ， 过F作，交的延长线于P，交的延长线于Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝ ．    【思路点拨】 如图，连接，过作于，证明四边形为矩形，求解，设，，，则，由等面积法可得：，可得，设，可得，同理可得：，可得，，由勾股定理可得：，再建立方程求解即可． 【解题过程】 解：∵矩形， ∴，， 如图，连接，过作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，    ∵， ∴， 设，，，则， 由等面积法可得：， 整理得：，则， ∴，即， ∴， 设， ∴， 由对折可得：，，，而， 同理可得： ， 整理得：， ∵， ∴，即， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时， ．    【思路点拨】 本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，分两种情况：当翻折后，点在下方时，当翻折后，点在上方时，分别作出图形，构造直角三角形利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【解题过程】 解：当翻折后，点在下方时，过点作，并延长交于于，    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴； 当翻折后，点在上方时，过点作，交于于，    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴（此时点与点重合）； 综上，或． 故答案为：7或． 10．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，已知E、F分别是矩形的边、上的点，连接，将矩形沿对折，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，恰好经过的中点．若，则折痕的长度为 ． 【思路点拨】 此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理与折叠、全等三角形的判定和性质等知识，设，则求出，，，证明，，则，由翻折的性质得到，则，设，则，，在中，，得到，过点F作于点N，则，，在中，． 【解题过程】 解：设，则 ∵， ∴， 由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴ 解得， ∴ ∴， ∵恰好经过的中点， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ 由翻折的性质得到，， ∴， 设，则，， 在中， ∴， 解得，， 过点F作于点N，则， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 在中，, 故答案为： 11．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，，，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F，与交于点M．给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填写正确的序号）．    【思路点拨】 先证明是等边三角形，得，再证是等腰三角形，得 ，即可得出，可判定①正确；求得，得出，可判定②正确；利用含的直角三角形的性质得出，，再由，，即可求得 ，可判定③正确；过程点M作于N，分别求出，，即可得出，可判定④错误；过点H作交延长线于Q，延长交于P，先求出，从而求得，即可求得，可判定⑤正确． 【解题过程】 解：∵矩形ABCD， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵矩形ABCD， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过程点M作于N，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 过点H作交延长线于Q，延长交于P，    ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， ∴正确的结论有①②③⑤ 故答案为：①②③⑤． 12．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．    （1）的面积________； （2）当t为何值时，？ （3）当为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）． 【思路点拨】 （1）由矩形的性质结合题意可得出，，再利用三角形面积公式计算即可； （2）由题意得出，从而即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，且位于点D左侧时，③当时和④当，且位于点D右侧时，分别根据等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵四边形为矩形，， ∴，． ∵点D是的中点， ∴． ∵点P在边上运动， ∴， ∴． 故答案为：10； （2）解：∵， ∴， ∴当时，； （3）解：分类讨论：①当时，如图点，过点D作于F， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，且位于点D左侧时，如图点，过点作， ∴， ∴； ③当时，如图点， ∵，， ∴， ∴； ④当，且位于点D右侧时，如图点，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，当为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 13．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，点在对角线上，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的． 【思路点拨】 （1）由矩形的性质可得，则，通过证明，可得，由可得，即可得到答案； （2）作交于，则，， 由，，可得，根据高相等的两个三角形的面积之比等于底边之比，可得，由矩形的性质可得：，从而可得，同理可得，，，，，，，即可得到答案． 【解题过程】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，作交于， 则，， ，， ， ， 由矩形的性质可得：， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的面积为矩形面积的． 14．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知如图，矩形中，，P为BC上一个动点，，点B关于直线的对称点是点E． （1）当时，若直线恰好经过点D，求此时的长； （2）若足够长，当点E到直线的距离不超过3时，求m的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据点B关于直线的对称点是点E可证得，，，，进而可证，设，则，，根据勾股定理列出方程解答即可； （2）分两种情况进行讨论：①当E点位于直线上方且到距离为3时；②当E点位于直线下方且到的距离为3时． 【解题过程】 （1）如图， ∵点B关于直线的对称点是点E， ∴，，，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，设， ∴，， ∴， 解得， 即的长为； （2）当E点位于直线上方且到距离为3时，如图1，过点E作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 当E点位于直线下方且到的距离为3时，如图2，过点E作， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴当点E到直线的距离不超过3时，m的取值范围为． 15．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，顶点分别在上．    （1）求证：； （2）若是斜边的中点． ①如图2，连接，请写出线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图，连接，若，则的长等于 【思路点拨】 （1）根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）①由知，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论；②过作于，过作于，则，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 【解题过程】 （1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①；理由： 由（知，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴； ②过作于，过作于，则，四边形是矩形，    ∴ ，， ∵是斜边的中点， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∴ ， ， ． 故答案为：． 16．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接． （1）如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若点G使得，求四边形的面积； （3）如图3，连接，若点G使得，求的长． 【思路点拨】 （1）运用三角形的中位线定理和矩形的性质得到，，进而得到四边形为平行四边形； （2）连接，先证明，得到，再推导得到，然后计算面积即可； （3）过点作交延长线于点，作于点，作于点，得到，然后利用三角形的面积求出边的长度即可． 【解题过程】 （1）证明：点为中点，点为中点 ， 矩形 ， ， 点为中点 四边形为平行四边形； （2）连接 矩形 ， 点为中点 设，则 ， ， 点为中点 ， ， ； （3）过点作交延长线于点，作于点，作于点 ∴ 由（2）可知， ． 17．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在矩形中，E是延长线上一点，连接． （1）如图1，F、G分别为、的中点，连接、、． ①求证：； ②探究并猜想线段和的数量关系为______，并证明你的结论； （2）如图2，若，过点C作于点H，若，，求线段的长度． 【思路点拨】 （1）①由G是的中点得到，再证明即可；②取的中点M，连接，，，在中由斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，得到，再由是的中位线即可求解； （2）设，则和，在中求得，再设，则和，在中求得，在中求得，即可求得． 【解题过程】 （1）解：①证明：∵是矩形， ∴， 又∵G是的中点， ∴ 在和中 ， ∴， ∴； ②取BC的中点M，连接MF，GM，DF，如下图所示， ∵F是直角斜边上的中点， ∴， ∴， 且，， ∴， 又M、G分别是和的中点， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， 又∵M、F分别和的中点， ∴是△的中位线， ∴， 故； （2）设， ∵，， ∴，， 在中，，解得， 则，， 设，则， 由角所对的直角边等于斜边的一半知，， 在中，由得，，解得，(舍去)， ∴， 在中，，则， ∴， ∴． 18．（2023·贵州铜仁·三模）阅读材料：如图，在矩形中，点O是的中点，点E是边上动点，将沿翻折得，连接并延长交边于点M，连接． 【发现问题】 （1）如图①，判断的形状是________三角形． 【探究发现】 （2）如图②，当E、F、C三点在一条直线上时，求证：M为边中点 【拓展迁移】 （3）如图③，延长交射线于点N，当，，时，求的长． 【思路点拨】 （1）由沿翻折得，得，，，继而证得，得到，从而得到，继而证得，即可得出结论； （2）连接，证明，得，然后由矩形的性质与点O是的中点，可得出结论； （3）由矩形性质和勾股定理，求得，再由翻折性质得，，，设，则，然后由勾股定理，得，解方程即可求解． 【解题过程】 解：（1）∵点O是的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）连接， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵沿翻折得， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， 当E、F、C三点在一条直线上时， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴点M是的中点． （3）∵矩形， ∴，， ∴， ∵∵点O是的中点， ∴， 由勾股定理，得， ∵沿翻折得， ∴，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， 即． 19．（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点；    （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点是的中点时，求线段的长： （3）如图3、在矩形中，，分别是、上的一点，，将沿翻折得，连接，若是以为腰的等腰三角形，则求此时的值． 【思路点拨】 （1）先确定出，再利用含的直角三角形边的关系与勾股定理求解即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）设，则，由翻折得：．由等腰三角形性质分情况讨论如下：当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平方可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠知，， 在中，，，，设，则，由勾股定理可得， ； （2）解：连接，如图所示：    是的中点， ， 沿折叠后得到， ， ， 在矩形中，， 由对称性可知， 在和中， ， ， ， 沿折叠后得到， ， 设，则，， 在中，，即， 解得， ； （3）解：设，则， 由翻折得：，根据是以为腰的等腰三角形， 当时，， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：，解得：； 当时，作，如图所示：    ， ， ， 沿翻折得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， 解得； 综上所述：或． 20．（22-23八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，已知，． （1）如图1，点是轴上一点，将沿着折叠，使点落在上的处，求点的坐标； （2）如图2．四边形是矩形，是边上一点（不与点、重合），将沿直线翻折，使点落在点处，当以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图3，在上一点坐标为，连接，点与点关于直线对称，在（2）的条件下，当，，三点共线时，求的长度． 【思路点拨】 （1）设，由折叠得，，由，，得，由，可以列方程求解即可； （2）设，过点E作于点P，则，，以O、E、B三点为顶点的三角形是等腰三角形分两种情况，①是，由折叠得，根据，可列方程即可得到此时点E的坐标；②是，则，根据勾股定理，即可得到此时点E的坐标； （3）连接、、、、，作于点R，于点Q，此时点E在上，先根据勾股定理求得的长为，再求得四边形的面积为16，求得 ，设，根据勾股定理列方程，求得，则 ，所以 ，设，则，根据列方程求得t的值为，则，即可根据勾股定理求出的长． 【解题过程】 （1）解：如图1，设， 由折叠得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴点M的坐标为． （2）设，过点E作于点P，则，， ∵四边形是矩形， ∴， 如图2，是等腰三角形，且， 由折叠得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图3，是等腰三角形，且， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点E的坐标为或． （3）如图4，连接、、、、，作于点R，于点Q，此时点E在上， 由折叠得，， ∴， ∵点F与点O关于直线对称，， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴ ， ∴ ， 设， ∵， ， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 设，则， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$