专题1.1 菱形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.1 菱形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 二、菱形的性质 1．菱形具有平行四边形的一切性质； 2．菱形的四条边都相等； 3．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 4．菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 三、菱形的判定 1．一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2．四条边都相等的四边形是菱形． 3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． · 典例分析 【典例1】菱形中，对角线，，点从出发，沿以/秒的速度匀速运动，到点停止，过作边的垂线交于，以为边向右作等边，设运动时间为秒． （1）菱形的边长为______． （2）当在边上运动时，用含的代数式表示、． （3）连接，当是直角三角形时，求的值． （4）当菱形的对角线平分的边时，的取值范围是____________． 【思路点拨】 （1）根据菱形的边长相等以及等边三角形的性质即可； （2）设运动秒，则，根据所对直角边是斜边的一半求出，进一步即可表示和； （3）分类讨论：点在上时，①当时，表示出和，根据列方程即可求得；②当时，表示出和，根据列方程即可求得；点在上时，此时为钝角三角形； （4）分类讨论：当平分时，则，表示出，，根据列方程即可；当平分时，此时点在上，即可得出取值范围． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，对角线， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． （2）设运动秒， ∵点从出发，沿以/秒的速度匀速运动，到点停止，过作边的垂线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴，． （3）点在上，当是直角三角形，设运动时间为秒， ①时，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时，如图所示： ∵，， ∴    ， ∴， ∴， ∴（秒）． ③点在上运动时，设交于点，如图所示， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形，不可能是直角三角形． ∴综上所述，当是直角三角形时，的值为秒或秒． （4）当菱形的对角线平分的边时， 如图所示，当平分时，此时点在上， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∴（秒）； ②当平分时，此时点在上，如图所示： ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴是边上的中线， ∴点是的中点， 当在点时，， ∴， 当在点时，， ∴， ∴在上运动时，的取值范围是， 综上所述，当菱形的对角线平分的边时，或． 故答案为：或． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在菱形中，，点分别在上，且，连接交于点，延长到使，连接，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在一张菱形纸片中，，，点E在边上（不与点B，C重合），将沿直线折叠得到，连接，，．有以下四个结论：①；②沿直线折叠过程中，是一个定值；③当时，四边形的面积为；④当平分时，．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，，则 ．    6．（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，，且经过B点，若，则 ．    7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等边中，点F为延长线上一点，点D是的中点，连接交于点M，以为边向下作等边，连接，若，，则的长为 ． 8．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．    9．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为 10．（2023·江西抚州·三模）在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为 ．    11．（22-23八年级下·浙江台州·期中）菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接．    （1）如图1，为边上一点（点、不重合），则、的关系是___，请说明理由． （2）将旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 12．（2023·江苏·模拟预测）如图，菱形中，，，点是线段上一点（不含端点），将沿翻折，的对应边与相交于点． （1）当时，求的长； （2）若是等腰三角形，求的长； （3）若，求的取值范围． 13．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，，对角线平分，点H为边上一点，连接交于点F，．    （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，点E在上，，交于点N，于点L，若，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，H为的中点，点G在上，点M在上，连接，，，，若，求线段的长 14．（2024·贵州·一模）如图，在菱形中，，E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，分别沿折叠菱形，点B，D的对应点分别为点M，N，连接．      （1）问题解决：如图①，请判断线段的数量关系和位置关系： ； （2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在上时，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值． 15．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形是菱形，连接，． （1）如图，求证：．    （2）如图，点在的内部，连接、，与相交于点，且，点在线段上，点在线段上，且，连接、，若，求的度数．    （3）如图，在（2）问条件下，若点为中点，．求的值．    16．（2024·广东汕头·一模）综合探究 综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q． （1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________． （2）【探究】如图2，当点P为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由． （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长． 17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，（、，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长 ； （3）当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积 ． 18．（2023·广东广州·二模）在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边，其中，，按逆时针方向排列． （1）如图①，当点在线段上，点在菱形内部时，连接，则线段与的数量关系是 ；与的夹角度数是 ； （2）如图②，当点在线段上，点在菱形外部时，连接，求证：； （3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系： ． 19．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，，点在边上由向运动，点在边上由向运动，速度均为，连接，以为邻边构造，连接过点作，交折线于点，分别交于点、．    （1）求证：为菱形． （2）连结，求周长的最小值，并说明理由． （3）当点在线段上时，若某时刻满足， ①证明：为中点． ②请直接写出此时点的运动时间． 20．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． （1）如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； （2）如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； （3）如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 菱形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 二、菱形的性质 1．菱形具有平行四边形的一切性质； 2．菱形的四条边都相等； 3．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 4．菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 三、菱形的判定 1．一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2．四条边都相等的四边形是菱形． 3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． · 典例分析 【典例1】菱形中，对角线，，点从出发，沿以/秒的速度匀速运动，到点停止，过作边的垂线交于，以为边向右作等边，设运动时间为秒． （1）菱形的边长为______． （2）当在边上运动时，用含的代数式表示、． （3）连接，当是直角三角形时，求的值． （4）当菱形的对角线平分的边时，的取值范围是____________． 【思路点拨】 （1）根据菱形的边长相等以及等边三角形的性质即可； （2）设运动秒，则，根据所对直角边是斜边的一半求出，进一步即可表示和； （3）分类讨论：点在上时，①当时，表示出和，根据列方程即可求得；②当时，表示出和，根据列方程即可求得；点在上时，此时为钝角三角形； （4）分类讨论：当平分时，则，表示出，，根据列方程即可；当平分时，此时点在上，即可得出取值范围． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，对角线， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． （2）设运动秒， ∵点从出发，沿以/秒的速度匀速运动，到点停止，过作边的垂线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴，． （3）点在上，当是直角三角形，设运动时间为秒， ①时，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时，如图所示： ∵，， ∴    ， ∴， ∴， ∴（秒）． ③点在上运动时，设交于点，如图所示， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形，不可能是直角三角形． ∴综上所述，当是直角三角形时，的值为秒或秒． （4）当菱形的对角线平分的边时， 如图所示，当平分时，此时点在上， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∴（秒）； ②当平分时，此时点在上，如图所示： ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴是边上的中线， ∴点是的中点， 当在点时，， ∴， 当在点时，， ∴， ∴在上运动时，的取值范围是， 综上所述，当菱形的对角线平分的边时，或． 故答案为：或． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 【思路点拨】 分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【解题过程】 解：当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， ，， ； 当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， 是等边三角形， 过点作于点， ， 由勾股定理得， ， 点与点重合， ； 当点位于边上时， ，，， ， ， 由勾股定理得． 综上，的长为或4或． 故选：C． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案． 【解题过程】 解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ， ，， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 为直角三角形， ， ， 与不全等， 故③错误； ∵菱形，， ∴ ，，， 根据勾股定理，得， ， 故④正确， 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在菱形中，，点分别在上，且，连接交于点，延长到使，连接，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 先证明是等边三角形，再根据菱形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”即可证明，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得，由三角形的外角性质求出，再求出，从而判定②正确；根据三角形的外角性质和平行线的性质求出，由证明，根据全等三角形的性质得出，，然后求出，从而判定出△AMH是等边三角形，得出③正确；根据全等三角形的面积相等可得的面积等于四边形的面积，然后判定出④正确． 【解题过程】 解：在菱形中， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； 过点A作于点G，则 由勾股定理得， ∵， ∴的面积等于四边形的面积， 又∵的面积， ∴，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 4．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在一张菱形纸片中，，，点E在边上（不与点B，C重合），将沿直线折叠得到，连接，，．有以下四个结论：①；②沿直线折叠过程中，是一个定值；③当时，四边形的面积为；④当平分时，．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 根据折叠的性质即可判断结论； 由折叠和菱形性质得：，再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：，，得出； 根据折叠性质和菱形性质可证得，即可推出； 由折叠和已知可得，根据三角形的角平分线交于一点，结合已知可得平分，从而可证是等边三角形，再证是等腰直角三角形，即可判断结论． 【解题过程】 解：将沿直线折叠得到， ， 只有时，才成立， 故结论不正确； 由折叠得：， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ，， ， 故结论正确； 如图，，将沿直线折叠得到，    ，，， 四边形是菱形， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论正确； 如图，由折叠得：，，    平分， ， 、分别平分、， ∵三角形三条内角平分线交于一点， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故结论不正确， 综上所述，正确的结论是：②③； 故选：B． 5．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，，则 ．    【思路点拨】 过点F作于点M，连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，得到，，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可求解． 【解题过程】 解：过点F作于点M，连接，    ∵四边形是菱形，， ， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴， 故选：． 6．（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，，且经过B点，若，则 ．    【思路点拨】 延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，由菱形的性质得，则，所以，由，得，则，所以四边形是矩形，由折叠得，，所以，，则，设则可求得，所以则，，所以，可求得则即可求得，于是得到问题的答案． 【解题过程】 解：延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，则，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等边中，点F为延长线上一点，点D是的中点，连接交于点M，以为边向下作等边，连接，若，，则的长为 ． 【思路点拨】 如图，记的中点为，连接，则是的中位线，，，证明四边形是菱形，，是等边三角形，证明，则，证明，则，，由，即，可得，根据，计算求解即可． 【解题过程】 解：∵等边， ∴，， 如图，记的中点为，连接， 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是菱形，，是等边三角形， ∴，，， ∵等边， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵等边，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：8． 8．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．    【思路点拨】 利用为等腰直角三角形得到，所以，当点在上，，当点在上，过点作于点，如图1，证明为等腰直角三角形，所以，，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到的长；当点在上，过点于点，连接，如图2，由于，，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 【解题过程】 解：在中，， 为等腰直角三角形， ， ， 当点在上，， 当点在上，过点作于点，如图1，    四边形是菱形， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， 在 中，， ， 解得， ． 当点在上，过点于点，连接，如图2，    ，， ， ， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 9．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为 【思路点拨】 本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会添加常用辅助线，构造直角三角形； 连接、、、、，作．先求出的面积，再求出高，利用勾股定理求出、、，利用线段和差求出即可． 【解题过程】 解：连接、， ， 四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， 连接， 点 E、F分别是、边上的中点， ，， 在中 , 同理在中 ， ， 在中 点 E分别是 边上的中点， ， 为等边三角形， ， 连接， ， ，，， ， ， 过F作， ， ， 在中 ， 在中， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2023·江西抚州·三模）在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为 ．    【思路点拨】 分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得． 【解题过程】 解：∵四边形为菱形，， ∴菱形四边长为4，且， ∴, ∵， ∴，即，． ∵E，F分别是的中点． ∴； 连接，则是等边三角形；    ①当点P在边上时；如图， 当点P是的中点时，为直角三角形，此时， ∴； ②当点P在边上时，如图，连接，    当点P是的中点时，为直角三角形，此时， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，由勾股定理得， 由勾股定理得：； ③当点P在边上时，连接，如图，    当点P是的中点时，此时， ∵，为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得； 故答案为：3或或． 11．（22-23八年级下·浙江台州·期中）菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接．    （1）如图1，为边上一点（点、不重合），则、的关系是___，请说明理由． （2）将旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】 （1）延长，交于点，结合菱形的性质以及等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，，易得，进而证明，可知平分，，可求得，即可证明结论； （2）延长至，使得，连接、，连接交于，证明，进而证明，进一步得出结论． 【解题过程】 （1）解：如下图，延长，交于点，    ∵为线段的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）（1）中结论仍成立，证明如下： 如下图，延长至，使得，连接、，连接交于，    在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 12．（2023·江苏·模拟预测）如图，菱形中，，，点是线段上一点（不含端点），将沿翻折，的对应边与相交于点． （1）当时，求的长； （2）若是等腰三角形，求的长； （3）若，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据菱形的性质以及折叠的性质可得是等边三角形，，，，，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可得的长； （2）分两种情况：①当时，②当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可； （3）过点作于，作于，根据三角形的面积公式可得，则，由得，由点在上可得的最大值为4，当，即点与点重合时，的值最小为，可得，即可得的取值范围． 【解题过程】 （1）菱形中，， ∴是等边三角形，，， ∴， 由折叠得 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ （2）若是等腰三角形，分三种情况： ①当时 由（1）知，， ∴ ②当时，如图1， ∵ ∴ ∴ ∴ 综上，的长为或4或； （3）过点作于，作于    由折叠得 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上 ∴的最大值为4，当 即点与点重合时，的值最小为 ∴ ∴ ∴的取值范围为 13．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，，对角线平分，点H为边上一点，连接交于点F，．    （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，点E在上，，交于点N，于点L，若，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，H为的中点，点G在上，点M在上，连接，，，，若，求线段的长 【思路点拨】 （1）推出，从而，可推出，从而，进而推出，进一步得出结论； （2）可证明，，进而推出，进一步得出结论； （3）作，可证明，从而，在上截取，连接，可证得，从而，根据得出，从而求得，，连接，可证得，设，则，，表示出，根据得出，进而求得． 【解题过程】 （1）证明：平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）证明：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，在上截取，连接、，    ， 由（2）得， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 14．（2024·贵州·一模）如图，在菱形中，，E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，分别沿折叠菱形，点B，D的对应点分别为点M，N，连接．      （1）问题解决：如图①，请判断线段的数量关系和位置关系： ； （2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在上时，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值． 【思路点拨】 （1）连接，由菱形的性质和线段中点的定义得到，，进而证明得到，由折叠的性质可得，，再证明，，进而证明，得到，证明，得到，则，； （2）由菱形的性质得到，，则，由折叠的性质可得，，即可证明是等边三角形，得到，证明，得到，则，同理可证明，即可证明四边形是矩形； （3）如图所示，过点M作于H，连接，证明是等边三角形，由E为的中点，得到．由折叠的性质可得，则，，推出，则，在中，，则． 【解题过程】 （1）解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 故答案为：，．   （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是矩形； （3）解：如图所示，过点M作于H，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E为的中点， ∴． 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即．   15．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形是菱形，连接，． （1）如图，求证：．    （2）如图，点在的内部，连接、，与相交于点，且，点在线段上，点在线段上，且，连接、，若，求的度数．    （3）如图，在（2）问条件下，若点为中点，．求的值．    【思路点拨】 （1）根据菱形的性质和已知条件即可推出． （2）通过证明推出和度数，从而证明为等边三角形，再结合已知条件证明，根据勾股定理的逆用证明直角三角形，最后求出的度数． （3）利用第二问的结果和在上取点，使，证明，从而推出为等边三角形，即可求出度数，再利用等边三角形证明从而推出进而求得，最后根据直角三角形中勾股定理以及等量转化求出答案． 【解题过程】 （1）证明：如图，四边形是菱形， ∴ ， 是等边三角形， ． （2）解：如图，连接、，    ，， . ，， ， ，， ， 为等边三角形， ∴，． ， ， 为直角三角形， ， ． 故答案为：． （3）解：如图，延长、交于点，连接、，过点作于点，得，在上取点，使．    由（2）知，， ， ， ，， ， ，． 在等边中，， 为等边三角形， ， ． 由（2）知， ， ， ， ． 点为中点， ， 又， ， ∴． 在中，， ， 设，则，． 在中，，， ， ，， 在中，，， 在等边中，． 故答案为：． 16．（2024·广东汕头·一模）综合探究 综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q． （1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________． （2）【探究】如图2，当点P为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由． （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长． 【思路点拨】 （1）数量关系：．连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得或3，再利用（2）中的结论即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：线段与之间的数量关系：． 理由：如图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， 点是边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． （2）证明：成立．理由： 如图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过点作于，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， 或， 由（2）知：， ， 或． 线段的长为或． 17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，（、，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长 ； （3）当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积 ． 【思路点拨】 （1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）①（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； ②根据已知得出，进而根据①可得，根据，勾股定理，即可求解； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【解题过程】 （1）解：如图1，连接，延长交于点，    四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）（1）中的结论：， 仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于，    菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （1）中的结论：， 仍然成立； ②如图所示， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． （3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，    四边形是菱形，    平分， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图中，当点在的延长线上时，同法可得 ，    ∴． 18．（2023·广东广州·二模）在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边，其中，，按逆时针方向排列． （1）如图①，当点在线段上，点在菱形内部时，连接，则线段与的数量关系是 ；与的夹角度数是 ； （2）如图②，当点在线段上，点在菱形外部时，连接，求证：； （3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系： ． 【思路点拨】 （1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）同（1）的方法得出，再用含30度角的直角三角形得出，即可得出结论； （3）结合（1）（2）的方法，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：如图①，连接，延长交于点，与的交点为， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 为菱形的对角线， ， ； 故答案为：，； （2）证明：如图②中，连接，交于， 菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 菱形的对角线与相交于， ，， 在中，， ； （3）解：． 理由：如图③，连接，交于， 同（2）的方法得，， 同（1）的方法得， ． 故答案为：． 19．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，，点在边上由向运动，点在边上由向运动，速度均为，连接，以为邻边构造，连接过点作，交折线于点，分别交于点、．    （1）求证：为菱形． （2）连结，求周长的最小值，并说明理由． （3）当点在线段上时，若某时刻满足， ①证明：为中点． ②请直接写出此时点的运动时间． 【思路点拨】 （1）连接，证明，得到，即可证明平行四边形为菱形； （2）连接，证明，，可得的周长，求出的长即为所求； （3）①证明，可得，则是的中点； ②连接交于点，证明，可得，，设，，所以，再由，求出，再求． 【解题过程】 （1）证明：如图1，连接，    四边形是菱形， ， ， ， 、点的运动速度相同， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：如图2，连接，   ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， ，， ， 的周长的最小值为； （3）①证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是AP的中点； ②解：连接交于点，   ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 解得：， ， ． 20．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． （1）如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； （2）如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； （3）如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【思路点拨】 （1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【解题过程】 （1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$