第17讲 新九年级暑期成果评价卷-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（人教版）

暑期成果评价卷 【人教版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2023九年级·江苏南京·期末）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）（2023九年级·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（2023九年级·浙江杭州·期中）点在二次函数的图象上，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 4．（3分）（2023·河南开封·二模）若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（   ） A． B．0 C． D． 5．（3分）（2023·江苏常州·一模）如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（2023·广东惠州·二模）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（2023九年级·全国·竞赛）定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（    ）． A． B． C． D． 8．（3分）（2023九年级·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 9．（3分）（2023九年级·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 10．（3分）（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2023九年级·浙江杭州·期中）已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 12．（3分）（2023九年级·江苏苏州·阶段练习）当时，函数的最大值是 ． 13．（3分）（2023·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 14．（3分）（2023·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为 ； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 15．（3分）（2023·山东淄博·一模）一个长方体包装盒的表面展开图如图所示，若此包装盒的容积为1500cm3，则该长方体最短的棱的长为 cm． 16．（3分）（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（2023九年级·浙江·专题练习）解方程： (1) (2) 18．（6分）（2023·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19．（8分）（2023·安徽宿州·一模）某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件的售价不能超过70元．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件.设每件玩具的单价上涨x（元）时，月销售量为y（件）． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件玩具的单价上涨多少元时，每月能获得的利润恰好是5250元？ 20．（8分）（2023九年级·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，． (1)画出关于点O成中心对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转得到的． 21．（8分）（2023·江苏连云港·三模）已知拋物线． (1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有 ①点在这条抛物线上，当且时，直接判断与的大小关系； ②点是这条抛物线上不同的两点，求证：． 22．（8分）（2023九年级·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 23．（8分）（2023·安徽六安·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知y 轴上一点，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接，，．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求直线表达式； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑期成果评价卷 【人教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2023九年级·江苏南京·期末）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）（2023九年级·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边值相等的未知数的值；把分别代入四个选项中的方程，判断左右两边的值是否相等即可． 【详解】解：当时， 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故是方程的一个解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 故选：B． 3．（3分）（2023九年级·浙江杭州·期中）点在二次函数的图象上，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 根据所给函数解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可解决问题． 【详解】 解：由题知， 抛物线的对称轴是直线， 又， 则所给的两个点是关于直线对称的， 所以它们的纵坐标相等， 即． 所以． 故选：B． 4．（3分）（2023·河南开封·二模）若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得，解得， ， 的值可以为， 故选：A． 5．（3分）（2023·江苏常州·一模）如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，过点D作轴于点，过点作于点，由旋转的性质和勾股定理可得，，再利用面积法求出即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，过点D作轴于点，过点作于点， ，点坐标为，点坐标为， ， ， 线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在轴上， ， ， ∴ ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 6．（3分）（2023·广东惠州·二模）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是： ． 故选：D． 7．（3分）（2023九年级·全国·竞赛）定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据，即可判断. 【详解】解：由题意可知：这个“凤凰”方程的两根分别为1和2， ，． 选项A符合题意， 故选A. 8．（3分）（2023九年级·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，时的函数值与时的函数值相同． 【详解】解：由图表可知，时的函数值与时的函数值相同． 所以当时，的值为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键． 9．（3分）（2023九年级·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 10．（3分）（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①②；时，，判断③；根据函数增减性，判断④；根据当时，函数值最小，判断⑤． 【详解】解：①抛物线开口向上，，物线与y轴交于负半轴，，，， ∴，故①正确； ②，，故②正确； ③根据对称性可知，当时，，，故③不正确； ④∵对称轴是直线，所以和时，y值相等， ∴若，是抛物线上两点，则，故④正确； ⑤∵对称轴是直线， ∴当时，函数值最小，故，故⑤正确； 故选：B 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2023九年级·浙江杭州·期中）已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【详解】 因式分解得： 解得： ∵ ∴舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 12．（3分）（2023九年级·江苏苏州·阶段练习）当时，函数的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得出当时，函数最大值，即可求解． 【详解】解：, 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数最大值，最大值为， 故答案为：2． 13．（3分）（2023·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 14．（3分）（2023·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为 ； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）求得直线过定点； （2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：（1）∵直线，当时，， ∴直线经过的定点坐标为； 故答案为：； （2）∵抛物线与轴的交点为，， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，直线和抛物线总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； 综上，当或时，抛物线与直线总有公共点． 故答案为：或． 15．（3分）（2023·山东淄博·一模）一个长方体包装盒的表面展开图如图所示，若此包装盒的容积为1500cm3，则该长方体最短的棱的长为 cm． 【答案】5 【分析】设地面长方体的长为x，长方体的高为y，根据体积公式可列方程，进而可解出x，y的值，根据情况舍去即可． 【详解】解：设地面长方体的长为x，长方体的高为y， 由图可知：， 则由②得：， 将其代入②得：， 则， 则， 解得：（舍去）或， 故答案为：5． 【点睛】本题考查长方体的体积公式，应用一元二次方程解决实际问题，能够根据题意列出方程是解决本题的关键． 16．（3分）（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，旋转的性质，能通过变换方式发现点位置及边长的变化规律是解题的关键．首先得到每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，然后由余1，得到第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上，然后求出的边长为，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现． 又因为余1， 所以第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上， 因为， 所以的边长为1， 则根据变换方式可知，的边长为2，的边长为，的边长为，…，的边长为． 所以的边长为， ， 所以点的坐标为． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（2023九年级·浙江·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法得到，再开平方即可解答； （2）根据因式分解法得到，进而可得或即可解答． 本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 18．（6分）（2023·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵、是一元二次方程的解， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍弃）， 故的值为． 19．（8分）（2023·安徽宿州·一模）某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件的售价不能超过70元．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件.设每件玩具的单价上涨x（元）时，月销售量为y（件）． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件玩具的单价上涨多少元时，每月能获得的利润恰好是5250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，解答时正确列出一元二次方程是关键． （1）根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式； （2）把代入（1）的解析式就可以求出结论； 【详解】（1）解：由题意得： ∵每件的售价不能超过70元 ∴（元） 故y与x的函数关系式为：； （2）解：由题意，解方程 解这个方程得：（舍去） 所以，每件玩具的销售单价为5元时，每月能获得的利润恰好是5250元． 20．（8分）（2023九年级·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，． (1)画出关于点O成中心对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转得到的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图—旋转变换和中心对称，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A、B、的对应点、再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A、B、的对应点、再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴，． ∴如下图所示： （2）逆时针旋转后的坐标为： ∵，且， 根据旋转得性质可得出：， ∴， ∴如下图所示： 21．（8分）（2023·江苏连云港·三模）已知拋物线． (1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有 ①点在这条抛物线上，当且时，直接判断与的大小关系； ②点是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)①；②证明见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质是求解的关键． （1）将的值代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标； （2）①根据题意可得为抛物线的顶点，根据二次函数的图象及性质即可解答； ③关键抛物线的对称轴可求出的值，再求出函数解析式，C，D是抛物线上的点，分别用含的式子表示出和，进而求出，通过配方式，可证明结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的解析式为， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：①∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有， ∴为抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小， ∵， ∵当且时，点比点更接近对称轴， ∴； ②∵的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵是抛物线上不同的两点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．（8分）（2023九年级·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 【答案】(1) (2)①，；②见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程根与系数关系，掌握使一元二次方程成立的未知数值叫一元二次方程的解和一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）把代入方程，得，即可得出结论； （2）①由题意可得方程M的根为：或；将方程的两边同除以，得，则，对比方程M，可得或1，即可求解； ②设两方程两根为, ,对于方程M，则，对于方程N，则，所以，则，代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ∴是方程M：的一个根； （2）解：①由（1）知是方程M的一根， ∵方程M的另一个根为， ∴方程M的根为：或； 方程的两边同除以，得， ∴， ∴或， ∴，； ②∵方程M，N的根相同，设两方程两根为, , ∴对于方程M，则，对于方程N，则， ∴， ∴， ∴． 23．（8分）（2023·安徽六安·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知y 轴上一点，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接，，．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求直线表达式； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值，求出三角形的面积表达式是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②过点P作轴交于点H，点，则点，由，即可求解． 【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点， ∴，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）①设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：， ②过点P作轴交于点H，    ∵点P的横坐标为t，则点，则点， 则， 即； ∵， 即S有最大值，此时，， 则点P的坐标为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$