专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（6类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【考点1：空间直角坐标系】 1 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 2 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 3 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 4 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 5 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 6 【考点1：空间直角坐标系】 【知识点：空间直角坐标系】 1．（2024高二上·青海海东·阶段练习）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·青海海东·阶段练习）点关于平面对称的点的坐标是 ． 4．（2024高二下·上海·阶段练习）已知，则线段AB的长度是 5．（23-24高一下·浙江杭州·期中），点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为 . 6．（2024高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系中，有两点是平面上任意一点，则的最小值为 . 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 【知识点：空间向量运算的坐标表示】 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 1．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知空间向量，则 . 2．（2024高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 3．（2024高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·云南临沧·阶段练习）在平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 【知识点：空间向量平行（共线）的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 共线 ，， 1．（2024高二上·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 4．（2024高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二下·江苏泰州·阶段练习）已知，且不共面，若，则（    ） A． B． C．8 D．13 7．（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知向量，，且与平行，则 . 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 【知识点：空间向量垂直的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 2．（2024高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（多选）（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 6．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 8．（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 【知识点：空间向量长度的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 模 1．（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知，.则 . 5．（2024高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 【知识点：空间向量夹角的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 夹角 1．（2024高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 4．（多选）（23-24高二下·河南·阶段练习）设向量，且，则（   ） A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关） B．的最大值为4 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为3 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 6．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 7．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 8．（2024高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 9．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 10．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【考点1：空间直角坐标系】 1 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 3 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 5 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 8 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 13 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 15 【考点1：空间直角坐标系】 【知识点：空间直角坐标系】 1．（2024高二上·青海海东·阶段练习）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于平面对称，则横坐标和竖坐标不变，纵坐标互为相反数，得到答案. 【详解】关于平面的对称点为. 故选：B 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴对称的特点求出坐标即可. 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：B 3．（2024高二上·青海海东·阶段练习）点关于平面对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据空间中的点关于坐标平面的点的特征，即可求解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是． 故答案为： 4．（2024高二下·上海·阶段练习）已知，则线段AB的长度是 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用空间两点间的距离公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为：3. 5．（23-24高一下·浙江杭州·期中），点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点，根据点到两点的距离相等，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，可设点， 因为点到两点的距离相等，可得， 即， 解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 6．（2024高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系中，有两点是平面上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出点关于平面的对称点，再根据即可得解. 【详解】如图，点关于平面的对称点为， 则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 【知识点：空间向量运算的坐标表示】 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 1．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量运算的坐标公式，即可求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 2．（2024高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 【答案】 【分析】 根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】 由题意得，， 则. 故答案为： 3．（2024高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B 4．（2024高二上·云南临沧·阶段练习）在平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算可得. 【详解】设点的坐标为，则由，得，解得，，则点的坐标为， 故选：B. 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加减运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，然后由即可求解. 【详解】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确. 故选：B. 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 【知识点：空间向量平行（共线）的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 共线 ，， 1．（2024高二上·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 2．（23-24高二下·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以存在实数，使得，又, 所以，所以，解得， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 4．（2024高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算，向量共线的坐标表示列式计算得解. 【详解】由，得，又，且， 则，所以. 故选：B 5．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 6．（2024高二下·江苏泰州·阶段练习）已知，且不共面，若，则（    ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【分析】 根据共线定理和空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又不共面， 所以，解得， 所以. 故选：B 7．（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 8．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知向量，，且与平行，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 【知识点：空间向量垂直的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 2．（2024高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 4．（多选）（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 5．（2024高二下·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与垂直，可得， 解得. 故答案为：. 6．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】 根据向量垂直的坐标形式可得的等量关系，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故答案为：. 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）首先求出，设，根据向量模的坐标表示得到方程，解得，再代入即可得解； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以设， 又，即，解得， 所以或； （2）因为，，， 所以， ， 所以， 又向量与互相垂直， 故，解得. 8．（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量平行的条件即可求解； （2）利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解. 【详解】（1）因为， 所以设， 所以，解得， 所以，. （2）因为，且与垂直， 所以,化简得,解得. 故. 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 【知识点：空间向量长度的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 模 1．（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量坐标运算求出，利用向量模的坐标运算可得结果. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 2．（多选）（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知，.则 . 【答案】 【分析】应用空间向量加法和模的坐标公式计算即可. 【详解】根据题意，， 所以. 故答案为： 5．（2024高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 【知识点：空间向量夹角的坐标表示】 设，. 向量表示 坐标表示 夹角 1．（2024高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】向量，则， ， 所以，的夹角的余弦值为. 故选：C 2．（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C. 3．（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 4．（多选）（23-24高二下·河南·阶段练习）设向量，且，则（   ） A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关） B．的最大值为4 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的数量积运算，结合不等式的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A，取与轴正方向同向的单位向量，设向量与轴正方向的夹角为， 则，又，解得，A正确； 对于B：，由，得 ，即， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，设与夹角的为，则， 由B知，，于是，又，则， 因此与夹角的最大值为，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号， 因此，D正确； 故选：ACD 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，，且与夹角为， 则，，， 所以， 由题可知，解得. 故答案为：. 6．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【答案】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 8．（2024高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 9．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 10．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【详解】（1）; （2）, 则； （3），则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$