第18讲 锐角的三角比 单元综合检测（难点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第18讲 锐角的三角比 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．如果，那么与的差（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【解析】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 2．如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可． 【解析】解：如图，    由正方形的性质可得，，， ∴， ∵，， ∴， 由题意知，，，，， ∴，， ∴，整理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 【答案】D 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积． 【解析】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ， ∴tanθ=， ∴BC=ACtanθ=6tanθ（米）， ∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米， ∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 4．如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质与判定，余弦的定义； 根据题意得出，设，则，进而根据得出，即可求解． 【解析】解：如图所示，延长交于点，连接交于点， ∵是的重心，点在边上， ∴， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴， 故选：D． 5．如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 【解析】解：因为AD垂直BC， 则△ABD和△ACD都是直角三角形， 又因为 所以AD=， 因为sin∠C=， 所以AC=2， 因为EF为△ABC的中位线， 所以EF==1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 6．如图所示，在矩形中， 点 E 为 边上一点，连接，过点 B 作的垂线，交于点F，平移线段得线段，且恰过的中点O，连接，已知 且 则的长为（   ） A．3 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明得，由平移性质可得，，从而，设，，求出，在中利用勾股定理求出x的值即可求解． 【解析】∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ． 由平移性质可得，， ，． 又∵点O 为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 在中， 设，， ∴． 在中， ， ∴ 解得 (负值舍去)． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，平移的性质，以及线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 二、填空题 7．如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过作于，设，则，利用列出等式即可． 【解析】解：过作于， ，，， 是等腰直角三角形 设，则 解得（舍去）或 经检验是原分式方程的解， ． 故答案为：． 8．如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设，利用相似三角形的性质可得，即，求出，得到，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得是解题的关键． 【解析】解：设，则 ∵，与相似， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在梯形中，，，，如果，，那么 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了平行线的性质，锐角三角函数，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质，余切函数的定义． 首先根据得，则，然后在中由，即可求出的长． 【解析】解：∵， ， ， 在中，，， ，即：， ． 故答案为：6． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、直角三角形的性质，延长交轴于，由菱形的性质得到，轴，再由得到，根据含角的直角三角形的三边的关系得到，，计算出点的坐标，再代入解析式即可求出的值，熟练掌握菱形的性质以及含角的直角三角形的三边的关系是解此题的关键． 【解析】解：延长交轴于，如图，    ∵菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上， ， 轴， ， ， 顶点的坐标为， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 在中，， 点坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 11．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解． 【解析】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”， 则 ∴ ∴ ∴； 当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线， 作于E，则， ∵，∴，∴， ∵，，，，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得，解得． 综上，的长等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 12．如图，已知在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点．设交于点．证明，推出，可得结论． 【解析】解：过点作于点，设交于点． ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 13．点A、B分别在的边、上，且，，（如图），沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，直线与边相交于点，如果，那么 ．    【答案】 【分析】根据题意和翻折的性质可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，所以，得，设，则，，所以，，然后根据锐角三角函数即可解决问题． 【解析】解：如图所示：    ，， 是等腰直角三角形， ， 沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 则，， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 14．如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【解析】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 15．在中，，，点D是边上一点，，，则 ． 【答案】6或 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作于E，根据，可得出，设，则，在中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长． 【解析】解：过点D作于E，如图所示： ∵， 在中，， ∴， 设， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，或， 当时，， ， ， ， ，即， ， 当时，， 同理：，即， ． 综上所述：或， 故答案为：或． 16．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么 度；已知在中，，点G为重心，那么的值为 ． 【答案】 【分析】如图1所示，由角平分线的定义得到，再由和相似但不全等，得到只能是，由此得到，最后根据四边形内角和定理求解即可；如图2所示，根据重心的定义可得是的中线，根据直角三角形的性质和勾股定理得到，，则，再根据正切的定义求解即可． 【解析】解：如图1所示， ∵，平分， ∴， ∵和相似但不全等， ∴只能是， ∴， ∴， 故答案为：； 如图2所示，∵G是的重心， ∴是的中线， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，重心的定义，直角三角形斜边上的中线，正切，勾股定理，等边对等角等，熟知相关知识是解题的关键． 17．利用无人机探照灯测量坡面的角度，如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面6米，将无人机沿水平方向前进2.5米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可证，然后利用相似三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可证，最后利用相似三角形的性质可求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答． 【解析】解：连接，，过点作，垂足为， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ， 在中，， ， 故答案为：． 18．如图，正方形中，，为边的中点，点在上，过点作，分别交边、于点、．连接，如果是以为底边的等腰三角形，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点A′，过点F作于H，易证，得出；利用勾股定理求出的长，进而得出．利用互余角的三角函数的关系，得出，在和中利用的值列出方程，即可求得结论． 【解析】解：延长交于点A′，过点F作于H， ∵是正方形， ∴， ∴． 在和中， ． ∴． ∴． ∵E为边的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则． ∴． 在中，， ∴． 在中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； 【解析】（1）解： （2） 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟练的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键. 20．如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点． (1)求证：； (2)如果，求的余弦值； (3)当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的余弦值为 (3)线段的长为或 【分析】（1）过点作，交于点，可证得四边形是菱形，进而可得，即可证得结论； （2）延长、交于点，可证得，再由，可得，可求得：，，再运用勾股定理求得，根据三角函数定义即可求得答案； （3）由于，故，分两种情况：当时，利用勾股定理建立方程求解即可；当时，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【解析】（1）解：过点作，交于点，如图1， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， （2）解：延长、交于点，如图2， 点为对角线的中点， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∴， ，， ， ，， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由（1）知：， ∴， （3）解：由（2）知：，， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， 是等腰三角形， 或， 当时，， ， 在中，， 在中，， ∴，解得：； 当时，，， 在中，， 在中，， ∴，解得：； 综上所述，当是等腰三角形时，线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 21．如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． (1)求m、n的值； (2)设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． (3)设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入直线解析式中，可求得m、n的值； （2）过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，可证明，由相似三角形的性质即可求得点P的坐标； （3）设点，证明，由相似三角形的性质可得关于q的方程，解方程即可． 【解析】（1）解：把点A、B的坐标分别代入中，得：， 解得：， 即，； （2）解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由A、B的坐标知，，，， ∴，即， ∴， 当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为； 当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（1）知，直线解析式为：， 上式中，令，得， 则，； 因点Q在直线上，故设点， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理及三角函数等知识，（2）问中有两种情况，不要漏掉其中一种情况，（3）问中利用相似三角形的性质建立方程是难点． 22．已知，在中，，，，点、分别在边、上，且均不与顶点重合，（如图1所示），设，． (1)当点与点重合时（如图2所示），求线段的长； (2)在图1中当点不与点重合时，求关于的函数解析式及其定义域； (3)我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点在边上，，如果四边形是等邻角四边形，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由点与点重合，可想到，过点作于，再结合的勾股定理和面积，即可求解的长，又在中可求解，最后利用等腰的性质即可求解的长； （2）由题意想到过点作于，则可知，即可知与之间的数量关系，再结合可知，即可知与的数量关系，最后由共线的数量关系即可求解与之间的函数关系； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【解析】（1）过点作于， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 结合可知的最小值为 （3）当时，如图， ， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ， ； 当时，即点与点重合， 由得， ， ； 综上所述，如果凸四边形是等邻角四边形，线段的长为或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等邻角四边形、分类讨论等知识点，属于四边形的综合应用题，具有一定难度．解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，理解等邻角四边形的定义，并注意数形结合以及分类思想的应用． 23．如图，在平面直角坐标系中，，连接，将沿轴翻折，交轴正半轴于点． (1)求直线的解析式； (2)点是线段上一点，连接，交轴于点，设点的横坐标为，设的面积为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）． (3)在（2）的条件下，过点向作垂线，交于点，延长线交于点，连接并延长，交于点，且，过点作轴的垂线，与延长线于，与延长线于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出待定系数法求解析式，即可求解； （2）依题意，点的坐标为，则均是等腰直角三角形，，根据即可求解； （3）过点作轴，过点作于点，证明得出，设,则，，则，即可得出，，求得直线的解析式为，得出，即可求解． 【解析】（1）解：由折叠的性质得：， ∵， ∴点, 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴均是等腰直角三角形，， ∴，, ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，过点作于点， ∵，是等腰直角三角形， 设 ∵ ，， ∴，, ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, 设,则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，则 ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形，则， ∵直线的解析式为；则, 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，则， 即， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．在中，为边上一动点（点与点不重合），联结．过点作交边于点．        (1)如图，当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式并写出函数定义域； (3)把沿直线翻折得，联结，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）证明，推出，可得，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，作于．证明，推出，由此构建关系式即可解决问题． （3）分两种情形：①当在右侧时，设交于，作于，利用勾股定理求出，证明，得到，求出，即可得到．②当在左侧时，交的延长线于，同法求解． 【解析】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）如图1中，作于．    在中，，，， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． （3）由题意可得：，则为钝角， 故只存在， 如图，当在右侧时，设交于，作于，    由折叠可知：， ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ； 如图，当在左侧时，交的延长线于， 同法可得，．    综上：的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 25．在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3)的长为5或 【分析】（1）过点作于点，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义和平行线的性质得到，则； （2）过点作于点，利用(1)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点在上时，连接，延长交于点，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：， ， ， ∵， 为等腰直角三角形， （3）①当点在上时，如图， 由（1）知：， ∵是中点， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②当点在上时，连接，延长，交于点，如图， 由（1）知：， ∵是中点， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为5或． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 锐角的三角比 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 2．如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （    ）    A． B． C． D． 3．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 4．如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 6．如图所示，在矩形中， 点 E 为 边上一点，连接，过点 B 作的垂线，交于点F，平移线段得线段，且恰过的中点O，连接，已知 且 则的长为（   ） A．3 B．8 C．4 D．6 二、填空题 7．如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 8．如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 9．如图，在梯形中，，，，如果，，那么 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是 ．    11．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 12．如图，已知在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上．如果，那么的值为 ． 13．点A、B分别在的边、上，且，，（如图），沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，直线与边相交于点，如果，那么 ．    14．如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 15．在中，，，点D是边上一点，，，则 ． 16．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么 度；已知在中，，点G为重心，那么的值为 ． 17．利用无人机探照灯测量坡面的角度，如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面6米，将无人机沿水平方向前进2.5米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则 ． 18．如图，正方形中，，为边的中点，点在上，过点作，分别交边、于点、．连接，如果是以为底边的等腰三角形，那么 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2) 20．如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点． (1)求证：； (2)如果，求的余弦值； (3)当是等腰三角形时，求线段的长． 21．如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． (1)求m、n的值； (2)设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． (3)设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标． 22．已知，在中，，，，点、分别在边、上，且均不与顶点重合，（如图1所示），设，． (1)当点与点重合时（如图2所示），求线段的长； (2)在图1中当点不与点重合时，求关于的函数解析式及其定义域； (3)我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点在边上，，如果四边形是等邻角四边形，求线段的长． 23．如图，在平面直角坐标系中，，连接，将沿轴翻折，交轴正半轴于点． (1)求直线的解析式； (2)点是线段上一点，连接，交轴于点，设点的横坐标为，设的面积为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）． (3)在（2）的条件下，过点向作垂线，交于点，延长线交于点，连接并延长，交于点，且，过点作轴的垂线，与延长线于，与延长线于点，求的长． 24．在中，为边上一动点（点与点不重合），联结．过点作交边于点．        (1)如图，当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式并写出函数定义域； (3)把沿直线翻折得，联结，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 25．在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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