2.2.2配方法解一元二次方程（2）配方法（十二大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.2.2配方法解一元二次方程（2）配方法（十二大题型提分练） 题型一 、配方的过程及正确的结果 1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）利用配方法解方程时，将该方程化为的形式，然后利用直接开平方法求解，这个过程体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．转化思想 C．整体思想 D．公理化思想 【答案】B 【分析】先把一般式化为，然后两边开方，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而解一元一次方程得到一元二次方程的解． 本题考查了解一元二次方程-配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程． 【详解】利用配方法把一般式化为，再利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的转化的数学思想． 故选：B． 2．（23-24九年级·江苏·假期作业）下列配方有错误的是（　　） A．，化为 B．，化为 C．，化为 D．，化为 【答案】D 【分析】根据配方法的一般步骤对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可化为，所以A选项的计算正确，不合题意； B、由可化为，所以B选项的计算正确，不合题意； C、先化为，则可化为，所以C选项的计算正确，不合题意； D、先化为，则可化为，所以D选项的计算错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3．（2023·河北邯郸·一模）用配方法解一元二次方程时，第一步变形后应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项，即可得出结果． 【详解】根据题意，第一步为移项，得 ， 故答案选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 题型二、由配方的过程求参数的值 4．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【详解】解： ． 故选：C． 5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）把方程化成的形式，则的值是（    ） A．17 B．15 C．9 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法，可以得到和，再代入求解． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 6．（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型三、由配方的过程求代数式的值 7．（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选：D． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）把方程化成的形式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键． 由，整理得，即，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得， ∴， 解得，， 故答案为：2． 题型四、利用配方法解方程 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（1）先将方程两边同时加上9，进而直接开平方即可求解； （2）先将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上2，进而直接开平方即可求解； （3）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得，然后配方，即可求解． 【详解】（1）（1）∵， ∴，即， 则． ∴， 即，； （2）∵， ∴， 即． 两边开平方，得， ∴，； （3）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得， 配方，得， 即． 开平方得． 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 题型五、配方法解方程的具体步骤出错问题 13．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ (1)上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， ， 或， ，． 14．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1） 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 15．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 所以， 第六步 任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 【答案】任务一：配方法；完全平方公式，二；任务二，， 【分析】任务一：根据题意∶ 小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，在第二步配方时，方程右边忘记加上； 任务二：根据配方法解一元二次方程的步骤进行判断和计算即可． 【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式， 在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上， ∴第二步开始出现错误， 故答案是：配方法，完全平方公式，二； 任务二：解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键． 题型六、配方法与代数式大小比较问题 16．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 17．（20-21八年级上·福建泉州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用完全平方公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题 (1)代数式的最小值为 ； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时的值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）3；（2）当时，代数式有最大值为13；（3），理由见解析 ． 【分析】（1）参照范例的解题方法进行分析解答即可； （2）参照范例的解题方法进行分析解答即可； （3）先求出两个代数式的差，再用范例中的方法判断所得差的值的正负即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）∵，且， ∴，即代数式的最小值为3； （2）∵，且 ， ， 即：当时，代数式有最大值为13； （3）∵，且， ∴， ∴． 【点睛】读懂范例中的解题方法，能够把所给代数式用“配方法”由的形式化为的形式是解答本题的关键． 18．（21-22九年级·全国·假期作业）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝（x＋1）2＋1 ∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋1≥1．即：x2＋2x＋2≥1 试利用“配方法”解决以下问题： (1)填空：x2﹣2x＋4＝（A）2＋B，则代数式A＝　 　，常数B＝　 　； (2)已知a2＋b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值； (3)已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小． 【答案】(1)x﹣1；3 (2)-6 (3)M＜N 【分析】（1）根据配方法进行解答，即可求解； （2）先移项，再利用配方法，得到（a﹣3）2+（b+2）2＝0，可得到a，b的值，即可求解； （3）用作差法进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： x2﹣2x+4 ＝x2﹣2x+1+3 ＝（x﹣1）2+3， 故答案为：x﹣1；3； （2）解：∵a2+b2＝6a﹣4b﹣13， ∴a2﹣6a+9+b2+4b+4＝0， ∴（a﹣3）2+（b+2）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b+2）2≥0， ∴a﹣3＝0，b+2＝0， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴ab=3×（-2）=-6； （3）解：∵N﹣M＝2x2﹣1﹣（4x﹣5） ＝2x2﹣1﹣4x+5 ＝2x2﹣4x+4 ＝2（x2﹣2x+1）+2 ＝2（x﹣1）2+2， ∵2（x﹣1）2≥0， ∴2（x﹣1）2+2＞0， ∴N﹣M＞0， ∴M＜N． 【点睛】本题考查了配方法的应用，利用作差法比较大小是本题的关键． 题型七 、配方法与最值问题 19．（20-21九年级上·辽宁锦州·期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值． 解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4， （y＋2）2≥0， （y＋2）2＋4≥4 y²＋4y＋8的最小值是4 （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）3；（2），有最小值为4 【分析】（1）利用配方法把化为，根据平方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原始变形，根据平方的非负性解答即可． 【详解】（1）， ， 的最小值为3； （2）， ， ， 当，即时，有最小值为4． 【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 20．（21-22九年级上·江苏宿迁·阶段练习）我们知道： ； ， 这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）探究：当取不同的实数时，求代数式的最小值． （2）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 【答案】（1）当时，代数式存在最小值为-4；（2）时，长方形的面积存在最大值，最大值为9 【分析】（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可； （2）设长方形的面积为，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，代数式存在最小值为-4； （2）设长方形的面积为， 根据题意得：， 则时，存在最大值，最大值为9． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型八、利用配方法求三角形的周长 21．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 22．（2020八年级下·陕西·专题练习）用“配方法”解决下列问题 （1）比较代数式与的大小． （2）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5＝0，求x+y+z的值． （3）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值． （4）当为何值时．多项式有最小值并求出这个最小值 （5）如果关于x的二次三项式x2+10x+m在实数范围内不能因式分解，求实数m的取值范围． （6）是的三边，且有． ①若c为整数，求c的值． ②直接写出这个三角形的周长． （7）若． ①当，，满足条件：时，求的值； ②若的三边长是，，，且边的长为奇数，求的周长． 【答案】（1）x2-1>2x-3；（2）4；（3）2012；（4）17；（5）m＞25；（6）①4，5，6；②12或13；（7）①m=5；②16,18,20 【分析】（1）用-()，再配方得到(x-1)2+1≥1>0，故可求解； （2）把原式配方成（x﹣y）2+（y﹣1）2+（z﹣2）2＝0，即可求解； （3）把代数式m2-3m+2015配方为(m−)2+2012即可求解； （4）把多项式配方为，故可求解； （5）把x2+10x+m化为(x+5)2+(m﹣25)，根据因式分解的定义即可求解； （6）①把变形为（a−2）2＋（b−5）2＝0，求出a,b，故可求出c的取值，即可求解； ②根据第三边的情况即可求出三角形的周长； （7）①先把变形为，根据求出a,b,m的关系，故可求的值； ②分情况讨论即可求出的周长． 【详解】（1）-()=x2-1-2x+3=x2-2x+2=x2-2x+1-1+2=(x-1)2+1， 不论x为何值，总有(x-1)2+1≥1>0， ∴x2-1>2x-3． （2）∵x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5＝0， ∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1+z2﹣4z+4＝0， ∴（x﹣y）2+（y﹣1）2+（z﹣2）2＝0， ∴， ∴x＝1，y＝1，z＝2， ∴x+y+z＝1+1+2＝4， （3）m2-3m+2015 =m2−3m+()2−()2+2015 =(m−)2−()2+2015 =(m−)2+2012， ∵(m−)2≥0， ∴(m−)2+2012≥2012， 即代数式m2-3m+2015的最小值为2012． （4）∵ = = = = ∴当a＝4，b＝3时，多项式有最小值17． （5）解：x2+10x+m=(x+5)2﹣25+m=(x+5)2+(m﹣25)， 当m﹣25＞0，即m＞25时，多项式x2+10x+m=(x+5)2+(m﹣25)在实数范围内不能因式分解， 则实数m的取值范围是m＞25． （6）①∵a2＋b2＝4a＋10b−29， ∴a2＋b2−4a−10b＋29＝0， ∴a2−4a＋4＋b2−10b＋25＝0， ∴（a−2）2＋（b−5）2＝0， ∴a−2＝0，b−5＝0，解得a＝2，b＝5， ∴3＜c＜7， ∵c为整数， ∴c的值为4，5，6； ②当三边分别为2，5，4时，周长为11； 当三边分别为2，5，5时，周长为12； 当三边分别为2，5，6时，周长为13． （7）①∵ ∴ ∴a-7=0，b-4=0 ∴a=7，b=4 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴15=3m ∴m=5 ②由①可知a=7，b=4； ∵△ABC的三边长是a．b．c； ∴3＜c＜11； ∵c边的长为奇数； ∴c=5,7,9 ∴当a=7，b=4，c=5时，△ABC的周长是7+4+5=16 ∴当a=7，b=4，c=7时，△ABC的周长是7+4+7=18 ∴当a=7，b=4，c=9时，△ABC的周长是7+4+9=20． 【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用． 题型九、配方法与三角形形状问题 23．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果 是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (4)试用配方法求出代数式的最小值． 【答案】(1)是等腰三角形； (2)是直角三角形； (3)，； (4)； 【分析】（1）将代入方程求解即可得到答案； （2）根据一元二次方程有两个相等的实数根判别式等于0列式求解即可得到答案； （3）根据等边三角形得到，代入求解即可得到答案； （4）配方，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， 即：， 解得：， ∴是等腰三角形； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即：， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴原方程变形得：， ∴， 解得：，； （4）解：由题意可得， 原式， ∵， ∴， ∴， 答：的最小值是； 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与判别式的关机及配方法求代数式的最值问题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有两个相等实数根判别式等于0及代数式的配方． 24．（21-22八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解 ①； ② （2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数? （3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可； （3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可． 【详解】解：（1）① ． ② （2） ∵ ∴ ∴多项式的值总是一个正数． （3）为等边三角形． 理由如下：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法． 题型十、配方法与几何面积问题 25．（18-19八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论x取何值，总是非负数，即． 所以． 所以当时，有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：　 　　 　． (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图所示的第一个长方形边长分别是，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)9，3 (2)，最小值为； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据完全平方式即可确定； （2）先配方成，进一步求出最小值； （3）分别表示出和，再计算，即可比较大小． 【详解】（1）解：， 故答案为：9，3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （3）解：，理由如下： ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，多项式乘多项式，单项式乘多项式等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． 26．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； (4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． （4）如图，由，，过作于，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． （4）如图，∵，，过作于， ∴，，D在线段上，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴关于x的一元二次方程必有实数根． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，配方法的应用，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 题型十一、配方法与新定义问题 27．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式； (2)若可配方成（m，n为常数），则___________； (3)探究问题：已知，求的值． (4)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则k的值为_________． 【答案】(1) (2)2 (3)-2 (4)13 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵29是“完美数”， ∴； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：2； （3）解：， ， ， ∴， 解得， ∴； （4）解：当时，S是完美数， 理由如下： ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∴S是一个“完美数”． 故答案为：13 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 题型十二、配方法与材料阅读综合问题 28．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    【答案】(1)5 (2)10年；2.5万元 (3) 【分析】（1）直接利用可得结论； （2）先求解年平均保养费用，利用可得结论； （3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，的最小值为5； （2）解：由题意得：， 年平均费用． 当时， ， 即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元； （3）解：设直线为：， 把代入解析式得：， ， 直线为：， 令，， ， 令， ， ， ， 由题意知：， ， 由题意得：， ． 当时，即时，最小， 直线为：． 【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键． 1．（23-24九年级·安徽淮北·阶段练习）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用配方法解一元二次方程求得，再根据，即可求解． 【详解】解：， ∴， 配方得，， ∴， ∵较大的一个根为， ∴， ∵， ∴，即， 故选：A． 2．（23-24九年级·安徽安庆·期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握解一元二次方程． 依据题意，由海伦-秦九韶公式转化得到关于b的一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， 即 即 把，，代入得： 整理得， 即 且 即， 故选：A 3．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段练习）欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：构造，为斜边中线，且，作，与的延长线交于点．设，，则较小的根是（　　） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】B 【分析】先求出方程的根为，，为较小的根，在中，，，则，可知，因为在中，为斜边中线，，，方程较小的根是的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为较小的根， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，为斜边中线， ∴， ∴， ∴方程较小的根是的长度， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，运用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质找到线段之间的关系是解答本题的关键． 4．（21-22九年级·重庆·期中）对于示数x，规定，例如，，现有下列结论： ①若，则； ②的最小值为﹣1； ③对于实数a，b，若，，则； ④． 以上结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】依据题意，规定，①题直接解一元二次方程；②题用配方法求最值；③题用完全平方公式进行变形；④题把特殊值代入，即可得出答案． 【详解】依据题意， ①，即，解得，，因此①错误，不符合题意， ②，故的最小值为﹣1，因此②正确，符合题意， ③对于实数a，b，若，， 即 ，故③正确，符合题意， ④∵，，， ，，， ，，， ， ∴，故④错误，不符合题意． ∴答案为②③． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，解一元二次方程，配方法求最值，完全平方公式的变形等内容，掌握相关知识点并正确运用是解题关键． 5．（23-24九年级·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 6．（20-21九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程（是常数，）配方后为（d是常数），则 ． 【答案】 【分析】利用配方法得到，然后与比较可得的值． 【详解】解：配方后可得， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 7．（18-19八年级·上海·课后作业）的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【答案】等腰 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 9．（23-24九年级·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 10．（23-24九年级·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 11．（23-24九年级·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． 12．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 13．（20-21九年级上·福建厦门·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式.只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的一个解．    (1)若，，求图中线段AD的长，并验证线段AD的长是方程的一个解． (2)现在我们知道一元二次方程若有实数解都有两个，若图中线段AD的长为m，那么方程的一个解记为，请探究该方程的另一个解是否也可用图中相关线段的长来表示?若可以，请用相关线段的长表示另一个解，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，验证见解析 (2)不可以表示，理由见解析 【分析】（1）根据题意进行计算求得，再将代入方程验证即可； （2）根据配方法进行求解，表示出两根，可得另一根为负数，线段的长不能表示负数，故不可以用图中相关线段的长来表示另一根． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 当， 则，， ∴是方程的一个解． （2）解：在中， ， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵是正根，是负根， ∴无法用图中线段的长来表示另一个解． 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程以及勾股定理，读懂题中的方法是解题的关键． 14．（22-23八年级上·湖南长沙·阶段练习）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)4，8 (2)12 (3) (4)见解析 【分析】（1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，进行计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论． 【详解】（1）4是“雅美数”，理由：因为； 8是“雅美数”，理由：因为. 故答案为：4，8； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：12； （3） 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数） ∴ 又∵，，，为整数 ∴，均为整数 ∴是“雅美数”． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． ( 43 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2配方法解一元二次方程（2）配方法（十二大题型提分练） 题型一 、配方的过程及正确的结果 1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）利用配方法解方程时，将该方程化为的形式，然后利用直接开平方法求解，这个过程体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．转化思想 C．整体思想 D．公理化思想 2．（23-24九年级·江苏·假期作业）下列配方有错误的是（　　） A．，化为 B．，化为 C．，化为 D．，化为 3．（2023·河北邯郸·一模）用配方法解一元二次方程时，第一步变形后应是（    ） A． B． C． D． 题型二、由配方的过程求参数的值 4．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）把方程化成的形式，则的值是（    ） A．17 B．15 C．9 D．7 6．（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 题型三、由配方的过程求代数式的值 7．（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）把方程化成的形式，则的值是 ． 9．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，则 ． 题型四、利用配方法解方程 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型五、配方法解方程的具体步骤出错问题 13．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ (1)上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 14．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 15．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 所以， 第六步 任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 题型六、配方法与代数式大小比较问题 16．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 17．（20-21八年级上·福建泉州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用完全平方公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题 (1)代数式的最小值为 ； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时的值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 18．（21-22九年级·全国·假期作业）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝（x＋1）2＋1 ∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋1≥1．即：x2＋2x＋2≥1 试利用“配方法”解决以下问题： (1)填空：x2﹣2x＋4＝（A）2＋B，则代数式A＝　 　，常数B＝　 　； (2)已知a2＋b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值； (3)已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小． 题型七 、配方法与最值问题 19．（20-21九年级上·辽宁锦州·期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值． 解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4， （y＋2）2≥0， （y＋2）2＋4≥4 y²＋4y＋8的最小值是4 （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值． 20．（21-22九年级上·江苏宿迁·阶段练习）我们知道： ； ， 这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）探究：当取不同的实数时，求代数式的最小值． （2）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 题型八、利用配方法求三角形的周长 21．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 22．（2020八年级下·陕西·专题练习）用“配方法”解决下列问题 （1）比较代数式与的大小． （2）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5＝0，求x+y+z的值． （3）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值． （4）当为何值时．多项式有最小值并求出这个最小值 （5）如果关于x的二次三项式x2+10x+m在实数范围内不能因式分解，求实数m的取值范围． （6）是的三边，且有． ①若c为整数，求c的值． ②直接写出这个三角形的周长． （7）若． ①当，，满足条件：时，求的值； ②若的三边长是，，，且边的长为奇数，求的周长． 题型九、配方法与三角形形状问题 23．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果 是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (4)试用配方法求出代数式的最小值． 24．（21-22八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解 ①； ② （2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数? （3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 题型十、配方法与几何面积问题 25．（18-19八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论x取何值，总是非负数，即． 所以． 所以当时，有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：　 　　 　． (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图所示的第一个长方形边长分别是，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 26．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； (4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 题型十一、配方法与新定义问题 27．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式； (2)若可配方成（m，n为常数），则___________； (3)探究问题：已知，求的值． (4)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则k的值为_________． 题型十二、配方法与材料阅读综合问题 28．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    1．（23-24九年级·安徽淮北·阶段练习）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·安徽安庆·期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（    ） A． B． C． D．10 3．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段练习）欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：构造，为斜边中线，且，作，与的延长线交于点．设，，则较小的根是（　　） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 4．（21-22九年级·重庆·期中）对于示数x，规定，例如，，现有下列结论： ①若，则； ②的最小值为﹣1； ③对于实数a，b，若，，则； ④． 以上结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．（23-24九年级·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 6．（20-21九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程（是常数，）配方后为（d是常数），则 ． 7．（18-19八年级·上海·课后作业）的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 8．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 9．（23-24九年级·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 10．（23-24九年级·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 11．（23-24九年级·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 12．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 13．（20-21九年级上·福建厦门·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式.只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的一个解．    (1)若，，求图中线段AD的长，并验证线段AD的长是方程的一个解． (2)现在我们知道一元二次方程若有实数解都有两个，若图中线段AD的长为m，那么方程的一个解记为，请探究该方程的另一个解是否也可用图中相关线段的长来表示?若可以，请用相关线段的长表示另一个解，若不可以，请说明理由． 14．（22-23八年级上·湖南长沙·阶段练习）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$