2.2.1配方法解一元二次方程（1）直接开平方法（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.2.1配方法解一元二次方程(1)直接开平方法（八大题型提分练） 题型一 用直接开平方法解方程 1．（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 2．（21-22九年级上·吉林长春·期中）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型二用直接开平方法解复合型方程 5．（22-23九年级上·四川雅安·期末）方程的根为（    ） A． B． C． D． 6．（20-21九年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 8．（21-22九年级·全国·假期作业）解方程： (1)4（2x﹣1）2﹣36＝0 (2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2 题型三 直接开平方法解方程的过程出错问题 9．（21-22九年级上·全国·课后作业）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 10．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整． 解方程： 解： …第一步 第二步 第三步 (1)分析：第 步开始出现错误； (2)改正： 11．（九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0． 解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，① 直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），② ∴x=﹣7．                             ③ 上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程． 12．（20-21九年级上·全国·课后作业）李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 题型四 直接开平方法解方程的使用条件 13．（22-23九年级上·河北·开学考试）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程，下列判断正确的是(   ) A．方程的根与的值有关 B．方程有一个正根，一个负根 C．方程有两个负根 D．方程有两个正根 15．（19-20九年级上·山东·课后作业）已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 16．（22-23九年级上·全国·课后作业）关于的方程． （1）当时，方程有 的实数根； （2）当时，方程有 的实数根； （3）当时，方程 ． 题型五 直接开平方法与含参数方程的解问题 17．（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 ． 18．（21-22九年级·浙江嘉兴·期中）关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 19．（22-23九年级·浙江杭州·阶段练习）方程的解是，则方程解是 ． 20．（22-23九年级·安徽合肥·期中）关于x的方程的解是，（a、k、b均为常数，） 问题：（1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 题型六 、直接开平方法与整体问题 21．（九年级上·全国·课后作业）若（x2+ y2-5）2=4，则x2+ y2= 22．（九年级·全国·课后作业）若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝ ． 题型七、直接开平方法与换元法 23．（九年级上·贵州遵义·期末）若，则的值为 ． 24．（2020·四川南充·一模）若实数满足，则 ． 题型八、直接开平方法与新定义问题 25．（22-23九年级·安徽滁州·阶段练习）定义：若，则称m与n是关于2的和谐数． （1）与 是关于2的和谐数．（用含x的代数式表示） （2）若关于2的和谐数是，则x的值为 ． 26．（22-23九年级下·湖北随州·阶段练习）定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为 ． 27．（21-22九年级上·广西河池·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，解方程（x+2）*5＝0，其中最大的解为 ． 1．方程的非负整数解是（    ） A． B． C． D． 2．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）关于一元二次方程的两个根判断正确的是（   ） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都小于2 4．（2022·台湾·模拟预测）已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（   ） A．9 B． C． D． 5．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）若实数、、满足，则的最大值为（        ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段练习）若一元二次方程的两个根是与．则m的值是 ． 8．（22-23九年级上·吉林延边·阶段练习）规定：在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为．若，则x的值为 . 9．（21-22九年级·安徽合肥·期末）已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)． （1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是 ； （2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为 ． 10．（22-23九年级上·河北承德·期中）对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，因此， ； ；若，则x= ． 11．（23-24九年级上·广东佛山·期中）（1）解方程：； （2）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 12．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）解方程：． 小明的解答如下：   解：原方程可化简为得， 小滨的解答是否正确，如不正确，请写出正确的解答过程． 13．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）某学生解方程出现了错误，解答过程如下： 解：（第一步） ．（第二步） (1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； (2)请写出此题正确的解答过程． 14．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于的一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程． (1)你选取的的值是　； (2)解这个方程． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1配方法解一元二次方程(1)直接开平方法（八大题型提分练） 题型一 用直接开平方法解方程 1．（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．（21-22九年级上·吉林长春·期中）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法可以解答本题． 【详解】解：∵（x+1）2=16， ∴x+1=±4， ∴x+1=4或x+1=-4， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)无实数根 【分析】（1）利用直接开方法即可求解． （2）利用直接开方法即可求解． （3）利用直接开方法即可求解． （4）变形原方程得，进而可求解． 【详解】（1）解：原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （2）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （3）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （4）原方程变形为：， 原方程无实数根． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 题型二用直接开平方法解复合型方程 5．（22-23九年级上·四川雅安·期末）方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用开平方法解一元一次方程，即可得出答案． 【详解】解：， 开方得：或， 解得：，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． 6．（20-21九年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【详解】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 7．（22-23九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】4 【分析】直接开平方求出的值，即可得到的值，舍去负数解即可． 【详解】解：， ∴或者， ∴，或者， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，解题的关键是注意，舍去负数解． 8．（21-22九年级·全国·假期作业）解方程： (1)4（2x﹣1）2﹣36＝0 (2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2 【答案】(1)x＝2或﹣1 (2)y1，y2． 【分析】（1）先对原方程进行整理，再利用直接开平方法求解； （2）对方程两边分别开平方，得到y+2＝±（3y﹣1），解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：4（2x﹣1）2﹣36＝0， 4（2x﹣1）2＝36， （2x﹣1）2＝9， 2x﹣1＝±3， x＝2或﹣1 （2）解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1） 即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1）， 解得：y1＝，y2＝． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 题型三 直接开平方法解方程的过程出错问题 9．（21-22九年级上·全国·课后作业）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 【答案】 ② 正数的平方根有两个，它们互为相反数 ， 【分析】根据平方根的性质可判断第②步有错误，由此即可求解． 【详解】解：上述过程中有错误，错在步骤②， 原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数， 正确的解答过程为：， ， ，． 故答案为：②；正数的平方根有两个，它们互为相反数；，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握平方根的性质是解此题的关键． 10．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整． 解方程： 解： …第一步 第二步 第三步 (1)分析：第 步开始出现错误； (2)改正： 【答案】(1)一； (2)改正见解析 【分析】（1）开方时忽略一种情况，第一步出现错误； （2）先开方，分两种情况再移项，合并同类项，求出解即可． 【详解】（1）两边同时开方，得或，所以第一步错误． 故答案为：一； （2） ，   开方，得 或 ， 或 或 所以 ， . 【点睛】本题主要考查了用直接开方法求一元二次方程的解，掌握直接开方法解一元二次方程的步骤时解题的关键． 11．（18-19九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0． 解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，① 直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），② ∴x=﹣7．                             ③ 上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程． 【答案】 ② 漏掉了2（2x-1）=-5(x+1) 见解析． 【分析】先将方程化成ax2=b的形式，再根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，从而得出两个关于x的一元一次方程． 【详解】第②步错了，直接开方应等于2（2x-1）=±5（x+1），漏掉了2（2x-1）=-5(x+1) 正确的解答过程如下： 移项得4（2x-1）2=25（x+1）2， 直接开平方得2（2x-1）=±5（x+1）， 即2（2x-1）=5（x+1）或2（2x-1）=-5（x+1）． ∴x1=-7，x2=-. 【点睛】考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 12．（20-21九年级上·全国·课后作业）李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析． 【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可． 【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下： ， ， ． 不论为何值都不等于， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题． 题型四 直接开平方法解方程的使用条件 13．（22-23九年级上·河北·开学考试）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法的特点即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选D 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解能直接开平方的数是非负数成为解题的关键． 14．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程，下列判断正确的是(   ) A．方程的根与的值有关 B．方程有一个正根，一个负根 C．方程有两个负根 D．方程有两个正根 【答案】B 【分析】方程两边都除以，解一元二次方程，可得根与的值无关． 【详解】解：∵， ∴方程两边都除以，得， 两边开平方，得， 解得，， ∴该方程有一个正根，一个负根，方程的根与的值无关． 故选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据将方程两边的消去． 15．（19-20九年级上·山东·课后作业）已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 【答案】B 【分析】将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案． 【详解】原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解．当c=0时，有实数根；当a、c异号时， ，方程有实数解．故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 16．（22-23九年级上·全国·课后作业）关于的方程． （1）当时，方程有 的实数根； （2）当时，方程有 的实数根； （3）当时，方程 ． 【答案】 两个不相等 两个相等 无实数根 【分析】（1）两边开方，即可求出答案； （2）把p=0代入，再两边开方，即可求出答案； （3）根据任何数的平方都是非负数得出方程无解． 【详解】解：（1）当p＞0时，x2=p的解为x1= ，x2= ，即方程有两个不相等的实数根； 故答案为：两个不相等； （2）当p=0时，x2=p的解为x1=x2=0，即方程有两个相等的实数根； 故答案为：两个相等； （3）当p＜0时，方程x2=p没有意义，即方程无实数根． 故答案为：无实数根． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型五 直接开平方法与含参数方程的解问题 17．（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可． 【详解】解：， ， 解得．， 方程的两根为、，且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（21-22九年级·浙江嘉兴·期中）关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】2 【分析】利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 19．（22-23九年级·浙江杭州·阶段练习）方程的解是，则方程解是 ． 【答案】 【分析】先根据方程的解是，，得到即，结合得到方程的根为，代入计算即可． 【详解】∵方程的解是，， ∴，即， ∵得到方程的根为， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活变形是解题的关键． 20．（22-23九年级·安徽合肥·期中）关于x的方程的解是，（a、k、b均为常数，） 问题：（1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 【答案】 ， ， 【分析】（1）先根据方程的解是，，得到即，结合得到方程的根为，代入计算即可． （2）仿照（1）计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵方程的解是，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：，． （2）∵， ∴， ∵方程的解是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活变形是解题的关键． 题型六 、直接开平方法与整体问题 21．（九年级上·全国·课后作业）若（x2+ y2-5）2=4，则x2+ y2= 【答案】3或7 【详解】解：（x2+ y2-5）2=4，∴x2+ y2-5=±2，∴x2+ y2-5=2或x2+ y2-5=－2，∴x2+ y2=7或x2+ y2=3．故答案为3或7． 22．（九年级·全国·课后作业）若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝ ． 【答案】3 【分析】把x2+y2看作一个整体，根据直接开平方法解方程即可. 【详解】（x2+y2-1）2=4， x2+y2-1=2，x2+y2-1=-2， 则x2+y2=3或x2+y2=-1（舍去） 故x2+y2=3. 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键把x2+y2看作一个整体，同时注意x2+y2的值是一个非负数. 题型七、直接开平方法与换元法 23．（九年级上·贵州遵义·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设a+b=x，换元后利用平方差公式展开再开平方即可． 【详解】设a+b=x，则原方程可变形为： ∴a+b=±4 故答案为：±4 【点睛】本题考查的是解一元二次方程-直接开平方法，掌握平方差公式及把a+b看成一个整体或换元是关键． 24．（2020·四川南充·一模）若实数满足，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意设a+b=x，根据，得出x（2x-1）=1，解方程即可． 【详解】解：设a+b=x，则x（2x-1）=1， 则有（x-1）（2x+1）=0，解得x=或，即或. 故答案为： 或. 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键． 题型八、直接开平方法与新定义问题 25．（22-23九年级·安徽滁州·阶段练习）定义：若，则称m与n是关于2的和谐数． （1）与 是关于2的和谐数．（用含x的代数式表示） （2）若关于2的和谐数是，则x的值为 ． 【答案】 或 【分析】（1）设与n是关于2的和谐数，根据定义列得方程解答即可； （2）根据定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）设与n是关于2的和谐数，则 ， 解得， 故答案为：； （2）由题意得： ， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了新定义计算，解一元一次方程，解一元二次方程，正确理解新定义列出对应的方程是解题的关键． 26．（22-23九年级下·湖北随州·阶段练习）定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义可得，由此建立方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题关键． 27．（21-22九年级上·广西河池·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，解方程（x+2）*5＝0，其中最大的解为 ． 【答案】x＝3 【分析】先根据这个规则化简方程，然后再运用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：（x+2）*5＝0 （x+2）2-52＝0 x+2=±5 x1=3或x2=-7 ∴方程的最大的解为3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程，根据运算法则化简方程成为解答本题的关键． 1．方程的非负整数解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法求出方程的解，再进行判断即可. 【详解】， ， ， 解得，， ∴方程（x+7）2=49的非负整数解是， 故选D. 【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 2．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：由题意可知，即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）关于一元二次方程的两个根判断正确的是（   ） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都小于2 【答案】A 【分析】根据已知得出，开方得，求出方程的解，即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴方程的一根小于1，另一根大于3， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及无理数的估算，关键是确定方程解的大小． 4．（2022·台湾·模拟预测）已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】用直接开平方法求出一元二次方程的两根，进而可知a，b的值，即可求解． 【详解】解：， 或， 所以，， ， ∴，， 所以 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，还涉及二次根式的加减运算，正确掌握解题方法是解题关键． 5．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案． 【详解】解：（m，h，k均为常数，m≠0）， 解得， 而关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是， 所以， 方程的解为， 所以 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确解出一元二次方程的解． 6．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）若实数、、满足，则的最大值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，解一元二次方程，掌握绝对值不等式的性质是解答本题的关键． 根据由，，，当且仅当，，时，取等号，得出，根据已知条件，求得，由此得到答案． 【详解】解：由， ， ， 将三式分别相加，得到 ， 当且仅当，，时，取等号， 又， 时，取等号， ， 的最大值为：． 故选：． 7．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段练习）若一元二次方程的两个根是与．则m的值是 ． 【答案】 【分析】把和代入方程计算即可． 【详解】∵一元二次方程的两个根是与． ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解定义是解题的关键． 8．（22-23九年级上·吉林延边·阶段练习）规定：在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为．若，则x的值为 . 【答案】−1或5/5或 【分析】根据新定义运算法则以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴x=−1或x=5， 故答案为：−1或5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是理解新定义，熟练运用一元二次方程的解法． 9．（21-22九年级·安徽合肥·期末）已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)． （1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是 ； （2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为 ． 【答案】 ， ，， 【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一元一次方程即可； （2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k) +2022=0，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于的一元二次方程， 而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1， ∴或， ∴，， 故答案为：，； （2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0， 得：， 解得：，， 代入a(x+3k) +2022=0得， 即， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键． 10．（22-23九年级上·河北承德·期中）对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，因此， ； ；若，则x= ． 【答案】 0 2或/或2 【分析】根据题目所给的信息，结合实数的大小比较，配方法的应用进行大小比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或或， 当时，， 当时，， ∴或， 故答案为：，，2或． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，配方法的应用，直接开方法解一元二次方程，读懂题意，理解题目给出的新定义是解本题的关键． 11．（23-24九年级上·广东佛山·期中）（1）解方程：； （2）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先方程两边同除以4，再开方求解即可； （2）将代入关于x的一元二次方程，求得，然后将其整体代入整理后的代数式求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， ∴； （2）解：根据题意知，， 所以， 则： ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 12．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）解方程：． 小明的解答如下：   解：原方程可化简为得， 小滨的解答是否正确，如不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】小滨的解答不正确， 正确的解答过程是：, 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键 13．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）某学生解方程出现了错误，解答过程如下： 解：（第一步） ．（第二步） (1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一；正数的平方根有两个，它们互为相反数； (2)，． 【分析】（）根据正数平方根有两个进行判断即可； （）根据解方程方法直接开平方即可． 【详解】解：（1）根据正数平方根有两个， ∴第一步开始出错，原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数； 故答案为：一，正数的平方根有两个，它们互为相反数； （2）， ∴或， ∴，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤及选取合适方法解一元二次方程． 14．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于的一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程． (1)你选取的的值是　； (2)解这个方程． 【答案】(1)12（答案不唯一） (2) 【分析】（1）由于方程左边可化为，能用直接开平方求解，只要给出的值使的值不大于16即可，答案不唯一； （2）将这个一元二次方程利用开方法进行解答即可得解． 【详解】（1）解：， ， 若关于的一元二次方程能用直接开平方法求解， ，解得， 可令，答案不唯一， 故答案为：12（答案不唯一）； （2）解：若，则， ，即， 直接开平方得， ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键掌握直接开平方法解方程． ( 23 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$