1.3 空间向量及其坐标表示（七大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.3 空间向量及其坐标表示 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点2 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点5 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 题型一 坐标表示 1．已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    4．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 题型二 加、减、数乘的坐标运算 7．已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 9．在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则“”是“构成空间的一个基底”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．若空间向量 共面， 则实数 12．已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是 ． 题型三 平行的坐标运算 13．已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 14．已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 15．已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 16．已知，，若，则 ． 17．与向量共线的单位向量为 . 18．已知向量，点，且，则 . 题型四 数量积、垂直的坐标运算 19．已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 20．已知向量，，，则为 ． 21．设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 22．已知，求. 23．已知，，. (1)求的值； (2). 24．已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 题型五 模的坐标运算 25．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．3 B．3 C． D． 26．设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 27．在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 28．已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 29．已知，则 ． 30．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 31．已知，，，则的面积是 . 题型六 夹角的坐标运算 32．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 33．已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 34．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 35．已知，，则最大值为 . 36．已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 37．已知． (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值． 38．已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 题型七 利用坐标运算解决几何问题 39．在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 40．在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 42．（多选）在正方体中，分别在上，且，，则（      ）      A． B． C． D．与异面 43．如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    44．如图在长方体中，，，点为的中点，点为的中点.则 . 45．如图，在长方体中，，，点M在上，，N为的中点，求M，N两点间的距离．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其坐标表示 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点2 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点5 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 题型一 坐标表示 1．已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 3．已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【详解】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 4．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 5．（多选）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意得. 设的坐标为， 若四边形为平行四边形，则，则， 此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，，此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，此时的坐标为， 故选：ABC 6．如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 题型二 加、减、数乘的坐标运算 7．已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B 8．已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 9．在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确. 故选：B. 10．已知，，，则“”是“构成空间的一个基底”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】①当“”时，， 设，则，无实数解，故不共面，能构成空间基底； ②设，则，即， 因为构成空间的一个基底，即不共面，故无实数解，即. 综上，“”是“构成空间的一个基底”的充分不必要条件. 故选：A 11．若空间向量 共面， 则实数 【答案】1 【详解】由题可知 ， 即 ， 所以，故 ． 故答案为：1. 12．已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是 ． 【答案】 【详解】由向量在下的坐标为，则，设向量在下的坐标是，则， 则，解得， 所以向量在下的坐标是， 故答案为： 题型三 平行的坐标运算 13．已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 14．已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 15．已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则不共线，故B错误； 对于C，若，则不共线，故C错误； 对于D，若，则不共线，故D错误. 故选：A. 16．已知，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以. 故答案为： 17．与向量共线的单位向量为 . 【答案】或 【详解】设与向量共线的单位向量为，则解得或 所以与向量共线的单位向量为. 故答案为：或 18．已知向量，点，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以. 故答案为： 题型四 数量积、垂直的坐标运算 19．已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且，所以， 解得. 故选：D 20．已知向量，，，则为 ． 【答案】 【详解】由向量，，， 所以， 故答案为： 21．设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 22．已知，求. 【答案】，，，， 【详解】 由题意， ， ， ， ， . 23．已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 24．已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以设， 又，即，解得， 所以或； （2）因为，，， 所以， ， 所以， 又向量与互相垂直， 故，解得. 题型五 模的坐标运算 25．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．3 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，满足，且，所以， 向量在向量上的投影向量为，则其模长为． 故选：D． 26．设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 27．在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 28．已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 29．已知，则 ． 【答案】 【详解】由， 有． 故答案为： 30．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 31．已知，，，则的面积是 . 【答案】 【详解】由题意得，，，， 则， 是边长为的等边三角形， 的面积. 故答案为：. 题型六 夹角的坐标运算 32．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 33．已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 34．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 35．已知，，则最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 36．已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 37．已知． (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以设， 即，所以，解得， 故 又，所以，即， 解得． （2）由（1）得，， 设与的夹角为， 因为， 所以与夹角的余弦值为. 38．已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）由题意得，. ∵，则，解得 （2）由，得， ∵，，， ∴，. ∴. ∴以，为邻边的平行四边形的面积为12. 题型七 利用坐标运算解决几何问题 39．在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【详解】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴， 以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系. 则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为， 则由题意可得，. 所以， 故，即， 因为点P是棱上一点（含顶点），所以与正方形切于4个点， 即上底面每条棱的中点即为所求点； 同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点， ， 即与正方形切于个点， 即右侧面每条棱的中点即为所求点； 同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个. 故选：C 40．在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则，所以， 所以， ， 由图可知，， 所以为锐角等价于， 所以 又，解得. 故选：C. 41．如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 42．（多选）在正方体中，分别在上，且，，则（      ）      A． B． C． D．与异面 【答案】ABC 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，，， 因为，，可得，， 所以，，可得， 所以，即，故A正确； ，所以， 所以，即，故B正确； ，所以， 且没有公共点，所以，故C正确，D错误. 故选：ABC.    43．如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    【答案】/ 【详解】设的中心为，则底面，延长至， 使得，则， 由三条侧棱两两垂直且相等， 故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，则、，, 有， 由对称性可设，则有， 解得，故， ， 的最小值为.    故答案为：. 44．如图在长方体中，，，点为的中点，点为的中点.则 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，， . 故答案为：. 45．如图，在长方体中，，，点M在上，，N为的中点，求M，N两点间的距离．    【答案】 【详解】如图，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，， 因为N为的中点，， 所以，， 所以.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$