专题07 基本不等式6种常见考法归类（97题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题06 基本不等式6种常见考法归类（97题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）换元法 （六）对勾函数求最值 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 解题策略 1、基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． （2）变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 注：（1）不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 2、基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数． (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 注：（1）利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 答案　利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等． （2）x＋的最小值是2吗？ 答案　只有当x>0时，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2； 当x<0时，x＋没有最小值，此时x＋＝， 即当x<0时，x＋的最大值是－2. 3、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 4、对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. (3)基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．　 5、运用基本不等式比较大小的注意点 (1)利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小,达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．　 (2)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (3)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 6、利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 7、基本不等式求最值的两种常用方法 (1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． (2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，灵活运用“1”的代换，在不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替． 8、利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 9、求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 考点一 对基本不等式的理解 1.（2023·全国·高三专题练习）不等式中，等号成立的条件是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·统考一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 3.（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 6．【多选】（2024秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 7．【多选】（2023春·河北邢台·高二校联考阶段练习）下面结论错误的是（   ） A．不等式与成立的条件是相同的. B．函数的最小值是2 C．函数，的最小值是4 D．“且”是“”的充分条件 8.【多选】（2024秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 考点二 利用基本不等式比较大小 9.（2024·全国·高一假期作业）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）设，是正实数，则下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 12．【多选】（2024·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13.【多选】（2024秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 14.（2023·全国·高三专题练习）已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号) ①；②；③；④. 15.【多选】（2024秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点三 利用基本不等式证明不等式 16.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，求证：. 17.（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知是实数. (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值. 18.（2024秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 19.（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 20．（2024·江苏·高一假期作业）已知，，，且．求证：． 21．（2024秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 22．（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 23．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 24．（2024秋·广东佛山·高一统考期中）若，则的最小值为 ； 25.（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 26．（2023春·贵州毕节·高一统考期末）已知，则的最大值为 . 27．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知，若，则的最大值为 ． 28．（2023春·陕西·高二校联考期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 29．（2023春·广东广州·高一校考期中）若，，，则的取值范围是 . 30．（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 31.（2023·全国·高三专题练习），的最大值为_________. 32．（2024·全国·高三专题练习）当时，函数的最大值为 . （二）配凑法求最值 （1）凑项 33．（2023春·湖南长沙·高一统考期末）若，则函数最大值为 . 34.（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________． 35．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 36.（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 37.（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 （2）凑系数 38．（2024秋·陕西商洛·高一校考期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 39.（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 40．（2024·全国·高一假期作业）已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 41．（2024秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 42.（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________. （3）分离 43．（2024·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 44．（2024·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是 ． 45．（2024秋·高一单元测试）函数的最小值为 ． 46.（2022·高一课时练习）已知，则的最小值为___________. 47.（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________. 48．（2024秋·高一课时练习）已知，求的最大值 . 49．（2024·全国·高三专题练习）（1）已知，则取得最大值时的值为 ． （2）已知，则的最大值为 ． （3）函数的最小值为 ． 50.（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为________. （三）常数代换法 51．【多选】（2023春·安徽滁州·高一统考期末）已知正数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为 52．【多选】（2023春·江西赣州·高二统考期末）已知实数，且，则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 53．【多选】（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 54．【多选】（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 55．【多选】（2023春·江西南昌·高二校联考期末）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 56．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中学校考阶段练习）若，则的最小值是 ． 57．（2023春·云南文山·高一校考期中）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 58．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 59.（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 60.（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 61.（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 62．（2024秋·江苏盐城·高一统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 63.（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________； 64．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 65．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，则的最小值为 ． （四）消元法 66.（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值为______ 67．【多选】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为6 D．的最大值为8 68．（2024·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 69.（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为__________. 70.（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________． 71．（2023春·贵州遵义·高二统考期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． （五）换元法 72.（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______. 73．【多选】（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最小值为 74．【多选】（2023春·福建福州·高一福州三中校考期末）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 75．（2024秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，则的最大值为 76.（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________. （六）对勾函数求最值 77.（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______． 78．（2024·全国·高三专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 79．（2024·全国·高三专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． 80.（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“”是“函数的最小值大于4”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 基本不等式的实际应用 81．（2024·江苏常州·校考一模）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 82．（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长． A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定 83．（2024秋·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．    (1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值． 84.（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 85．（2024秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（    ） A． B． C． D． 86.（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 87．（2024秋·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元. (1)试求关于的函数解析式； (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 88.（2024秋·广东深圳·高一校考阶段练习）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm． （1）若，求x的取值范围； （2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 89.（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 考点六 基本不等式的恒成立问题 90．（2024秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 91．（2024·江苏·高一假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 92.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 93．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 94．（2024秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 95.（2023·全国·高三专题练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 96.（2023·高三课时练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是_____． 97．（2024秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知，. (1)若不等式恒成立，求的最大值； (2)若，求的最小值. $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题06 基本不等式6种常见考法归类（97题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）换元法 （六）对勾函数求最值 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 解题策略 1、基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． （2）变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 注：（1）不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 2、基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数． (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 注：（1）利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 答案　利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等． （2）x＋的最小值是2吗？ 答案　只有当x>0时，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2； 当x<0时，x＋没有最小值，此时x＋＝， 即当x<0时，x＋的最大值是－2. 3、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 4、对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. (3)基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．　 5、运用基本不等式比较大小的注意点 (1)利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小,达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．　 (2)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (3)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 6、利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 7、基本不等式求最值的两种常用方法 (1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． (2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，灵活运用“1”的代换，在不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替． 8、利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 9、求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 考点一 对基本不等式的理解 1.（2023·全国·高三专题练习）不等式中，等号成立的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立，故选：. 2．（2024·广西·统考一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 3.（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 4.（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A. 当时，，故错误； B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确； C. 当时，，故错误； D.由重要不等式得，故错误； 故选：B 5.（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，由于，所以，当时等号成立正确； 对于B，正具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确. 故选：AD 6．【多选】（2024秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【答案】ABD 【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的条件，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确； 对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确； 对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误； 对于D，，则，且， 又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确. 故选：ABD 7．【多选】（2023春·河北邢台·高二校联考阶段练习）下面结论错误的是（   ） A．不等式与成立的条件是相同的. B．函数的最小值是2 C．函数，的最小值是4 D．“且”是“”的充分条件 【答案】ABC 【分析】在应用基本不等式的时候要注意基本不等式的成立条件. 【详解】不等式成立的条件是；成立的条件是，A错； 由于，故函数无最小值，B错； 由于时无解，故的最小值不为4，C错； 当且时，，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 而“”的充要条件是“”， 因为且推不出且，所以D正确. 故答案为：ABC 8.【多选】（2024秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 【答案】BD 【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误. B.由于，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C.， 但无解，所以等号不成立，所以C选项错误. D.由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BD 考点二 利用基本不等式比较大小 9.（2024·全国·高一假期作业）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】、为互不相等的正实数，则， 所以， ，时，， 所以．故选：A． 10．（2024·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算出. 【详解】因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：. 故选：B 11．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）设，是正实数，则下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由基本不等式即可判断A，B，C；通过作差法即可判断D． 【详解】对于A： ，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故A成立； 对于B： ，，则，当且仅当时等号成立，故B成立； 对于C： ，，则，当且仅当时等号成立，故C成立； 对于D： ，， 因为， 所以，故D错误， 故选：ABC． 12．【多选】（2024·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差法比较A、B、D的大小，利用基本不等式判断C即可. 【详解】，则，A对； ，而， 所以，即，B错； 且，仅当等号成立，而，故，C对； ，而， 所以，即，D对. 故选：ACD 13.【多选】（2024秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，时，，但，B选项错误. C选项，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，C选项正确. D选项，时，，但，D选项错误. 故选：AC 14.（2023·全国·高三专题练习）已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号) ①；②；③；④. 【答案】④ 【详解】因为，所以，，，， 所以，，当时， 由基本不等式可知，所以， 由上可知，，，所以四个式子中最大． 故答案为：④. 15.【多选】（2024秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，当且仅当时等号成立， 则或， 则， 即AB错误，D正确. 对于C选项，，C选项正确. 故选：CD 考点三 利用基本不等式证明不等式 16.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故原题得证. 17.（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知是实数. (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立 (2)4 【详解】（1）证明：因为 ， 所以， 当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）， 当且仅当，即或时，不等式中等号成立. 所以的最小值为4. 18.（2024秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以. ， 当且仅当，，时，等号成立， 故的最大值为9. （2）证明：因为， 所以，又， 解得， 当且仅当时，等号成立. 故. 19.（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 20．（2024·江苏·高一假期作业）已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【详解】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 21．（2024秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证； （2）根据，，，即可得证. 【详解】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 则，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 所以. 22．（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件； （2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件. 【详解】（1）由， 所以，即，仅当时等号成立， 综上，的最大值为. （2）由，仅当，即时等号成立， 由，仅当，即时等号成立， 由，仅当，即时等号成立， 综上，，仅当时等号成立. 23．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值． （2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）（2）因为，所以，所以． 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即的最小值是2． （2）证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以．当且仅当时，等号成立 则，即，当且仅当时，等号成立． 【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题. 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 24．（2024秋·广东佛山·高一统考期中）若，则的最小值为 ； 【答案】 【分析】由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，故， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 25.（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 26．（2023春·贵州毕节·高一统考期末）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据已知，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以. 故答案为：. 27．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式即可得到答案. 【详解】因为，所以，解得， 当且仅当即，时，等号成立． 所以的最大值为2. 故答案为：2 28．（2023春·陕西·高二校联考期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：A. 29．（2023春·广东广州·高一校考期中）若，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的取值范围是. 故答案为：. 30．（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为2. 故选：D. 31.（2023·全国·高三专题练习），的最大值为_________. 【答案】/ 【详解】因为，所以，，由基本不等式可得 ，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最大值为. 故答案为：. 32．（2024·全国·高三专题练习）当时，函数的最大值为 . 【答案】 【分析】由已知条件可得出，结合基本不等式可求得函数的最大值. 【详解】因为，则，，所以，， 所以， ， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当时，函数的最大值为. 故答案为：. （二）配凑法求最值 （1）凑项 33．（2023春·湖南长沙·高一统考期末）若，则函数最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】， 由于，所以，故，当且仅当时等号成立， 因此， 故答案为： 34.（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________． 【答案】3 【详解】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 35．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得函数的最小值. 【详解】因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故函数的最小值为. 故选：C. 36.（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 37.（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】当时 , 即，故. 故选:A. （2）凑系数 38．（2024秋·陕西商洛·高一校考期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可. 【详解】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 39.（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， , ∴， 当且仅当 时，即时等号成立， 因此，函数,的最大值为, 故选：C． 40．（2024·全国·高一假期作业）已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解. 【详解】由，可得， 则，当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值. 故选：B. 41．（2024秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件； （2）由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件. 【详解】（1）∵，且， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为； （2）∵，则， ∴， 当且仅当即时等号成立. ∴的最大值. 42.（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________. 【答案】 【详解】，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. （3）分离 43．（2024·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 44．（2024·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 45．（2024秋·高一单元测试）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 46.（2022·高一课时练习）已知，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 47.（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________. 【答案】9 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 48．（2024秋·高一课时练习）已知，求的最大值 . 【答案】/ 【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由， 因为，可得， 当且仅当时，即等号成立， 所以，即最大值为. 故答案为：. 49．（2024·全国·高三专题练习）（1）已知，则取得最大值时的值为 ． （2）已知，则的最大值为 ． （3）函数的最小值为 ． 【答案】 1 / 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； （2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件； （3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）， 当且仅当，即时，取等号． 故答案为：. （2）因为，所以， 则, 当且仅当，即时，取等号． 故的最大值为1. 故答案为：1. （3） . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 50.（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为________. 【答案】/ 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. （三）常数代换法 51．【多选】（2023春·安徽滁州·高一统考期末）已知正数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【详解】对于选项A，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则A正确； 对于选项B，，当且仅当时取等号，则B正确； 对于选项C，，当且仅当时取等号，即，则C错误； 对于选项D，，则， ， 当且仅当，即时，取等，但，故等号无法取到，故D错误． 故选：AB. 52．【多选】（2023春·江西赣州·高二统考期末）已知实数，且，则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式求最值可判断A；配方法求最值可判断B；应用基本不等式“1”的代换求最值可判断C；常量分类再利用的范围可判断D. 【详解】对于A：，由，则，当且仅当时,等号成立，故A错误； 对于B：因为，，所以， 由，所以当时，有最小值，故B正确； 对于C：由， 当且仅当即，时,等号成立，故C错误； 对于D：由，因为，所以， ，可得，所以，故D正确. 故选： BD. 53．【多选】（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用乘“1”法即可求出的最小值，利用基本不等式构造一元二次不等式不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时取等号，故B正确，A错误； ，所以，即， 当且仅当，即时取等号，故C错误，D正确； 故选：BD. 54．【多选】（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误； 对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确． 故选：ABD． 55．【多选】（2023春·江西南昌·高二校联考期末）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D. 【详解】因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，则A错误； 由题意可得， 当且仅当时，等号成立，则B正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由题意可得，此时，． 因为，所以不存在，使得，则D错误． 故选:BC. 56．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中学校考阶段练习）若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据“乘1法”，即可由基本不等式求解最值. 【详解】因为，所以 ． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，则． 故答案为： 57．（2023春·云南文山·高一校考期中）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C 58．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 【答案】B 【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知，所以A错误；将原式化成，即可得，即B正确；不等式变形可得，利用基本不等式中“1”的妙用可知，C错误；将式子配方可得，再利用基本不等式可得其有最小值，无最大值，D错误. 【详解】对于选项，，即，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，A错误； 对于选项，原式化为，故；，故； 所以，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项，原式化为，故， 当且仅当时等号成立，错误； 对于D选项，， 当且仅当时等号成立，故有最小值，D错误． 故选：B 59.（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 【答案】B 【详解】因为，变形得. 由题意，当且仅当，即时，等号成立． 故选：B. 60.（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，，所以. 又， 所以. 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，的最小值是. 故选：C. 61.（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由得， 于是， 当且仅当，且，，即，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B． 62．（2024秋·江苏盐城·高一统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 63.（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________； 【答案】/ 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为. 故答案为：. 64．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】25 【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25， 故答案为：25 65．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解作答. 【详解】因为，，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 故答案为：16 （四）消元法 66.（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值为______ 【答案】8 【详解】因为，且，所以，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为8． 故答案为: 67．【多选】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为6 D．的最大值为8 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式一一计算可得. 【详解】对于A：， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：由条件可知，所以，解 得，由，得，， 所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C：由得 ， 当且仅当，即，时取得等号，故C正确； 对于D：由上述条件可知 ， 整理得. 令，则，解得，则， 当且仅当，即，时取得等号，故D正确. 故选：ACD. 68．（2024·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由题可得代入，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】由可得：， 则. 当且仅当，即时取等. 故答案为：. 69.（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以           ， （当且仅当时取等号）， 所以的最小值为， 故答案为：. 70.（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】由，得， 则，解得， 则， 所以当，即时，取得最大值. 故答案为：. 71．（2023春·贵州遵义·高二统考期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由题意得到关于的表达式，再利用换元法与基本不等式即可得解. 【详解】因为，， 所以，则， 由，得，令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用表示，从而将转化为关于的表达式，由此利用基本不等式即可得解. （五）换元法 72.（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______. 【答案】 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 73．【多选】（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A,B；利用多变量变单变量即可判断CD. 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号 由， 即，解得， 即，A正确； 对于，由，当且仅当时取等号， 得， 所以， 又 所以，即，故B错误； 对C选项，因为，则， 得，结合，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D选项知:， 当且仅当时，即， 但由于，因此等号不成立，故D不正确. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体的思想利用基本不等式构造一元二次不等式从而判断AB，再利用多变量统一为单变量的方法来判断CD. 74．【多选】（2023春·福建福州·高一福州三中校考期末）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件. 【详解】因为，， 所以，仅当时，即等号成立， 令，则，故， 所以，即，仅当时右侧等号成立， 所以的最大值为，A错误； 由，则， 所以， 仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16，D正确. 故选：BCD 75．（2024秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，则的最大值为 【答案】/ 【分析】令，然后分离常数，利用基本不等式可得. 【详解】， 令，则上式， 因为，所以， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 76.（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________. 【答案】 【详解】令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. （六）对勾函数求最值 77.（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设函数，则当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时， 故，则的取值范围是， 故答案为： 78．（2024·全国·高三专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 79．（2024·全国·高三专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． 【答案】＋1 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令，t∈[，＋∞）， 则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥）， 则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝， 则g（t）≥， 所以函数f（x）的最小值为； 故答案为：. 80.（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“”是“函数的最小值大于4”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解：若，则的最小值为； 若的最小值大于4，则，且，则， 故选：C． 考点五 基本不等式的实际应用 81．（2024·江苏常州·校考一模）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【答案】A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【详解】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 82．（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长． A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定 【答案】C 【分析】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论. 【详解】设天平左臂长，右臂长，且， 设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以， 所以，，则． 故选：C． 83．（2024秋·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．    (1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意得，利用基本不等式求出的最小值及时等号成立； （2）根据题意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【详解】（1）由已知可得，而篱笆总长为． 又∵，当且仅当，即时等号成立． ∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得，又∵， ∴，当且仅当x＝y，即x＝5，y＝5时等号成立． ∴的最小值是． 84.（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】. 【详解】每台机器运转年的年平均利润为，而，故，当且仅当时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为万元. 故答案为： 85．（2024秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】设土地租金成本和运输成本分别为万元和万元，分拣中心和货运枢纽相距， 则，，将代入可得， 所以，，故，当且仅当时取等号. 故选:A. 86.（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 【答案】C 【详解】设米,， 则种植花卉区域的面积． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即当米，米时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米, 故选：C 87．（2024秋·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元. (1)试求关于的函数解析式； (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 【答案】(1) (2)正面长度为8米,两侧长度为4米,建造费用最低,最低20000元. 【分析】（1）首先得到正面长度为米，根据题意写出总价即可. （2），利用基本不定式即可求出最值. 【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为米,则应急室正面的长度为米,于是得 （2）， 当且仅当，即时等号成立，此时在内，， 故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，最低20000元. 88.（2024秋·广东深圳·高一校考阶段练习）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm． （1）若，求x的取值范围； （2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）由矩形周长为，可知， 设，则∵，∴． 在中，，即，得， 由题意，，即， 解得， 由得，，∴， 即x的取值范围是． （2）因为，． 化简得． ∵，∴， 当且仅当，即时，，. 89.（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【答案】(1)， (2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）． 【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元， 则， ，． （2）解：由（1）可得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时． 所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）． 考点六 基本不等式的恒成立问题 90．（2024秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解. 【详解】因为，当且仅当且时取等号， 所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9. 故选:D. 91．（2024·江苏·高一假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围． 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 故选：D． 92.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】，当且仅当时等号成立， 解得，即. 因为不等式恒成立， 所以，即，解得. 故选：B 93．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解. 【详解】当时，不成立，所以. 由得. 因为，，所以，解得，即. 所以， 令，则，于是. 令，，则. 由对勾函数的图象知，在上单调递减，故. 所以，即的最大值为. 故答案为：. 94．（2024秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，且，若恒成立， 则， 又 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 故答案为：． 95.（2023·全国·高三专题练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、，由已知可得， 因为，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为， 故选：D． 96.（2023·高三课时练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】， ，当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 97．（2024秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知，. (1)若不等式恒成立，求的最大值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)12； (2)4. 【分析】（1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答. （2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答. 【详解】（1）因为，，则， 而，当且仅当，即时取等号， 依题意，不等式恒成立，于是 所以m的最大值为12. （2）若，，，则， 当且仅当，即，时取等号， 于是，而，解得， 所以的最小值为4. $$