精品解析：江苏省扬州市2024届高三下学期高考考前调研测试数学试题

数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 2. 若复数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法法则求得，可求. 【详解】由，可得， 所以， 所以. 故选：A. 3. 圆被直线所截线段的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合垂径定理分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所截线段的长度为. 故选：D. 4. 某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（ ）（参考数据：） A. 40年 B. 30年 C. 20年 D. 10年 【答案】C 【解析】 【分析】设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要年，根据题意列出方程，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要年， 由题意知，，即， 所以， 即由入侵的1株变成100万株大约需要20年. 故选：C. 5. 已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥外接球的半径为，由圆锥的结构特征求出的值，再由球的表面积公式计算可得． 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 6. 在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果. 【详解】令,故系数项的和为, 故 故被5除所得的余数为1. 故选: 7. 在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，由 可推得，利用条件将其化成，再运用平面向量基本定理得，解之即得. 【详解】 如图，因则,即（*）， 又,,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 8. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取定中的一个值，考查另外两次抛掷骰子的样本点数，利用分类加法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，将对应的值作为一个数组，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） 5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） 6 （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6） 第一类：时，满足“”的样本点有个； 第二类：时，满足“”的样本点有个； 第三类：时，满足“”的样本点有个； 第四类：时，满足“”的样本点有个； 第五类：时，满足“”的样本点有个； 第六类：时，满足“”的样本点有1个. 由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个， 而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点， 因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型. 则“”的概率为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查计数原理和古典概型概率公式的应用，属于较难题. 因同时考虑抛掷三次骰子出现的不同结果较复杂，故可采取取定一次抛掷结果，分析讨论另外两次抛掷结果中符合题意的样本点，即可化繁为简，达到解题的目的. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在上单调 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数，根据求出最小正周期判断A；利用余弦函数的对称轴方程和对称中心可判断BC；由余弦函数的单调性可判断D. 【详解】， 对于A：的最小正周期为，错误； 对于B：令可得， 所以的图象关于直线对称，正确； 对于C：令可得，且， 所以的图象关于点对称，正确； 对于D：因为，所以， 由在上单调递增，上单调递减可知， 在上单调递增，在单调递减，错误； 故选：BC. 10. 已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 方程无实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由已知可得，代入原方程可判断A；于B：由已知可得，代入原方程可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域，可判断CD. 【详解】对于A：由，可得，将代入原方程， 可得，故A正确； 对于B：若，可得，将代入原方程， 得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误； 对于C：令， 则，令，可得， 当时，，所以单调递增，即， 当时，，所以单调递减，即， 所以当时，， 在区间上的值域为，故C正确； 对于D：由上可知在区间上的值域为， 所以无实数解，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为8 C. 当时，水面的形状是四边形 D. 当时，所装的水的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面、平面的法向量计算可判断A；根据向量法计算可判断B；当，水面为六边形可判断C；作出水面，利用水面与平面平行，可计算出水面与交点，再计算后即可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则, 因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面， 设平面的法向量为，， 点到平面的距离为，， ，而， 令，所以平面的法向量为， 对A，，，，， 故平面， 所以平面的法向量为，又， 所以平面平面，故A正确； 对B，，所以到平面的距离为，故B正确； 对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误； 对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则， 则，，故， 设水面与交点为，所以， ，此时过作交于点，连接， 设的面积为,的面积为，则，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于建立空间直角坐标系，计算出平面的法向量，运用空间向量求解. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理有，利用余弦定理求出，同角三角函数的平方关系求. 【详解】在中，若，由正弦定理有， 不妨设，则有， 由，得. 故答案为： 13. 已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可求得，进而可得，求解即可. 【详解】由双曲线左支上一点，可得， 又，所以， 又，所以，所以， 所以该双曲线离心率的最大值为. 故答案为：. 14. 对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为__________． 【答案】2016 【解析】 【分析】求出和式中原数列中各项出现的次数即可得解. 【详解】数列中的每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个， 含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个， 因此和式中，数列中的每一项，都出现次， 所以所求和为. 故答案为：2016 【点睛】关键点点睛：利用组合计数问题求出给定数列的每一项在和式中出现的次数是求得和的关键. 四､解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的数列前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 由（1），， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求的通项公式； （2）可求得，进而可得结论. 【小问1详解】 因为①，所以②，③， 由③得：，所以， ②-①得：，整理得：， 又因为各项均为正数，所以， 所以是公差的等差数列，． 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面 是等腰梯形，，点 在上，点 在 上，平面平面． （1）求证： 是 的中点； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面平面．所以 ， 又由梯形 可得，所以四边形为平行四边形， 所以，所以 是 的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行得到线线平行，从而得到四边形为平行四边形，，得到结论； （2）作出辅助线，得到 ，结合三角形全等得到，从而证明出线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ，由（1）知 是 的中点，， 故，故， 因为， 所以，故 ，即， 因为，所以 与全等， 所以，即， 又平面 ，所以平面 ， 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即， 取，则，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面． 得， 又 是 的中点，所以 是的中点，． 设直线与平面所成角为 ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5 经计算可得：. （1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下： 2 3 4 今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率. 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线性回归方程的公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由全概率公式可得恰有1张为有奖门票的概率，再结合条件概率公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 设关于的线性回归方程：， 则， ， 所以， 所以关于的线性回归方程是. 【小问2详解】 记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票”为事件A， “该份团体票中共有张有奖门票”为事件，则， ，所以， ，所以， . 所以. 则所求概率是. 18. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）函数． ①讨论函数的单调性； ②函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）① 是上的增函数；② 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到，，的关系表，从而求出函数的极值； （2）①求出函数的导函数，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得到的单调性；②分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 函数，，则， 令，解得或， 则，，的关系表如下所示： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表，函数极大值为，极小值为； 【小问2详解】 ①，则， 记， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以时，，所以， 所以是上的增函数． ②， 当时，恒成立； 当时，， 令， 当时，令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以， 因为，所以，不满足题意， 所以不成立． 当时， 记，， 由①知时，， 所以 ， 所以．所以成立． 综上所述：． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3． （1）求的取值范围； （2）当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为． ①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②记与交于点，求线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）① 存在；；② 【解析】 【分析】（1）设，记，根据对称轴的位置结合二次函数的性质、基本不等式可得答案； （2）由（1）得椭圆，①设，可得直线、方程，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理可得、两点坐标，求出的斜率即可；②由①知直线方程，与直线方程联立，求出代入椭圆方程得求出，可得的轨迹方程可得答案． 【小问1详解】 设，由题知，，即， 则，即， 记， 则在上的最大值为9，对称轴为， ①当，即时，，成立； ②当，即时， ， 当且仅当，即时等号成立，可知不成立； 综上，； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以当时，离心率达到最大，此时，椭圆， ①存在，理由如下， 设，则，其中，即， ， 由， 得， 即， 所以，， 所以， ， 由， 得， 即， 所以，， 可得， 所以，的斜率； ②由①知， ， 由，，即， 将代入椭圆方程得：， 所以，的轨迹方程为， 所以，线段长度的取值范围为． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若复数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2 3. 圆被直线所截线段的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（ ）（参考数据：） A. 40年 B. 30年 C. 20年 D. 10年 5. 已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在上单调 10. 已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 方程无实数解 11. 如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为8 C. 当时，水面的形状是四边形 D. 当时，所装的水的体积为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为，若，则______. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为__________． 14. 对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为__________． 四､解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的数列前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 16. 如图，在四棱锥中，底面 是等腰梯形，，点 在上，点 在 上，平面平面． （1）求证： 是 的中点； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5 经计算可得：. （1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下： 2 3 4 今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率. 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 18. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）函数． ①讨论函数的单调性； ②函数，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3． （1）求的取值范围； （2）当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为． ①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②记与交于点，求线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $