期末强化练02 平面向量大题8种常见考法归类（36题）-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练02 平面向量大题8种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平面向量共线定理的应用 题型2 平面向量基本定理的应用 题型3 平面向量数量积的运算 题型4 平面向量的垂直问题 题型5 平面向量的模长问题 题型6 平面向量的夹角问题 题型7 平面向量与三角函数的综合 题型8 平面向量的新定义题 题型1 平面向量共线定理的应用 1．（2023春•建邺区校级期末）已知向量，，． （1）求； （2）求满足的实数，的值； （3）若，求实数的值． 【解析】（1）， 则； （2）由，得，，，，则有，解得， 所以，． （3）依题意，，， 由，得，解得， 所以． 2．（2023秋•大连期末）已知向量，． （1）求的坐标及； （2）若与共线，求实数的值． 【解析】（1）向量，， ，，，， ； （2）向量，， ，， 与共线， ， 解得． 3．（2023秋•丹东期末）已知向量以为基底的分解式为，其中． （1）求，的值； （2）若，且，求的值． 【解析】（1）由于向量以为基底的分解式为，其中， 故， 故，解得； 故，． （2）由于，且， 故，则，解得． 4．（2023秋•房山区期末）设向量与不共线． （Ⅰ）若，，且与平行，求实数的值； （Ⅱ）若，，，求证：，，三点共线． 【解析】（Ⅰ）解：由题意，，， 与平行，，解得； （Ⅱ）证明：，， ，，，三点共线． 题型2 平面向量基本定理的应用 5．（2023秋•延庆区期末）如图，在中，，，为中点，为上一点，且，的延长线与的交点为． （Ⅰ）用向量与表示和； （Ⅱ）用向量与表示； （Ⅲ）求出的值． 【解析】（Ⅰ）根据题意可得： ，； （Ⅱ）根据题意可得， ； （Ⅲ）设，则， 又， 又，，，三点共线， ，， ． 6．（2024春•普陀区校级期末）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的，，上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上，设． （1）用表示； （2）从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 【解析】（1）依题意，得，点为中点，，又，， 所以，． （2）依题意，得，， 所以，即， 所以．则， 又，所以， 而，所以． 7．（2023春•成都期末）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点，两点不重合）． （1）用，表示； （2）若，，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以， 化简得； （2）因为，，， 所以，由图可知， 又因为、、三点共线，所以， 所以， 当，即时，取最小值． 8．（2023秋•中山区校级期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时，的值． 【解析】（1）因为为重心，所以， 所以， 因为，，三点共线， 所以，即． （2）由题意可知，，且， 所以 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，此时，． 9．（2023秋•辽宁期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值． 【解析】（1）由题意可知，， ， 设，则， ，，三点共线， ， 解得， ， ； （2），同理可得， 由（1）可知，，， ，，三点共线， ，整理得， ，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 10．（2023秋•辽宁期末）如图，在中，是边上的中线．为的中点，是上一点，且，直线过点，交于点，交于点． （1）试用和表示，； （2）若，，求的最小值． 【解析】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点， 所以， ； （2）由， 得， 所以， 因为，，三点共线，则， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3． 11．（2023秋•辽宁期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交，于点，． （1）用向量与表示； （2）若，求和的值． 【解析】（1）根据题意，可得． （2）设，，由，结合（1）的结论， 可得 因为、、三点共线，所以，解得，所以． 因为，，可得， 所以， 可知，即． 12．（2024春•浠水县校级期末）在平行四边形中，，，，，，，． （1）若，与交于点，，求的值； （2）求的取值范围． 【解析】（1）设，则． 设，根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以，则，，所以． （2）根据题意，可得， 因为，， 所以． 因为，，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为． 综上所述，，即的取值范围为． 题型3 平面向量数量积的运算 13．（2023秋•镇海区校级期末）已知向量，，． （1）求的最大值，并求此时的值； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1），，， ， ， 当时，最大， 此时，，； （2），， ， ，， 设，易知是第一象限角，故原式转化为， 结合正弦函数性质得在上单调递增， 当时，，易知是第一象限角，故， 当时，，， 故，即． 14．（2023秋•保定期末）在圆内接四边形中，已知，，平分． （1）若，求的长度； （2）求的值． 【解析】（1）因为平分，所以， 因为，， 所以，有， 因为，所以， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， 即， 解得，， 故． （2）由（1）知，，， 设， 在和中，由余弦定理得，， 所以，解得， 又， 所以， 所以， 因为， 所以， 在和中，由余弦定理得，， 即， 整理得， 所以， 所以 ． 15．（2024春•涉县校级期末）在中，，是的外心，． （1）求边的长； （2）若为的中点，求的值． 【解析】（1）由题意，设中点为， 则， 解得； （2）由，， 可得 ． 题型4 平面向量的垂直问题 16．（2023春•喀什市期末）已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【解析】（1）向量，，， ，解得． （2）， ，，，， ， ， 解得或． 17．（2023春•阿克苏市校级期末）已知向量． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 【解析】（1），，， ，． （2），，，， ，， ，． 18．（2023春•临夏州期末）已知点及平面向量，，． （1）当点在轴上时，求实数的值； （2）当时，求实数的值． 【解析】（1）， 因为点在轴上， 所以，解得． （2），， 又因为， 所以， 解得． 19．（2023春•靖远县校级期末）已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【解析】（1）由题意可得，， 因为，所以，解得． （2）由题意可得，， 因为， 所以，解得． 20．（2024春•成都期末）已知向量，满足，，，且在上的投影向量为． （1）求，及的值； （2）若，求的值． 【解析】（1）因为，，且在上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，即， 得，解得． 题型5 平面向量的模长问题 21．（2023秋•杭州期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求证：． 【解析】（Ⅰ）因为， 所以， 所以， 所以； 证明：（Ⅱ）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 22．（2024春•宝山区期末）已知坐标平面内，向量，，． （1）求满足的实数、； （2）若向量满足，且，求的坐标． 【解析】（1）因为，，，且， 所以，，，，， 所以，解得， 所以满足的实数，； （2）因为，，所以， 设，因为，且， 所以，① ，② 由①②解得：或， 所以的坐标为或． 23．（2024春•宁波期末）已知单位向量满足． （1）求； （2）求在上的投影向量（用表示）． 【解析】（1）因为单位向量满足， 所以； （2）因为单位向量满足， 所以， 所以在上的投影向量为． 24．（2023秋•萧山区校级期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）设，，求的值； （2）若，求的大小． 【解析】（1）由题意知，，， 所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以． 题型6 平面向量的夹角问题 25．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 【解析】（1），，． ． （2），， 又，， 解得． 26．（2023秋•城厢区校级期末）已知，，且． （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值． 【解析】（1）因为，，且， 所以， 解得， 又， 则与的夹角为； （2）由（1）可知，， 因为， 所以， 即，解得． 27．（2023春•鄂托克旗校级期末）已知向量，，其中． （1）若，求； （2）若，求，夹角的余弦值． 【解析】（1）由，得，即， 因为，所以， 所以或， 解得或； （2）由题得， 由，得，即， 整理得 ①， 令，则， 所以①式可化为， 解得或（舍去）， 由，得， 所以，即，因为， 所以，此时，，设，夹角为， 则， 故，夹角的余弦值为． 28．（2023春•怀柔区期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为． （1）求； （2）若，求值． （3）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【解析】（1）由题可知：， 所以， 所以，； （2）因为，且， 所以，解得； （3）因为与的夹角为钝角， 所以，且， 所以，解得，且， 所以的取值范围为，，． 29．（2023春•密云区期末）已知向量． （1）若，求和； （2）若与平行，求实数的值； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 又因为， 所以， 因为， 所以； （2）因为与平行，， 所以，解得； （3）因为与夹角为锐角，所以且与不共线， 则且， 解得：且， 所以的范围为且． 30．（2023秋•金华期末）已知向量，． （Ⅰ）若，求的坐标； （Ⅱ）若，求与的夹角． 【解析】（Ⅰ）由题意，因为，所以设． 因为，所以，解得， 所以或； （Ⅱ）因为， 所以， 所以， 因为，，所以， 所以，解得． 设与的夹角为， 则， 又因为，，所以， 所以与的夹角为． 31．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，， 所以，即， 则， 则， 即与夹角的余弦值； （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有， 即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且， 即实数的取值范围为． 32．（2017秋•武江区校级期末）已知，是同一平面内的向量， （1）若，，与的夹角为，求； （2）若，，与平行，求与的夹角． 【解析】（1）根据题意，若，，与的夹角为， 则， 则， 则； （2）根据题意，若，， 则，， 若与平行，则有， 解可得， 则， 则有，与方向相同， 则与的夹角． 题型7 平面向量与三角函数的综合 33．（2023秋•川汇区校级期末）已知向量，，函数，，，． （1）若的最小值为11，求实数的值； （2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）， ， ， ， ， ． 令， ， ，对称轴为， ①当，即时，当时，， ； ②当，即时，当时，， ； ③，即时，当时，， 舍去． 综上，． （2）令，即， 或， 有四个不同的零点， 和在上共有四个不同的实根， ，即， 解得． 所以的取值范围为，． 34．（2023秋•宁波期末）已知向量，，． （1）求函数的解析式及其单调递减区间； （2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1），， ， 令，，得，， 的单调递减区间为； （2）当时，令， 则函数 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 函数在区间上有且仅有两个零点， 函数的图象与函数在上有两个交点， 或， 的取值范围为． 35．（2024春•闵行区期末）已知，，记． （1）求函数的值域； （2）求函数，，的单调减区间； （3）若，恰有2个零点，，求实数的取值范围和的值． 【解析】（1）由，， 可得， 因为，所以的值域为，； （2）当，时，， 由正弦函数的单调性可知， 当时，单调递减，解得， 故函数在，上的单调减区间为； （3）由（1）知，，， 令，可得， 由在上恰有2个零点， 可得函数与在上的图象有两个交点， 由，可得，故的图象如图所示： 由图可知，当时，在上恰有2个零点， 解得， 由正弦曲线的对称性可知， ，解得． 题型8 平面向量的新定义题 36．（2024春•普陀区校级期末）已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为． （1）若，，，求的值； （2）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，，试判断“存在，使”是，，，”的什么条件？并证明． 【解析】（1）若，，， 则，即，解得， 又，所以的值为1，2，3． （2）设，，，，，，，， ，， 所以，，，， 可取； （3）“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，证明如下： 取， 充分性：若存在，使，即，，， 则，， 故，，， 故充分性成立； 必要性：因为，，，，可取， 则，，， ， 则，，，， 但是，， 所以， 则不共线， 所以必要性不成立． 综上所述，“存在，使”是，，，”的充分不必要条件 $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练02 平面向量大题8种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平面向量共线定理的应用 题型2 平面向量基本定理的应用 题型3 平面向量数量积的运算 题型4 平面向量的垂直问题 题型5 平面向量的模长问题 题型6 平面向量的夹角问题 题型7 平面向量与三角函数的综合 题型8 平面向量的新定义题 题型1 平面向量共线定理的应用 1．（2023春•建邺区校级期末）已知向量，，． （1）求； （2）求满足的实数，的值； （3）若，求实数的值． 2．（2023秋•大连期末）已知向量，． （1）求的坐标及； （2）若与共线，求实数的值． 3．（2023秋•丹东期末）已知向量以为基底的分解式为，其中． （1）求，的值； （2）若，且，求的值． 4．（2023秋•房山区期末）设向量与不共线． （Ⅰ）若，，且与平行，求实数的值； （Ⅱ）若，，，求证：，，三点共线． 题型2 平面向量基本定理的应用 5．（2023秋•延庆区期末）如图，在中，，，为中点，为上一点，且，的延长线与的交点为． （Ⅰ）用向量与表示和； （Ⅱ）用向量与表示； （Ⅲ）求出的值． 6．（2024春•普陀区校级期末）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的，，上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上，设． （1）用表示； （2）从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 7．（2023春•成都期末）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点，两点不重合）． （1）用，表示； （2）若，，求的最小值． 8．（2023秋•中山区校级期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时，的值． 9．（2023秋•辽宁期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值． 10．（2023秋•辽宁期末）如图，在中，是边上的中线．为的中点，是上一点，且，直线过点，交于点，交于点． （1）试用和表示，； （2）若，，求的最小值． 11．（2023秋•辽宁期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交，于点，． （1）用向量与表示； （2）若，求和的值． 12．（2024春•浠水县校级期末）在平行四边形中，，，，，，，． （1）若，与交于点，，求的值； （2）求的取值范围． 题型3 平面向量数量积的运算 13．（2023秋•镇海区校级期末）已知向量，，． （1）求的最大值，并求此时的值； （2）若，求的取值范围． 14．（2023秋•保定期末）在圆内接四边形中，已知，，平分． （1）若，求的长度； （2）求的值． 15．（2024春•涉县校级期末）在中，，是的外心，． （1）求边的长； （2）若为的中点，求的值． 题型4 平面向量的垂直问题 16．（2023春•喀什市期末）已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17．（2023春•阿克苏市校级期末）已知向量． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 18．（2023春•临夏州期末）已知点及平面向量，，． （1）当点在轴上时，求实数的值； （2）当时，求实数的值． 19．（2023春•靖远县校级期末）已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 20．（2024春•成都期末）已知向量，满足，，，且在上的投影向量为． （1）求，及的值； （2）若，求的值． 题型5 平面向量的模长问题 21．（2023秋•杭州期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求证：． 22．（2024春•宝山区期末）已知坐标平面内，向量，，． （1）求满足的实数、； （2）若向量满足，且，求的坐标． 23．（2024春•宁波期末）已知单位向量满足． （1）求； （2）求在上的投影向量（用表示）． 24．（2023秋•萧山区校级期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）设，，求的值； （2）若，求的大小． 题型6 平面向量的夹角问题 25．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 26．（2023秋•城厢区校级期末）已知，，且． （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值． 27．（2023春•鄂托克旗校级期末）已知向量，，其中． （1）若，求； （2）若，求，夹角的余弦值． 28．（2023春•怀柔区期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为． （1）求； （2）若，求值． （3）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 29．（2023春•密云区期末）已知向量． （1）若，求和； （2）若与平行，求实数的值； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 30．（2023秋•金华期末）已知向量，． （Ⅰ）若，求的坐标； （Ⅱ）若，求与的夹角． 31．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 32．（2017秋•武江区校级期末）已知，是同一平面内的向量， （1）若，，与的夹角为，求； （2）若，，与平行，求与的夹角． 题型7 平面向量与三角函数的综合 33．（2023秋•川汇区校级期末）已知向量，，函数，，，． （1）若的最小值为11，求实数的值； （2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 34．（2023秋•宁波期末）已知向量，，． （1）求函数的解析式及其单调递减区间； （2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 35．（2024春•闵行区期末）已知，，记． （1）求函数的值域； （2）求函数，，的单调减区间； （3）若，恰有2个零点，，求实数的取值范围和的值． 题型8 平面向量的新定义题 36．（2024春•普陀区校级期末）已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为． （1）若，，，求的值； （2）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，，试判断“存在，使”是，，，”的什么条件？并证明． $$