精品解析：甘肃省武威市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2023~2024学年度第二学期第二次月考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第四章4.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ） A. ±3 B. ±1 C. -1 D. 3 2. 计算的值（ ） A. B. C. D. 3. 若直线平面，则下列说法正确的是（ ） A. l仅垂直平面内的一条直线 B. l仅垂直平面内与l相交的直线 C. l仅垂直平面内的两条直线 D. l与平面内的任意一条直线垂直 4. 已知正六边形，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 13. 设复数，为虚数单位，且，若，则________． 14. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 根据要求完成下列问题： （1）设两个非零向量，不共线，如果，，，证明A，B，D三点共线； （2）设，是两个不共线的向量，，已知，，，若恒成立，求k的值． 17. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 19. 在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期第二次月考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第四章4.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ） A. ±3 B. ±1 C. -1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】由，因为是纯虚数， 可得，解得. 故选：A 2. 计算的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C． 3. 若直线平面，则下列说法正确的是（ ） A. l仅垂直平面内的一条直线 B. l仅垂直平面内与l相交的直线 C. l仅垂直平面内的两条直线 D. l与平面内的任意一条直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可 【详解】因为若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直． 所以ABC错误，D正确， 故选：D 4. 已知正六边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相等向量和向量的加减运算即可求解. 【详解】由正六边形的特征可知：, 所以 故选：B 5. 在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积》 【详解】设外接圆的半径为，则，解得， 所以外接圆的面积为. 故选：B. 6. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可. 【详解】，则， 则， 故选：D. 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD. 【详解】对于A,故A错误， 对于B，则，故，故B正确， 对于C，为虚数，故C错误， 对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确， 故选：BD 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断. 【详解】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确； 对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误； 对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误； 对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将的等号两端分别平方,结合正弦的二倍角公式可求出答案. 【详解】由题意,,解得. 故答案为:. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系的运用,考查了正弦的二倍角公式的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题. 13. 设复数，为虚数单位，且，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由复数且， 可得，即， 又因为，则，可得，所以， 所以． 故答案为：. 14. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解. 【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案； （2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， ． （2）． 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式，属于基础题. 16. 根据要求完成下列问题： （1）设两个非零向量，不共线，如果，，，证明A，B，D三点共线； （2）设，是两个不共线的向量，，已知，，，若恒成立，求k的值． 【答案】（1） ，，， 又，，， 又，有公共点，∴A，B，D三点共线； （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算求得，由此判断出A，B，D三点共线； （2）根据可得恒成立，由此可得，即可求得k的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 又，若， 则， 又， 所以恒成立， ，解得． 17. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取，的中点，，连接ME，，，，即可得到，再证明，从而得到，即可证明平面，再证明平面，即可得证； （2）连接，即可得到是等边三角形，则，再由，即可证明平面，从而得证. 【小问1详解】 分别取，的中点，，连接ME，，，，如图所示． 因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 因为G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面，所以平面． 因为N是的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 又G是棱上的一点，，所以G是的中点，又F是的中点， 所以，所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面； 【小问2详解】 连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又E是CD的中点，所以， 因为直四棱柱，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 19. 在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1） 如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF， 因为是等边三角形，F是PA的中点，所以， 又因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以， 因为四边形ABCD是矩形，所以，所以， 又因为，所以， 因为，且平面PAB，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面BEF，所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得； （2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面PAB，平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面PDA，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，如图所示， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以二面角的大小为， 在等边中，因为，可得， 在直角中，由，则，可得， 在直角中，可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $