第04讲 全等三角形的判定与性质、应用（2个知识点+4种经典题型+习题试卷）2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第04讲 全等三角形的判定与性质、应用（2个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【例1】（2023秋•仪征市期末）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则是　　 A．4 B．3 C．3.5 D．2.5 【变式1】（2023秋•泗阳县期末）已知，如图，在中，，，，，则的长为 　　． 【变式2】（2023秋•徐州期末）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为　　． 【变式3】（2023秋•建湖县期末）如图，在四边形中，如果，，那么下列结论中不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【变式4】（2023秋•宿迁期末）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【变式5】（2023秋•海陵区校级期末）如图，中，，于点，于点，与相交于．求证：． 知识点2．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【例2】（2023秋•如皋市期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•常州期末）如图，要测出池塘、两端的距离，可在平地上取一点，连接、，并分别延长到点、，使、，连接，那么．此时，量出的长就是、两端的距离．在这个过程中，证明 的依据是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•灌云县月考）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度 　　． 【变式3】（2023秋•邳州市校级期中）如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为 　　时，与有可能全等． 【变式4】（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【变式5】（2022秋•灌云县月考）课间， 小明拿着老师的等腰直角三角尺玩， 不小心掉到两堆砖块之间， 如图所示 ． （1） 求证：； （2） 已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小 （每 块砖的厚度相同） ． 经典题型汇编 题型一.添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 1．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，要使，则需要添加的条件是 ．（写一个即可） 3．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点D在上，，下面三个条件：①；②；③，请你从所给条件①②③中选一个条件，使，并证明两三角形全等． 你选择的条件是___________（只填序号）    题型二.灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 4．（八年级上·江苏徐州·阶段练习）能判定的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断和全等的有 ． ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 6．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图面这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 题型三.结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 7．（21-22八年级上·期中）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    9．（八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，已知△ABC. （1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线； （要求：不写作法，但需要保留画图痕迹） （2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明. 题型四.全等三角形综合问题 10．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列各条件不能作出唯一直角三角形的是（    ） A．已知两直角边 B．已知两锐角 C．已知一直角边和一锐角 D．已知斜边和一直角边 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，当与全等时，的长为 ． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别在，上，，，相交于点O，．求证：． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在下列条件中，不能作为判断的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）下面的四组条件中，不能确定两个三角形全等的一组是（　　） A．两个三角形的两边一角对应相等 B．两个三角形的两角一边对应相等 C．两个三角形的三边对应相等 D．两个三角形的两边及夹角对应相等 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在、中，，添加两个条件不能使这两个直角三角形全等的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点B、D分别在、上，，添加下列条件中的一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．如果两个三角形中，有一角及这个角的平分线以及这个角所对边上的高对应相等，那么这两个三角形全等 B．如果两个三角形中，有两条边和第三边上的高对应相等，那么这两个三角形全等 C．如果两个三角形中，有一边及该边上的高和中线对应相等，那么这两个三角形全等 D．如果两个三角形中，有两个角和其中一角的平分线对应相等，那么这两个三角形全等 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，添加下列条件不能使是（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为 ． 12．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，与相交于点O，且，则图中全等三角形共有 对． 13．（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知，请补充条件： （写一个即可），使． 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，于点B，于点D，．若添加一个条件可使用“”判定，则添加的条件为 ． 15．（19-20八年级上·江苏宿迁·期中）如图是5x5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 个 16．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    17．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 18．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，平分，，，以下四个结论： ①， ②， ③， ④．正确的是 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    20．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点是的中点，作射线，在线段及其“延长线上分别取点、，连接、．添加一个条件，使得，写出你添加的条件．并加以证明．（不添加辅助线）． 21．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，．有下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得，依据是______（填“”或“”）； (2)请完成（1）的证明． 22．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论． 23．（八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°． （1）利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不要求写作法），作一个点P，使得点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB； （2）利用所学知识得到△ABP是 三角形． 24．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 25．（八年级上·江苏镇江·期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 根据以上情境，解决下列问题： （1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． （2）小聪的作法正确吗？请说明理由． 26．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）（1）【全等模型】如图1，已知：在中，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．则的数量关系为 ． （2）【类比探究】如图2现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线l经过点M、D、E、A点，且．请判断（1）的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【灵活应用】如图3，过的边向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点I，若求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 全等三角形的判定与性质、应用（2个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【例1】（2023秋•仪征市期末）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则是　　 A．4 B．3 C．3.5 D．2.5 【分析】利用证明△，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：如图，连接， ，， 和是直角三角形， 在△和中， ， △， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质求出是解题的关键． 【变式1】（2023秋•泗阳县期末）已知，如图，在中，，，，，则的长为 　2　． 【分析】利用证明，得，即可得出答案． 【解答】解：在和中， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，直角三角形的是解题的关键． 【变式2】（2023秋•徐州期末）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为　　． 【分析】证明得，进而根据三角形内角和定理得结果． 【解答】解：平分， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得． 【变式3】（2023秋•建湖县期末）如图，在四边形中，如果，，那么下列结论中不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】由“ “可证和，利用全等三角形的性质可求解． 【解答】解：在和中， ， ， ，，故选项不合题意， ， ， ，，故选项不合题意， ， ，故选项不合题意， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式4】（2023秋•宿迁期末）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【分析】根据等式的性质证得，然后利用证明两三角形全等即可． 【解答】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择最合适的方法证明两三角形全等． 【变式5】（2023秋•海陵区校级期末）如图，中，，于点，于点，与相交于．求证：． 【分析】根据，，可得是等腰直角三角形，进而得到，，根据三角形 内角和定理可以得到，又根据 等量代换得到，从而根据三 角形全等的判定定理得到，依据全等三角形的性质，得到． 【解答】解：，， 是等腰直角三角形， ，在与中， ，，， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是证明． 知识点2．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【例2】（2023秋•如皋市期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 【变式1】（2023秋•常州期末）如图，要测出池塘、两端的距离，可在平地上取一点，连接、，并分别延长到点、，使、，连接，那么．此时，量出的长就是、两端的距离．在这个过程中，证明 的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：在与中， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式2】（2022秋•灌云县月考）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度 　16米　． 【分析】由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果． 【解答】解：， ， ， ， ，即， 相邻两平行线间的距离相等， ， 在与中， ， ， （米， 故答案为：16米． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键． 【变式3】（2023秋•邳州市校级期中）如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为 　1或1.5　时，与有可能全等． 【分析】设点的运动速度是 ，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点的运动速度是 ， ， 与全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故答案为：1或1.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 【变式4】（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【分析】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】（1）证明：由题意得：，，，， ， ，， 在和中， ； （2）解：由题意得：，， ， ，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【变式5】（2022秋•灌云县月考）课间， 小明拿着老师的等腰直角三角尺玩， 不小心掉到两堆砖块之间， 如图所示 ． （1） 求证：； （2） 已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小 （每 块砖的厚度相同） ． 【分析】（1） 根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可 ． （2） 利用 （1） 中全等三角形的性质进行解答 ． 【解答】（1） 证明： 由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中，， ； （2） 解： 由题意得：一块墙砖的厚度为， ，， 由 （1） 得：， ，， ， ， 答： 砌墙砖块的厚度为． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用， 关键是正确找出证明三角形全等的条件 ． 经典题型汇编 题型一.添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 1．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断． 【详解】 解：，， 当添加时，根据“”可证明，所以选项不符合题意； 当添加时，不能判断，所以选项符合题意； 当添加时，根据“”可证明，所以选项不符合题意； 当添加时，根据“”可证明，所以选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，要使，则需要添加的条件是 ．（写一个即可） 【答案】或或（写一个即可） 【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．由，可得，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可． 【详解】解：添加， ， ， 又，， ， 添加， ， ， 又，， ， 添加， ， ， 又，， ， 故答案为：或或（写一个即可）． 3．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点D在上，，下面三个条件：①；②；③，请你从所给条件①②③中选一个条件，使，并证明两三角形全等． 你选择的条件是___________（只填序号）    【答案】② 【分析】选择②，先证明，然后再利用判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，    选择②； 在和中，， ∴， 故答案为：②． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 题型二.灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 4．（八年级上·江苏徐州·阶段练习）能判定的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定：，，，依次排除A，B，C三个选项． 【详解】解：A、，，满足，不能判定； B、，，满足，不能判定； C、，，满足，不能判定； D、，，符合能判定． 故选：D． 5．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断和全等的有 ． ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 【答案】①②③ 【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根据以上知识点逐个判断即可． 【详解】①、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意； ②、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意； ③、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意； ④、不符合全等三角形的判定定理，即两三角形不全等，故不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判断定理有，，，． 6．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图面这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【答案】(1)见解析 (2)可以，见解析 (3)4个，见解析 【分析】（1）根据题意画图，让内角的两边为1cm和2cm； （2）根据题意画图，让内角的一边为1cm，对边为2cm； （3）根据题意画图，让内角的两边分别为3cm，4cm；让内角的一边分别为3cm，对边为4cm；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为锐角三角形；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为钝角三角形； 【详解】（1）解：如图①，    （2）解：如图②，    （3）解：彼此不全等的三角形共有4个，      【点睛】本题考查全等三角形，理解全等三角形四种判定方法中的边角组和方式是解题的关键． 题型三.结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 7．（21-22八年级上·期中）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答． 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 9．（八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，已知△ABC. （1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线； （要求：不写作法，但需要保留画图痕迹） （2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明. 【答案】（1）见解析 （2）BE=CF. 【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC相交，再以这两点为圆心，以大于它们长度的为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与交点作射线即为∠A的平分线；分别以点B、C为圆心，以大于BC长度为半径画弧，在BC的两边分别相交于一点，过这两点作直线即为BC的垂直平分线； （2）结论BE=CF．利用全等三角形的性质即可证明. 【详解】解：（1） （2）BE=CF.         连接PB和PC        ∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC ∴PE=PF.              ∵l2垂直平分BC边, ∴PC=PB.            由HL证明△PFC≌△PEB ∴BE=CF. 【点睛】本题考查了作图—复杂作图与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图与线段垂直平分线的性质. 题型四.全等三角形综合问题 10．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列各条件不能作出唯一直角三角形的是（    ） A．已知两直角边 B．已知两锐角 C．已知一直角边和一锐角 D．已知斜边和一直角边 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，根据直角三角形全等的判定定理（）判断即可． 【详解】A、两直角边和直角对应相等， 根据能推推出两三角形全等，即只能作出唯一的一个直角三角形，故本选项错误； B、如教师用的含度角的三角板和学生使用的含度的三角板符合两锐角相等，但是不能化成唯一直角三角形，故本选项正确； C、根据或可以推出两直角三角形全等，即只能作出唯一的一个直角三角形，故本选项错误； D、根据定理即可推出两三角形全等，即只能作出唯一的一个直角三角形，故本选项错误； 故选：B． 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，当与全等时，的长为 ． 【答案】5或2.5或6 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得的长． 本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：当P在上，Q在上时， ∵ ∴， ∵于E，于F． ∴， ∴， 若，则， ∴ 解得， ∴ 当P在上，Q在上时，即重合时，则， 由题意得，， 解得， ∴， 当Q在上，且点Q与A重合，点P运动到上时，． 综上，当与全等时，满足条件的的长为5或2.5或6． 故答案为5或2.5或6． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别在，上，，，相交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明，得出，再证明，进而可得出结论． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在下列条件中，不能作为判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、满足边边角，不能判定，故本选项符合题意； B、满足边角边，能判定，故本选项不符合题意； C、满足边边边，能判定，故本选项不符合题意； D、满足角角边，能判定，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）下面的四组条件中，不能确定两个三角形全等的一组是（　　） A．两个三角形的两边一角对应相等 B．两个三角形的两角一边对应相等 C．两个三角形的三边对应相等 D．两个三角形的两边及夹角对应相等 【答案】A 【分析】本题考查三角形的判定，重点关注什么情况下证明不了全等运用三角形全等的判定方法判断即可．做题时要按判定全等的方法逐个验证． 【详解】选项：两边及其夹角可判断全等（）两边一对角证明不了全等，本选项错误; 选项：有两角及一边对应相等可判断全等，符合或，可归纳为两角随意边证全等，本选项正确; 选项：两个三角形的三边对应相等根据可判断两个三角形全等，本选项正确； 选项：两个三角形的两边及夹角对应相等，根据可判断两个三角形全等，本选项正确; 故选 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】解： A．在和中， ， ∴，正确，故本选项不符合题意． B．根据不能推出，错误，故本选项符合题意． C．在和中， ， ∴，正确，故本选项不符合题意． D．∵， ∴．由A选项可知，，正确，故本选项不符合题意． 故选B． 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在、中，，添加两个条件不能使这两个直角三角形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可； 本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形的全等的判定方法． 【详解】在、中 A、，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； B、，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； C、，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； D、，无法判定三角形全等，本选项符合题意． 故选：D． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点B、D分别在、上，，添加下列条件中的一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，熟记两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴补充条件时，，故选项A不符合题意； 补充条件， 可得：， ∵， ∴，故选项B，C不符合题意； 补充条件时，则不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．如果两个三角形中，有一角及这个角的平分线以及这个角所对边上的高对应相等，那么这两个三角形全等 B．如果两个三角形中，有两条边和第三边上的高对应相等，那么这两个三角形全等 C．如果两个三角形中，有一边及该边上的高和中线对应相等，那么这两个三角形全等 D．如果两个三角形中，有两个角和其中一角的平分线对应相等，那么这两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据及可判断正确，不能判断项成立，根据及可判断项正确，根据可判断正确． 【详解】解：．两个三角形中，有一角及这个角的平分线以及这个角所对边上的高对应相等，根据及可判断这两个三角形全等，原说法正确，故该项不符合题意； ．两个三角形中，有两条边和第三边上的高对应相等，不能判断这两个三角形全等，原说法错误，故该项符合题意； ．两个三角形中，有一边及该边上的高和中线对应相等，根据及可判断这两个三角形全等，原说法正确，故该项不符合题意； ．两个三角形中，有两个角和其中一角的平分线对应相等，根据可判断这两个三角形全等，原说法正确，故该项不符合题意． 故选． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，可根据题意得出，即可得出判断①；证明得出，进而证明，进而判断②，根据已知条件不能得出，则不一定成立，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即故①正确； ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故②正确； 不能得出，则不一定成立，故③错误； 故选：A． 9．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，添加下列条件不能使是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，，，不能判定，故符合题意； B、，，，能判定，故不符合题意； C、，，，能判定，故不符合题意； D、，，，能判定，故不符合题意； 故选：A． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，根据用“”判定，已知及公共边，添加的条件是． 【详解】解：添加的条件是， 理由是：在与中， ， ∴， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，与相交于点O，且，则图中全等三角形共有 对． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的判定即可证出4组全等三角形． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 同理可证， ∴． 在和中， ， ∴， 同理可证． 综上，，，，．共4对． 故选：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，难度适中． 13．（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知，请补充条件： （写一个即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：根据题意得，补充的条件为：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，于点B，于点D，．若添加一个条件可使用“”判定，则添加的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法“”． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：添加的条件为，理由如下： ∵于点B，于点D， ， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 15．（19-20八年级上·江苏宿迁·期中）如图是5x5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 个 【答案】4 【分析】由图可知，DE与AC是对应边，则B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形. 【详解】解：根据题意，DE与AC是对应边，则B点的对应点在DE的上方有两个点，下方也有两个点.如图： 故答案为4. 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法关键在于作图寻找全等三角形，做图时要做到不重不漏. 16．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 17．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 【答案】0，4，8，12． 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时； 再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故答案为：0，4，8，12． 18．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，平分，，，以下四个结论： ①， ②， ③， ④．正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由即可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明，可判断②；不能证明与不一定全等，即可判断③；根据和互余，和互余，而，可得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，而与不一定垂直， ∴与不一定全等， 故与不一定相等，故③错误； ∵， ∴和互余，和互余，而， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    【答案】①；②；（答案不唯一） 【分析】观察图形，对于和来说，是公共边，即，选①和②，可以通过来证明，即可作答． 【详解】解：已知：如图，、相交于点O．且，，求证． ∵，，， ∴．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、是解题的关键． 20．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点是的中点，作射线，在线段及其“延长线上分别取点、，连接、．添加一个条件，使得，写出你添加的条件．并加以证明．（不添加辅助线）． 【答案】添加的条件是：（或或或等）；证明见解析． 【分析】根据三角形全等的判定定理，根据已知条件可得，对顶角相等，再添加一个条件使得三角形全等即可． 【详解】添加的条件是：（或或或等）． 证明：∵点是的中点， ∴ 在和中 ∴（SAS）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 21．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，．有下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得，依据是______（填“”或“”）； (2)请完成（1）的证明． 【答案】(1)①；（②或③；） (2)见解析 【分析】（1）根据三角形全等的判定方法进行选择即可； （2）根据“”或“”证明即可． 【详解】（1）解：选择①，根据证明； ②或③，根据证明； 故答案为：①；．（②或③；） （2）证明：选择①； ∵在和中， ∴； 选择②； ∵在和中， ∴； 选择③； ∵在和中， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“”或“”． 22．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论． 【答案】，；证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据已知可证得，再根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，据此可证得． 【详解】解：，， 理由如下：如图所示，设交于点，交于点， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ． 23．（八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°． （1）利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不要求写作法），作一个点P，使得点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB； （2）利用所学知识得到△ABP是 三角形． 【答案】（1）详见解析；（2）△APB是等腰直角三角形． 【详解】试题分析：（1）作∠ACB的平分线及线段AB的垂直平分线，这两条线的交点就是所要求作的点P ；（2）作PE⊥BC于E，PM⊥CA交CA的延长线于M，即可得PE=PM，可证得四边形MECP是矩形，利用HL证明Rt△AMP≌Rt△PEB,根据全等三角形的性质可得∠MPA=∠EPB,即可证明∠APB=90°,所以△APB是等腰直角三角形． 试题解析：解：（1）如图所示： （2）△APB是等腰直角三角形． 考点：作图——角平分线、垂直平分线；三角形全等的判定及性质． 24．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出． 【详解】（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 25．（八年级上·江苏镇江·期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 根据以上情境，解决下列问题： （1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． （2）小聪的作法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）SSS ；（2）小聪的作法正确，理由见解析． 【详解】试题分析：（1）根据作图方法可得利用三角形全等的判定方法是“SSS”． （2）小聪的作法正确，利用 “HL”证明Rt△OMP≌Rt△ONP，根据全等三角形对应角相等可得∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB． 试题解析：（1）SSS ；理由如下： 连接CE、DE，由题意可得：OD=OE，CD=CE，OC=OC， ∴△OCD≌△OED（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC， 即OC是∠AOB的平分线； （2）解：小聪的作法正确． 理由：∵PM⊥OM , PN⊥ON ∴∠OMP=∠ONP=90° 在Rt△OMP和Rt△ONP中 ∵OP=OP ,OM=ON ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）； ∴∠MOP=∠NOP ∴OP平分∠AOB 考点：全等三角形的判定及性质． 26．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）（1）【全等模型】如图1，已知：在中，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．则的数量关系为 ． （2）【类比探究】如图2现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线l经过点M、D、E、A点，且．请判断（1）的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【灵活应用】如图3，过的边向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点I，若求的面积． 【答案】（1）；（2）不成立，理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确理解题意掌握一线三垂直模型是解题的关键． （1）只需要证明得到即可证明； （2）利用三角形外角的性质分别证明即可证明得到从而推出； （3）如图所示,过点作于,过点作交延长线于，同（1）证明得到,得到 再证明得到即可得到． 【详解】解：（1）理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）（1）中结论不成立, 理由如下： ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（1）中结论不成立； （3）如图所示, 过点作于, 过点作交延长线于, 由题意得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴ ∵，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$